Диссертация (786091), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Они получены без использования каких-либо гипотез.Следует отметить, что первые два векторных уравнения (6.2.10) представляютуравнения классической теории оболочек.Вводя в рассмотрение поверхностный набла оператор Гамильтона ∇0 = rI ∂I ,а также учитывая2rI × TI + C⊗ T∗ = rI × (TI − TI∗ ) − r3 × T3∗ ,≃eвекторные уравнения микрополярной теории оболочек (6.2.10) можно записатьв виде∇0 · T + X(x1 , x2 , t) = a(x1 , x2 , t),e∇0 · M + rI × (TI − TI∗ ) − r3 × T3∗ + Y(x1 , x2 , t) = b(x1 , x2 , t),f20∇ ·N+CT∗ + Z(x1 , x2 , t) = c(x1 , x2 , t),⊗≃ee(6.2.11)где тензор усилий T, тензор силовых моментных усилий M и тензор моментныхefусилий N имеют представленияe KKlKKLKKlT = rK T = TerK rl ,M = rK M = MfrK rL ,N = rK N = NerK rl .(6.2.12)Следует заметить, что T и M — тензоры усилий и силовых моментных усиfлий, которые совпадают eс классическимианалогами, а N — тензор моментныхeусилий, который определяется посредством тензора моментныхнапряжений.KKlKKLKKlЗаметим также, что T = T rl , M = M rL и N = N rl называются контравариантными составляющими тензоров усилий, силовых моментныхусилий и моментных усилий соответственно.Таким образом, в рассматриваемой микрополярной теории оболочек имеемтри основных тензора (они находятся под дифференциальными операторамив уравнениях и участвуют в граничных условиях): тензор усилий T, тензорeсиловых моментных усилий M и тензор моментных усилий N.
В дальнейшемef коротко еще тензорами моментовтензоры M и N будем называтьмикрополярefной теории оболочек.6.2.1Уравнения микрополярной теории оболочек в контравариантных компонентах тензоров усилий и моментовУчитывая∇I0 TI = (∇I0 T IJ − bJI T I3 )rJ + (∇I0 T I3 + bIJ T IJ )n,∇I0 MI = ∇I0 M IJ rJ + bIJ M IJ n,(6.2.13)283а также аналогичную первой формуле (6.2.13) формулу для ∇I0 NI , уравнения микрополярной теории оболочек (6.2.10) или (6.2.11) в контравариантныхкомпонентах тензоров усилий и моментных усилий можно представить в форме∇I0 T IJ − bJI T I3 + X J = aJ ,∇I0 T I3 + bIJ T IJ + X 3 = a3 ,∇I0 M IJ + C·J·I (T I3 − T∗I3 + T∗3I ) + Y J = bJ ,bIJ M IJ + CIJ (T IJ − T∗IJ ) = 0,∇I0 N IJ − bJI N I3 + C·J·I (T∗I3 − T∗3I ) + Z J = cJ ,∇I0 N I3 + bIJ N IJ + CIJ T∗IJ + Z 3 = c3 ,(6.2.14)гдеCIJ = CIJ3 = (rI × rJ ) · n,∇I0 T IJ = ∂I T IJ + T KJ ΓIKI + T IK ΓJKI ,∇I0 T I3 = ∂I T I3 + T K3 ΓIKI ,выражения для ∇I0 N IJ и ∇I0 M IJ аналогичны выражению для ∇I0 T IJ , а ∇I0 M I3имеет такое же выражение, что ∇I0 T I3 , ΓIKL — поверхностные символы Кристоффеля второго рода.Легко видеть, что число уравнений в системе (6.2.14) равно 9, среди которых — одно недифференциальное уравнение.
Нетрудно доказать, что шестоенедифференциальное уравнение из (6.2.14) являются тождеством. Таким образом, в рассматриваемой микрополярной теории оболочек в общем случае имеем 8 уравнений в контравариантных компонентах тензоров усилий и моментов.Они имеют вид∇I0 T IJ − bJI T I3 + X J = aJ ,∇I0 T I3 + bIJ T IJ + X 3 = a3 ,∇I0 M IJ + C·J·I (T I3 − T∗I3 + T∗3I ) + Y J = bJ ,∇I0 N IJ − bJI N I3 + C·J·I (T∗I3 − T∗3I ) + Z J = cJ ,∇I0 N I3 + bIJ N IJ + CIJ T∗IJ + Z 3 = c3 .6.2.2(6.2.15)Уравнения микрополярной теории оболочек класса TS в контравариантных компонентах тензоров усилий и моментовВ случае оболочек класса TS (тонких и пологих) принимаются следующие основные допущения [69]:1 − k1 x3 ≈ 1,1 − k2 x3 ≈ 1,ϑ̂ ≈ 1,ˆgJI ≈ gJI ,(6.2.16)в силу которых TI = T∗I , а также формулы (6.2.6) и (6.2.9) получат соотe с целью сокращения письма выписывать не будем.ветствующий вид,eкоторыхУчитывая сказанное выше, из (6.2.15) получим следующие уравнения для микрополярной теории оболочек класса TS в контравариантных компонентах тензоров усилий и моментов:∇I0 T IJ − bJI T I3 + X J = aJ ,∇I0 T I3 + bIJ T IJ + X 3 = a3 ,∇I0 M IJ + C·J·I T∗3I + Y J = bJ ,∇I0 N IJ − bJI N I3 + C·J·I (T I3 − T∗3I ) + Z J = cJ ,∇I0 N I3 + bIJ N IJ + CIJ T IJ + Z 3 = c3 .(6.2.17)2846.2.3Уравнения микрополярной теории призматических оболочек вконтравариантных компонентах тензоров усилий и моментовВ этом случае в качестве базовой поверхности можно рассматривать плоскость,т.е.
bIJ = 0 и, следовательно, условия (6.2.16) в точности выполняются. Поэтомуиз (6.2.17) будем иметь следующие уравнения микрополярной теории призматических оболочек в контравариантных компонентах тензоров усилий и моментов:∇I0 T IJ + X J = aJ ,∇I0 T I3 + X 3 = a3 ,∇I0 M IJ + C·J·I T∗3I + Y J = bJ ,∇I0 N IJ + C·J·I (T I3 − T∗3I ) + Z J = cJ ,∇I0 N I3 + CIJ T IJ + Z 3 = c3 .(6.2.18)Следует заметить, что из полученных выше уравнений соответствующиеуравнения для отсчетной конфигурации получаются, если входящие в них величины помечать сверху кружком так, как это сделано в (6.2.2).
В этой связис целью сокращения письма выписывать их не будем. Однако, следует отметить, что выбор типа параметризации (классическая, новая, при произвольнойбазовой поверхности и др.) области тонкого тела зависит от выбора исходнойконфигурации. Другими словами, если в качестве исходной выбрана отсчетнаяконфигурация, то параметризация (из перечисленных выше) области тонкоготела можно выбрать произвольно, а параметризация актуальной конфигурации уже определяется деформацией тела и наоборот, если в качестве исходнойвыбрана актуальная конфигурация, то параметризация области тонкого теламожно выбрать произвольно, а параметризация отсчетной конфигурации ужеопределяется деформацией тела [252, 258].Отметим также, что X и Y в уравнениях (6.2.11) выражаются через неиз(−)(+)(−)(+)вестные P m и P n , а Z через неизвестные µ m и µ n (см.
соответствующиеформулы (6.2.6) и (6.2.9)). Для их отыскания аналогично классическому случаю [69, 273] воспользуемся граничными условиями физического содержания(−)(−)(−)n · P = P(x1 , x2 , t),e(−)(−) (−)n · µ = µ (x1 , x2 , t),e(−)(+)(+)(+)n · P = P(x1 , x2 , t),e(+)(+) (+)n · µ = µ (x1 , x2 , t),e(6.2.19)(+)где P(x1 , x2 , t) и P(x1 , x2 , t) — заданные векторы напряжения внешних сил, а(−)(+)µ (x1 , x2 , t) и µ (x1 , x2 , t) — заданные векторы моментного напряжения внешних(−)(+)моментов на внутренней S и внешней S поверхностях соответственно. В силу(6.1.13) из (6.2.19) получаем√√+ (+)− −+ +(−)(+)(+)33 IJ3 3 I J KLI J KLPP = − 1+g− g− gK gL g P, P −g+ gJ P = 1+g+3 g+3 gKgL g P,II JI J√√−+− −+ +(−)(−)(−)(+)(+)(+)I J KLI J KLµ 3 −g−3 gJI µ J = − 1+g−3 g−3 gKgL g µ , µ 3 −g+3 gJI µ J = 1+g+3 g+3 gKgL g µ .(−)3− (−)−g− gJII3IJI JII J(6.2.20)285Учитывая (6.2.20), из соответствующих соотношений (6.2.6) и (6.2.9) находим(−)(−)(−)(−)(+)(+)X(x1 , x2 , t) = p(x1 , x2 , t) + C (x1 , x2 , t) P(x1 , x2 , t) + C (x1 , x2 , t) P(x1 , x2 , t),(−)(−)(+)(+)(+)(+)Y(x1 , x2 , t) = q(x1 , x2 , t) + C (x1 , x2 , t) h n × P(x1 , x2 , t) + C (x1 , x2 , t) h n × P,(−)(+)(−)(6.2.21)(+)Z(x1 , x2 , t) = f (x1 , x2 , t) + C (x1 , x2 , t) µ (x1 , x2 , t) + C (x1 , x2 , t) µ (x1 , x2 , t).Здесь введены следующие обозначения:√− −I J KLgL g ,C (x1 , x2 , t) = ϑ 1 + g−3 g−3 gK(−)(−)I J√+ +I J KLC (x1 , x2 , t) = ϑ 1 + g+3 g+3 gKgL g .(+)(+)I JУравнения (6.2.11), в которых X и Y определяются с помощью (6.2.21),представляют уравнения микрополярной теории оболочек в актуальной конфигурации с учетом заданных объемных нагрузок и нагрузок на лицевых поверхностях.
Аналогично приведенным выше уравнениям можно получить и уравнения в отсчетной конфигурации.6.3Вектор усилия (усилие) и векторы моментных усилий. О граничных условиях микрополярной теории оболочекОсновная гипотеза теории оболочек заключается в том, что вместо точечного нахождения непрерывных полей векторов напряжения и моментного напряжения в оболочке на поперечных площадках определяют их главные векторы(непрерывных полей векторов напряжения и моментного напряжения) и главный момент поля вектора напряжения. Таким образом, предполагается, чтооболочка представляет в достаточной мере жесткую механическую систему, поэтому если на всякой поперечной площадке систему действующих на нее непрерывно распределенных сил и моментов заменить статически эквивалентной силой и парой (момент этой пары — сумма главного момента распределенных сили результирующего момента распределенных моментов), то этим существенноне исказится картина напряженно-деформированного состояния оболочки.Пусть l̂ — орт тангенциальной нормали дуги dŝ координатной поверхностиŜ: x3 = const.
Обозначим через Σl линейчатую поверхность, образованную нормалями к S (базовой поверхности), проходящими через dŝ. Соответствующуюdŝ на базовой поверхности S дугу обозначим ds, а орт тангенциальной нормалик ней через l. Нетрудно заметить, что√ˆdΣ̂l̂ l̂ = dΣ̂l̂ = dr̂ × ndx3 = rIˆ × dxI ndx3 = ĝϵIJ rI dxJ dx3 ,√Σl = gϵIJ rI dxJ dx3 , dΣ̂l̂ = |dΣ̂ l̂ | = |dr̂ × n|dx3 = dŝdx3 ,dΣl l = dΣdΣl = dsdx3 .(6.3.1)Умножая обе части первого равенства (6.3.1) на rK̂ скалярно, а второго равенства на rK , получимdΣ̂l̂ ˆlIˆ =√ĝϵIJ dxJ dx3 ,dΣl lI =√gϵIJ dxJ dx3 .(6.3.2)На основании последних двух формул (6.3.1) и (6.3.2) находимdΣ̂l̂ ˆlIˆ dŝˆlIˆ √ −1== ĝg = ϑ̂ = (1 − k1 x3 )(1 − k2 x3 ).dΣl lIdslI(6.3.3)286Пусть P̂(ˆl) и N̂(ˆl) — векторы напряжения и моментного напряжения, действующие на площадку dΣ̂ˆl = dŝdx3 с нормалью l̂ в некоторой точке (x1 , x2 , x3 ) ∈dΣ̂ˆl .
Очевидно, имеем формулыˆP̂(l̂) = l̂ · P̂ = ˆlIˆP̂I ,eˆN̂(l̂) = l̂ · N̂ = ˆlIˆN̂I ,eP(l) = l · P = lI PI ,eN(l) = l · N = lI NI ,e(6.3.4)где, конечно, P̂ и N̂ — тензоры напряжений и моментных напряжений в точке(x1 , x2 , x3 ), а Pe= P̂e|x3 =0 и N = N̂|x3 =0 .eeee вектор (усилие) и главный момент распреВведем в рассмотрениеглавныйделенных сил напряжений, а также главный (результирующий) момент распределенных пар, действующих на Σl :(+)(+)T(l) ds =∫h∫hP̂(l̂) dŝdx3 =(−)P̂(l̂) dΣ̂l̂ ,(−)− h− h(+)∫hM(l) ds = n ×(+)P̂(l̂) x dŝdx = n ×33(−)P̂(l̂) x3 dΣ̂l̂ ,(6.3.5)(−)− h− h(+)N(l) ds =∫h(+)∫hµ(l̂) dŝdx3 =µ̂(−)∫hµ(l̂) dΣ̂l̂ .µ̂(−)− h− hТогда в силу соответствующих обозначений (6.2.6) и (6.2.9), а также с учетом(6.3.3) и (6.3.4) из (6.3.5) находим(+)(+)T(l) ds =∫h∫hIˆˆl ˆP̂ dŝdx3 =I(+)Iˆϑ̂lI P̂ dsdx3 = dslI(−)(−)− h− h∫h− hˆl ˆP̂Iˆx3 dŝdx3 = n ×I(−)(+)∫h∫hˆϑ̂lI P̂I x3 dsdx3 = lI MI ds = dsl · M,f(−)− h− hN(l) ds =ˆϑ̂P̂I dx3 = dslI TI = dsl · T,e(−)(+)(+)M(l) ds = n ×∫h(+)∫hIˆ3ˆl ˆµ̂I µ dŝdx =(−)− hˆµI dsdx3 = dslI NI = dsl · N.ϑ̂lI µ̂e(−)− hОтсюда, очевидно, имеем аналогичные (6.3.4) формулыT(l) = l · T = lI TI ,eM(l) = l · M = lI MI ,fN(l) = l · N = lI NI .e(6.3.6)Векторы T(l) , M(l) и N(l) коротко назовем векторами усилия, силового моментного усилия и моментного усилия, а тензоры T, M и N тензорами усилий, силоf eвых моментных усилий и моментных усилий eсоответственно.Легко видеть, чтокомпоненты тензоров усилий, силовых моментных усилий и моментных усилийимеют видT Ik =∫h−hˆϑ̂gJI P̂ Ik dx3 ,M IL =∫h−hϑ̂gJI CK· L· P̂ JK x3 dx3 ,ˆN Ik =∫h−hˆϑ̂gJI µ̂Ik dx3 .(6.3.7)Из (6.3.7) видно, что тензор усилий имеет шесть компонент, тензор силовыхмоментных усилий четыре, а тензор моментных усилий шесть.287Учитывая, что в линиях кривизны имеем соотношенияϑ̂ = (1 − k1 x3 )(1 − k2 x3 ),gαβ = 0,α ̸= β,g11̂ = (1 − k1 x3 )−1 ,g11̂ = (1 − k2 x3 )−1 ,контравариантные составляющие тензоров усилий, силовых моментных усилийи моментных усилий в линиях кривизны представляютая в форме 1Tα = T αk rk =∫h−hMα = M αJ rJ =Nα = N αk rk =[gαα − (k2 g1α + k1 g2α )x3 ]P̂α dx3 ,∫h−h∫h−h[gαα − (k2 g1α + k1 g2α )x3 ]CK· L· P̂ αK x3 dx3 rL ,µα dx3 ,[gαα − (k2 g1α + k1 g2α )x3 ]µ̂⟨α = 1, 2⟩.Очевидно, вектор усилия (усилие) T(l) и векторы силового моментного усилия M(l) и моментного усилия N(l) (или короче моменты) представляют векторы, рассчитанные на единицу длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
