Диссертация (786091), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Такое приближение близкок реальной картине, особенно для тонких упругих оболочек. Из первого соотношения (6.5.54) следует, что в классической моментной теории величиной(1)(1)P ln = l · P · n пренебрегают, считая ее нулем. Это означает, что поперечные касательные напряжения, т.е.
перерезывающие силы, незначительно изменяютсяпри изменении точки приложения силы в поперечном направлении. В теорииприближения порядка N = 1 не делаем такого рода допущения и, следователь(1)но, не пренебрегаем силами P ln , выражающимися приближенно формулой(1)(6.5.58)P ln ≈ h(∂3 P̂(ln) )|x3 =0 .ˆAJIЗаметим, что для оболочек класса TS в силу второго соотношения (6.5.16)≈ gJI и из формул (6.5.17) получаем∫hl · P̂I dx3 = P̂(l) dx3 ,e−h−h−hh∫h∫= n× lI P̂I x3 dx3 = n× P̂(l) x3 dx3 .T(l) =M(l)∫hlI P̂I dx3 =∫h−h(6.5.59)−hУчитывая (6.5.57), из (6.5.59) найдемT(l) =∫h(0)P̂(l) dx3 = 2hP(l) ,M(l) = n×−hТак как∫hP̂(l) x3 dx3 =−h(k)(k)(k)(1)2h2n × P(l) .3(k)P(l) = P (ll) l + P (ls) s + P (ln) n,k = 0, 1,(6.5.60)(6.5.61)то из (6.5.60) получим2h2 (1)2h2 (1)P (ll) , M(ls) = −P (ls) ,33(6.5.62)(k)1 ∫h2k + 1 ∫h33P̂(ln) (x1 , x2 , x3 )Pk ( xh )dx3 , P (ll) =P̂(ll) (x1 , x2 , x3 )Pk ( xh )dx3 ,2h −h2h −h2k + 1 ∫h3P̂(ls) (x1 , x2 , x3 )Pk ( xh )dx3 , k = 0, 1.=2h −h(6.5.63)(0)(0)(0)T(ll) = 2hP (ll) , T(ls) = 2hP (ls) , T(ln) = 2hP (ln) , M(ll) = −где(0)P (ls) =(k)P (ls)300Таким образом, определение усилий и моментов сил напряжений равносильно определению трех моментов нулевого порядка (нормальной, касательной ипоперечной составляющих вектора напряжения P̂(l) ) и двух моментов первого порядка (нормальной и касательной составляющих P̂(l) ).
Момент первогопорядка поперечной составляющей вектора напряжения P̂(l) не участвует в выражениях для T(l) и M(l) .Таким образом, в моментной теории оболочек должны определить в каждойфиксированной точке (x1 , x2 ) серединой поверхности S и для всякого тангенциального касательного орта l в этой точке пять величин: нормальное усилиеT(ll) , касательное усилие T(ls) , поперечное касательное усилие (перерезывающуюсилу) T(ln) , изгибающий момент M(ls) и крутящий момент M(ll) , которые действуют на дугу ds, ортогональную орту l.
Определение усилий и моментов,(0)(0)(0)(1)очевидно, равносильно определению пяти моментов P (ll) , P (ls) , P (ln) , P (ls) и(1)P (ll) компонент тензора напряжений. В моментной теории оболочек определе(1)ние момента первого порядка P (ln) поперечного касательного напряжения нетребуется.
Теперь ясно, что вариант теории оболочек, соответствующий приближению порядка N = 1, несколько шире классической моментной теории.Кроме тех пяти величин, которые нужно определить в моментной теории накаждой поперечной площадке Σl , в теории приближения порядка N = 1 опре(1)деляется вдобавок величина P (ln) , выражающая изменение поперечного касательного напряжения в поперечном направлении. Следует заметить. что этавеличина, вообще говоря, особенно для тонких оболочек, имеет незначительную величину и пренебрежение ею не может существенно исказить картинунапряженно-деформированного состояния оболочки. Но тем не менее ее сохранение в системе уравнений иногда имеет смысл, так как ее наличие позволяетпостроить непротиворечивую теорию оболочек, основанную на линейном относительно скалярной координаты x3 приближения. Эти построения отличаютсяот классической моментной теории тем, что на границе приходится задаватьвместо естественных для моментной теории оболочек пяти условий – нормального и касательного усилий, перерезывающей силы, изгибающего и крутящегомоментов, которые по совокупности статически эквивалентны заданию системы сил напряжений, действующей на соответствующую граничную площадку,(1)еще шестое условие – значение величины P (ln) .6.5.2Расщепляющая пара сил(1)Как было сказано выше, рассмотрение силы P (ln) может, вообще говоря, неоказать существенного влияния на деформацию оболочки, но тем не менее ее301сохранение в уравнениях, как увидим ниже, позволяет построить непротиворе(1)чивую теорию оболочек.
Кроме того, в ряде случаев действием силы P (ln) нецелесообразно пренебрегать, ибо она может иногда оказать существенное влияниена деформацию оболочки [69].(1)Пусть P (ln) ̸= 0. Тогда, в случае линейного приближения относительно скалярной координаты x3 , в точках (x1 , x2 , x3 ) и (x1 , x2 , −x3 ) симметрично расположенных относительно базовой поверхности S, на поперечной площадке Σlбудут приложены соответственно силы(0)P̂(ln) (x1 , x2 , x3 ) = P (ln) +x3 (1)P (ln) ,h(0)P̂(ln) (x1 , x2 , −x3 ) = P (ln) −x3 (1)P (ln) ,h(6.5.64)действующие в поперечном направлении. Если оболочка является жесткой впоперечном направлении, т.е.
если ее волокна нерастяжимы, то действие всякой(0)пари сил вида (6.5.64) эквивалентно перерезывающей силы P (ln) . Если же поперечные волокна оболочки подвергаются растяжениям и сжатиям, то действиепары сил вида (6.5.64), очевидно, будет вызывать удлинение (укорачивание)поперечных волокон, вследствие чего действие этих сил может оказать влияние на деформацию оболочки в поперечном направлении. В некоторых случаях(1)(1)действие сил (x3 /h)P (ln) и −(x3 /h)P (ln) , которые можно считать эквивалентным действию пары (−Q(l) , Q(l) ), где Q(l) представляет равнодействующую сил(1)(x3 /h)P (ln) в промежутке (0, h), т.е.Q(l) =∫h x3 (1)1 (1)P (ln) dx3 = hP (ln) ,20 h(6.5.65)может разорвать некоторые поперечные волокна и вследствие этого в оболочке могут образовываться трещины в продольном направлении.
Таким об(1)разом, при P (ln) ̸= 0 на площадке Σl будет действовать пара касательных сил(−Q(l) , Q(l) ), статически эквивалентных нулю, но ее действия иногда могут произвести расщепление оболочки в продольном направлении. В этой связи парусил (−Q(l) , Q(l) ) называется расщепляющей парой. Ниже увидим, что расщепляющая пара сил, как и следовало ожидать, выражается через удлинение (укорочение) поперечных волокон оболочки.В классической теории оболочек, согласно гипотезе Кирхгофа-Лява, поперечные волокна считаются нерастяжимыми, т.е. их удлинения равны нулю.
Поэтому, очевидно, в классической теории этой парой сил пренебрегают. Интуитивно, очевидно, что действие расщепляющей пары сил может иметь значительное влияние лишь для толстых и средней толщины оболочек.6.5.3Выражение компонент усилий и моментов через компонентымоментов вектора перемещенийНетрудно видеть, что из формул (6.5.60) имеем(0)T I = 2hPI ,MI =(1)2h2n × PI ,3302которые в развернутом в виде представляются следующим образом:(0)(0)T I ≡ T I3 = 2hP I3 ,T IJ = 2hP IJ ,M IJ =2h2 (1)IK · JP CK · .3(6.5.66)Видно, что для оболочек класса TS (1−k1 x3 ≈ 1, 1−k2 x3 ≈ 1) компоненты T IJ(1)симметричны. Так как PчтоIJ(1)= P JI , то из последнего равенства (6.5.66) следует,M I· I· = M 1· 1· + M 2· 2· = 0.(6.5.67)Легко показать, что в случае изотропного материала при h = const в силузакона Гука из формул (6.5.66) получим(0)(0)T IJ = 2h[λ(∇K u K − 2H u 3 +(0)(0)T I = 2hµ(∇I u 3 + bIJ u J +2M IJ =1 (1) IJ(0)(0)(0)u 3 )g + µ(∇I u J + ∇J u I − 2bIJ u 3 )],h1 (1)Iu ),h(6.5.68)2h(1)(1)· J I (1)K· J IK (1)· J K (1)I∇ u + µCK·∇ u − 2µCK·b u 3 ].[λ(∇K u K − 2H u 3 )C IJ + µCK·3Легко видеть, что в силу формулы (6.5.65)1 (1)Q(l) = QI lI = hP I3 lI .2Отсюда, очевидно, для расщепляющих сил имеем выражение1 (1)(1)(0)QI = hP I3 = hµ(∇I u 3 + bIJ u J )2(6.5.69)Из формул видно, что компоненты усилий и моментов выражаются через шесть(0)(0)(0)(1)(1)(1)функций u 1 , u 2 , u 3 , u 1 , u 2 и u 3 .Следует отметить, что уравнения классической теории оболочек для усилийи моментов не позволяют однозначно определить эти шесть искомых функцийс помощью физических краевых условий, т.е.
посредством задания граничныхусловий для нормального и касательного усилий, перерезывающей силы, изгибающего и крутящего моментов. Поэтому необходимо рассмотрение такжеграничных значений расщепляющей силы Q(l) .Если будем пренебрегать рассмотрением расщепляющих сил и пожелаемопределить только поле усилий и моментов, то система из пяти уравнений классической моментной теории оболочек (которые будут выписаны ниже) будетнедостаточна для определения шести функций, которые входят в выражения(6.5.68). Поэтому необходимо из этих выражений исключить одну из этих искомых функций, но так, чтобы полученная система была корректна относительно заданных граничных значений пяти физических краевых условий моментнойтеории (Нормальных и касательных усилий, перерезывающих сил, изгибающихи крутящих моментов).6.5.4Гипотеза о жесткости тонкого тела с одним малым размеромв поперечном направлении (деформирование без обжатия)Следуя классической традиции, предположим, что поперечные перемещениятонкого тела не зависит от скалярной координаты x3 .
Это означает, что поперечные волокна не подвергаются удлинениям (укорачиваниям). Так как в303общем случае компоненты перемещений имеют представленияûi (x′ , x3 ) =∞ (k)∑ui (x1 , x2 )Pk (ω),ω = x3 /h,(6.5.70)k=0то удлинение (укорачивание) поперечного волокна в силу (6.5.70) выражаетсяформулой∞ (k)∆û3∂ û31 ∑==ui (x1 , x2 )Pk′ (ω) =33∆x ∆x∂xh k=0∞ (k+2p+1)∞∑1 ∑12[(2k + 1)ui (x , x )]Pk (ω).=h k=0p=0v(x1 , x2 , x3 ) = lim3Следовательно, в рассматриваемом случае надо принять допущениеv(x1 , x2 , x3 ) =∞ (k+2p+1)∑1ui (x1 , x2 )]Pk (ω) = 0.[(2k + 1)hp=0Отсюда, учитывая ортогональность системы полиномов Лежандра, получим((2k + 1)∞ (k+2p+1))∑(k)ui (x1 , x2 ) = 0, k = 0, ∞ ⇔ ( u3 = 0, k = 1, ∞).(6.5.71)p=0Таким образом, в силу (6.5.71) при жесткости тонкого тела в поперечном направлении имеемûI = ûI (x′ , x3 ) =∞ (k)∑u I (x1 , x2 )Pk (ω),(0)ω = x3 /h, û3 = u3 (x1 , x2 ).(6.5.72)k=0Следует заметить, что (6.5.72) выражает кинематическую гипотезу классической теории тонких тел с одним малым размером.
Из нее следуют кинематические гипотезы теории оболочек. Например, гипотеза о жесткости тонкоготела в поперечном направлении в линейном приближении на основании (6.5.72)можно сформулировать в виде(0)ûI = u I (x1 , x2 ) +x3 (1) 1 2u I (x , x ),h(0)û3 = u3 (x1 , x2 ).(6.5.73)Заметим, что в микрополярной теории оболочек принимаются различныекинематические гипотезы. Например, в [18] принята независимость третьихкомпонент векторов перемещений и вращений от x3 , в [460, 462] сделано допущение о независимости третьей компоненты вектора перемещений и векторавращений от x3 , а в работах С.О. Саркисяна сформулированы различные кинематические гипотезы о линейном распределении относительно поперечной координаты векторов перемещений и вращений (см. [373–377, др.].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
