Диссертация (786091), страница 64
Текст из файла (страница 64)
См. также работы[21, 135, 139, 140, 143, 145, 159, 167, 431–433, 436, 456–458, 481, 482, 485, 500, 514, 530]Естественно, в микрополярной теории тонких тел с одним малым размеромпомимо гипотезы (6.5.72) относительно вектора вращений φ можно принятьдопущениеφ̂I = φ̂I (x′ , x3 ) =∞ (k)∑φ I (x1 , x2 )Pk (ω),(0)ω = x3 /h, φ̂3 = φ3 (x1 , x2 ).(6.5.74)k=0Хотя, по мнению автора в теориях тонких тел более приемлемым являетсядопущение (6.5.72) и различные его приближения, а, что касается вектора вращений, конечно, относительно него можно высказать различные гипотезы в304зависимости от рассматриваемой конкретной задачи.
Вообще говоря, гипотезы надо сформулировать таким образом, чтобы они соответствовали реальнойкартине деформирования тела и что число неизвестных функций не превосходило числа уравнений. Видно, что сформулированные кинематические гипотезы(6.5.72) и (6.5.74) для теории тонких тел с одним малым размером более общие,чем гипотезы приведенные в указанной выше литературе.Конечно, используя допущения (6.5.72) и (6.5.74), в теориях тонких тел получим более простые уравнения по сравнению с уравнениями, которые получаются без этих допущений.Итак, при линейном относительно x3 приближении в случае жесткости обо(1)лочки в поперечном направлении выполняется условие u 3 = 0 (см. (6.5.73)).Тогда в силу этого допущения формулы (6.5.68) примут вид(0)(0)(0)(0)(0)T IJ = 2h[λ(∇K u K − 2H u 3 )g IJ + µ(∇I u J + ∇J u I − 2bIJ u 3 )],1 (1)(0)(0)T I = 2hµ(∇I u 3 + bIJ u J + u I ),h22h(1)· J I (1)K· J K (1)I∇ u + µCK·∇ u ).(λ∇K u K C IJ + µCK·M IJ =3(6.5.75)(0)В этих выражениях фигурируют пять искомых функций: три компоненты u 1 ,(0)(0)(0)(1)(1)u 2 , u 3 момента нулевого порядка u и две касательных компоненты u 1 и u 2 мо(1)мента первого порядка u вектора перемещения u.
Третья компонента момента(1)u, выражающая удлинение v поперечного волокна, в силу принятой гипотезыравна нулю. Следует заметим, что допущение (6.5.73) является частью гипотезы Кирхгофа-Лява в теории оболочек. Второе допущение Кирхгофа-Лява,утверждающее, что поперечные волокна, не испытывая удлинение, остаютсяортогональными деформированной поверхности, не используется.6.5.5Система уравнений классической моментной теории оболочекв усилиях и моментахЭта система уравнений легко выводится из трехмерных уравнений (см. такжешесть первых уравнений (6.2.14) при T∗I3 = T∗3I ) и имеет вид [69]∇J T JI − bIJ T J + X I = 0,∇J M JI − CJ··I T J + Y I = 0,∇I T I + bIJ T IJ + X 3 = 0,(6.5.76)bIJ M IJ + CIJ T IJ = 0,где введены следующие обозначения:TI =∫hˆϑ̂P̂I dx3 ≈hMI =∫h∫h(0)P̂I dx3 = 2hPI ,(+)+ (+)(−)− (−)X = P3 ϑ − P3 ϑ +h(+)(−)Φdx3 ≈ − P − P +ϑ̂Φ̂hˆϑ̂P̂ IJ x3 n × rJ dx3 ≈h∫hP̂ IJ x3 n × rJ dx3 =h(+)+ (+)∫h(−)− (−)Y = hn × ( P 3 ϑ − P 3 ϑ ) +∫hh∫hΦdx3 ,Φ̂h2 (1)2h IJ ·KP CJ· rK ,3(+)(−)Φx3 dx3 ≈ −hn × ( P + P) +ϑ̂n × Φ̂∫hhΦx3 dx3 ,n × Φ̂(6.5.77)305TI = T IJ rJ + T I n (T I ≡ T I3 ),MI = M IJ rJ ,T IJ =∫hˆϑ̂P̂ IJ dx3 ≈hTI =∫hˆϑ̂P̂ I3 dx3 ≈h∫h(0)P̂ I3 dx3 = 2hP I3 ,M IJ =h∫h(0)P̂ IJ dx3 = 2hP IJ ,h2h2 (1)IK ·JP CK· .3Нетрудно заметить, что из последней формулы (6.5.77) имеем(1)P IJ =3J·M IK C·K,2h2M·II· = 0.Легко доказать также, что последнее уравнение в (6.5.76) является тождеством.
Итак, в классической теории оболочек имеем пять уравнений, с помощьюкоторых можно определить не более пяти неизвестных функций и пять граничных условий, которые получаются на оснований формул (6.5.12) и (6.5.13)и имеют видl · T = T(l) = T(ll) l + T(ls) s + T(ln) n = f ,el · M = M(l) = M(ll) l + M(ls) s = g,fгде f и g определяются с помощью заданных функций.6.5.6Система уравнений классической моментной теории оболочекотносительно компонент моментов нулевого и первого порядков вектора перемещенийУчитывая (6.5.75), из первых пяти уравнений (6.5.76) получим систему уравне(0)(1)ний непосредственно относительно искомых пяти функций u i и uI в виде(0)(0)(0)(0)IIJµ∇I ∇I u J + (λ + µ)∇J ∇I u I + µ(KgIJ − bJK bK+ 3µbIJ )∇I u 3 −I ) u − (2λHg(0)1(0)(1)−2[∇I (λHg IJ + µbIJ )] u 3 − µbJI u I + Φ J = 0,hI (0)2IJ (0)I (0)Jµ∇I ∇ u 3 − 2(λH + µbIJ b ) u 3 + (2λHgIJ + 3µbIJ )∇ u +(0)1(0)(1)+2µ∇I H u I + µ∇I u I + Φ 3 = 0,h3 (1)J (1)J3 J (0)I 3(1)I (1)JJJ (0)Iµ∇I ∇ u + (λ + µ)∇ ∇I u − µbI u − µ∇ u 3 − 2 µ u + Φ = 0,hhh(6.5.78)где для объемной нагрузки имеем следующее выражение:(k)(k)Φ=Φ+(−)(−)+(−)−2k + 1 (+)+3 (+)+I (+)[( P − P ∂I h ) + (−1)k+1 ( P 3 − P I ∂I h )],2hP m = P̂m̂ (±)(±)(±)x3 =± h.(6.5.79)При выводе последнего уравнения (6.5.78) было принято приближенное равенство2(1)Kµ u J −3 (1)J3Kh (1)J3 (1)Jµu=−µ(1−)u≈−µu .h2h23h2(6.5.80)Таким образом, система уравнений классической моментной теории оболочеккласса TS представляет эллиптическую систему 10-го порядка относительно(0)(0)(0)(1)(1)пяти искомых функций u 1 , u 2 , u 3 , u 1 и u 2 .
Если к этой системе присоединить пять краевых условий в зависимости от типа краевой задачи, получимкорректно поставленную соответствующую краевую задачу.3066.5.7Система уравнений классической моментной теории пластинотносительно компонент моментов нулевого и первого порядков вектора перемещенийВ этом случае bIJ = 0 и из (6.5.78) будем иметь следующие уравнения:(0)(0)(0)µ∇I ∇I u J + (λ + µ)∇J ∇I u I + Φ J = 0,(0)1(0)(1)µ∇I ∇I u 3 + µ∇I u I + Φ 3 = 0,h3 ( J (0)1 (1)J ) (1)J(1)(1)I JJIµ∇I ∇ u + (λ + µ)∇ ∇I u − µ ∇ u 3 + u + Φ = 0.hh(6.5.81)Первые два уравнения (6.5.81) представляют систему уравнений плоской задачи. Эта система не зависит от других уравнений (6.5.81) и поэтому можноисследовать независимо от них. Последние три уравнения системы (6.5.81) за(0)(1)цеплены, так как в каждое уравнение входят три искомые функции u 3 , u 1 и(1)(1)u 2 .
Однако легко исключить из этих уравнений функции u I и получить урав(0)нение для u 3 . В самом деле, применяя к обеим частям последнего соотношения(6.5.81) оператор ∇J , а затем подставляя в полученное соотношение выражение(0)(0)для ∇I u I , определенного из третьего уравнения, получим уравнение для u 3 ввиде(0)∆∆ u 3 −(0)(1)1 (0)13+−Φ∆Φ∇Φ I = 0.33I(λ + 2µ)h2µ(λ + 2µ)h(6.5.82)Допустим, что оболочка свободна от объемных сил, к внешней лицевой по(+)(+)верхности приложены постоянные нормальные напряжения P = P 3 = −pn,(−)(−)где p = const, а внутренняя поверхность свободна от напряжений: P = P 3 = 0.Тогда в силу (6.5.79) имеем(0)Φ=1pn,2h(1)Φ=3pn2h(6.5.83)и система уравнений (6.5.81) и (6.5.82) примут вид(0)(0)µ∇I ∇I u J + (λ + µ)∇J ∇I u I = 0,11(1)(0)µ∇I ∇I u 3 + µ∇I u I + p = 0,h2h1 (1)J )3 ( J (0)(1)I (1)JJIµ∇I ∇ u + (λ + µ)∇ ∇I u − µ ∇ u 3 + u = 0,hh3(0)p = 0.∆∆ u 3 −2(λ + 2µ)h2(6.5.84)Систему уравнений (6.5.84) можно интегрировать в явном виде [62], однако наэтом останавливаться не будем.6.5.8Уравнения мембранной (безмоментной) теории оболочекПредположим, что в оболочке обращаются в нуль моменты сил напряжений,действующих на поперечные площадки.
Тогда M IJ = 0 и из системы уравнений307(6.5.76) следует, что T I = 0 и T IJ = T JI , т.е. матрица T IJ симметрична, а перерезывающие силы равны нулю. В этом случае из системы уравнений (6.5.76)получаем∇J T JI + X I = 0,bIJ T IJ + X 3 = 0.(6.5.85)Таким образом, задача определения безмоментного напряженного состоянияоболочки сводится к отысканию трех функций T 11 , T 12 = T 21 и T 22 , которыеудовлетворяют системе уравнений (6.5.85).6.6Задача классической теории упругости в перемещенияхУравнения движения в перемещениях классической теории упругости в случаелинейного однородного изотропного материала можно записать в видеL · u + ρF = 0,e(6.6.1)где введено в рассмотрение следующий дифференциальный тензор-оператор:L = µE22 + (λ + µ)∇∇,ee22 = ∆ −µ 2∂ .ρ t(6.6.2)Обозначим дифференциальный тензор-оператор алгебраических дополненийдифференциального тензора-оператора L через L∗ .
Тогда после элементарныхeвычислений для L∗ получим выражениеeeL∗ = µ22 [(λ + 2µ)E21 − (λ + µ)∇∇],ee21 = ∆ −λ + 2µ 2∂t .ρ(6.6.3)Имея выражения для L и L∗ , нетрудно доказать, что имеет место соотношениеe eL · L∗ = L∗ · L = EdetL,e ee e ee(6.6.4)где определитель detL дифференциального тензора-оператора L имеет выраeeжениеL ≡ |L| ≡ detL = µ2 (λ + 2µ)21 222 .ee(6.6.5)N = (λ + 2µ)E21 − (λ + µ)∇∇.ee(6.6.6)Введем в рассмотрение дифференциальный тензор-операторТогда, очевидно, оператор L∗ можно представить в видеeL∗ = µN22 .ee(6.6.7)В силу (6.6.2) и (6.6.6) нетрудно доказать, чтоL · N = N · L = µ(λ + 2µ)E21 22 .e ee ee(6.6.8)Применяя оператор L∗ (см. (6.6.3) и (6.6.7)) со следующим однократным умноeжением к (6.6.1) и учитывая(6.6.4) и (6.6.5), получим()22 21 22 u + G = 0,G=)1ρ(1N(ρF) =∇∇ · F.E2 1 −µ(λ + 2µ) eµ e2(1 − ν)(6.6.9)Вектор u теперь будем искать в виде (представление Галеркина, Яковаке)u = N · v = [(λ + 2µ)E21 − (λ + µ)∇∇] · v,ee(6.6.10)308где v — произвольное векторное поле.
Тогда подставляя (6.6.10) в (6.6.1) иучитывая (6.6.8), будем иметь21 22 v +ρF = 0.µ(λ + 2µ)(6.6.11)Очевидно, если вектор u искали бы в виде u = ρ/[µ(λ + 2µ)]N · w, где w —eпроизвольное векторное поле, то вместо (6.6.11) получили уравнение21 22 w + F = 0.(6.6.12)Наконец, применяя N (см. (6.6.6)) со следующим однократным умножениемeк (6.6.1) и учитывая (6.6.8),будем иметь21 22 u + G = 0.(6.6.13)Таким образом, в виде (6.6.11), (6.6.12) и (6.6.13) получили расщепленныесистемы уравнений теории упругости линейно-упругого однородного материалав перемещениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
