Диссертация (786091), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Поэтому дляeeeeA = B = 0, т.е.изотропных материалов (если A должен бытьизотропным)eeeвсегда обтакие микрополярные изотропные материалы, если они существуют,ладают центром симметрии. Однако некоторые авторы (Аэро, Баскаков и др.)допускают, что A = AT и для изотропных материалов A ̸= 0. Считая A ̸= 0,ee матричный дифференциальный тензор-операторeeи веквведем в рассмотрениеторы-столбцы(M=fAeBeBeCe)(,U=uφ)(,X=ρF − b∗ ∇ϑρm − β∗ ∇ϑ).(6.7.29)Тогда уравнения (6.7.27) можно коротко представить в следующем виде:M · U + X = 0.f(6.7.30)Здесь изотропные тензоры четвертого ранга имеют выраженияC = c1 C(1) + c2 C(2) + c3 C(3) ,eeeeD = d1 C(1) + d2 C(2) + d3 C(3) .eeeeA = a1 C(1) + a2 C(2) + a3 C(3) ,eeee(6.7.31)Кроме того, введены следующие обозначения:b∗ = a∗ (3c1 +c2 +c3 )+d∗ (3a1 +a2 +a3 ), β∗ = d∗ (3d1 +d2 +d3 )+a∗ (3a1 +a2 +a3 ),c1 = λ, c2 = b = µ + λ, c3 = µ − α, d = c1 + c2 = λ + µ − α,(b + d = c1 + c2 + c3 = λ + 2µ, c2 − c3 = 2α), l = 4α,d1 = γ, d2 = g = δ + β, d3 = δ − β, m = d1 + d3 = γ + δ − β,(g + m = d1 + d2 + d3 = γ + 2δ, d2 − d3 = 2β),a1 = q, a2 = s = r + p, a3 = r − p, n = a1 + a3 = q + r − p,(s + n = a1 + a2 + a3 = q + 2r, a2 + a3 = 2r, a2 − a3 = 2p),Q1 = Q2 + d∆, Q2 = c2 ∆ − ρ∂t2 , Q3 = Q4 + m∆, Q4 = d2 ∆ − 4α − J∂t2 ,R1 = R2 + n∆ = (q + 2r)∆, R2 = a2 ∆ = s∆ (R1 + R2 = (2s + n)∆).(6.7.32)323Нетрудно доказать, что операторы A, B, C попарно коммутируют относиe eт.е.eтельно операции однократного умножения,A · B = B · A,e ee eA · C = C · A,e ee eB · C = C · B.e ee e(6.7.33)Учитывая (6.7.33), уравнения (6.7.27) без учета температуры можно представить в видеD · u + C · (ρF) − B · (ρm) = 0, D · φ + A · (ρm) − B · (ρF) = 0,eeeeee2D = A · C − B = EP + Q∇∇ − RC· ∇, P = Q2 Q4 + 4α2 ∆ − R22 ,≃ee e eeR = 4pQ2 , Q = mQ2 + dQ4 + [dm − n(2s + n)]∆ − 4α2 .(6.7.34)Дифференциальный тензор-оператор алгебраических дополнений D∗ и определитель |D| дифференциального тензора-оператора D имеет вид eee2D∗ = (P + Q∆)(EP − RC· ∇) − (P Q − R )∇∇ = EX − Y ∇∇ − ZC· ∇,≃≃eeeX = P (P + Q∆), Y = P Q − R2 , Z = R(P + Q∆),|D| = (P + Q∆)(P 2 + R2 ∆) =e= {Q1 Q3 − [s2 + n(2s + n)]∆2 }[(Q2 Q4 + 4α2 ∆ − s2 ∆2 )2 + 16p2 Q22 ∆].(6.7.35)Кроме того, имеемDT∗ · A = A · DT∗ = EXQ2 + (dX − Y Q1 ∆)∇∇ + ZQ2 C· ∇,≃eee eeDT∗ · B = B · DT∗ = E(XR2 + 2αZ∆)+eee ee+(nX − 2αZ − Y R )∇∇ + (ZR − 2αX)C · ∇,12≃(6.7.36)DT∗ · C = C · DT∗ = E(XQ4 + 4pZ∆)+eee ee+(mX − 4pZ − Y Q3 )∇∇ + (ZQ4 − 4pX)C· ∇.≃Применяя к уравнениям (6.7.34) слева оператор DT∗ со следующим одноeкратным умножением, получим следующие расщепленныеуравнения:|D|u + (DT∗eeφ + (DT∗|D|φee6.7.3· C) · (ρF) − (DT∗ · B) · (ρm) = 0,eee· C) · (ρm) − (DT∗ · B) · (ρF) = 0.eee(6.7.37)О граничных условиях в линейной трехмерной микрополярнойтеории упругости.
Тензор-оператор напряжения и моментногонапряженияГраничные условия для линейно-упругого неоднородного анизотропного не обладающего центром симметрии тела при неизотермических процессах можнопредставить в видеφ +P(1) ϑ = P(n) ,T(1) ·u+T(2) ·φeeφ +P(2) ϑ =µµ(n) ,T(3) ·u+T(4) ·φeeP (3) ϑ = q(n) ,(6.7.38)где введены в рассмотрение следующие дифференциальные операторы:T(1) = rj rl ni C ijkl ∇k ,e2T(2) = rj rl ni Aijkl ∇k − n · C ⊗ C,ee ≃2T(3) = rj rl ni B ijkl ∇k , T(4) = rj rl ni Dijkl ∇k − n · B ⊗ C,eee ≃P(1) = −n · b, P(2) = −n · β , P (3) = −n · Λ · ∇.eee(6.7.39)324Введем в рассмотрение матричный дифференциальный тензор-оператор(тензор-оператор напряжения и моментного напряжения) и матрицы-столбцыT(1)e (3)T= Te0uU = φ ,ϑT(2) P(1)e (4) P(2) ,Te0 P (3)Q(n)P(n)= µ (n) .q(n)(6.7.40)Тогда в силу (6.7.40) граничные условия (6.7.38) можно записать в формеT(1)e (3) Te0 T(2) P(1)uP(n)e (4) P(2) · φ = µT(n)e0 P (3)ϑq(n)или коротко(6.7.41)T · U = Q(n) .(6.7.42)Если решается несвязанная задача, то в этом случае целесообразно рассматривать матричный дифференциальный тензор-оператор (оператор напряженияи моментного напряжения) и матрицы-столбцы (векторные столбцы):(T=eT(1)e (3)TeT(2)e (4)Te)(,U=uφ)(,Q(n) =P(n)µ (n)).(6.7.43)Тогда в этом случае граничные условия можно представить в виде(T(1)e (3)TeT(2)e (4)Te)) ( ) (uP(n)=·φµ (n)или короткоT · U = Q(n) .e(6.7.44)В случае не обладающего центром симметрии изотропного материала имеемT(1) = c2 En · ∇+c1 n∇+c3 (n∇)T ,ee(3)T = a2 En · ∇+a1 n∇+a3 (n∇)T ,eeT(2) = a2 En · ∇+a1 n∇+a3 (n∇)T −(c2 −c3 )n · C,≃ee(6.7.45)T(4) = d2 En · ∇+d1 n∇+d3 (n∇)T −(a2 −a3 )n · C.≃eeВведем в рассмотрение также дифференциальный тензор-оператор′T (4) = d2 En · ∇ + d1 n∇ + d3 (n∇)T .ee(6.7.46)Нетрудно заметить, чтоT(2) = T(3) − (c2 − c3 )n · C,≃ee′.T(4) = T (4) − (a2 − a3 )n · C≃ee(6.7.47)Будем предполагать, что рассматриваемое тело имеет кусочно-гладкую плос′′(1)(3)(3)(4)(4)кую границу.
Тогда, обозначая T(1)|) дифферен∗ и |T | (T∗ , |T |; T∗ , |Teeeeeциальный тензор-оператор алгебраическихдополненийиeопределительтензора′(1)(3)(4)оператора T (T , T ), после простых, хотя громоздких, вычислений поeeeлучимT(1)∗ = [(c1 + c2 )(c2 + c3 )En·∇ − c3 (c1 + c2 )n∇−ee−c1 (c2 + c3 )(n∇)T ]n·∇ + c1 c3 [∇∇ + (nn − E)∆],e3(1)|T | = c2 [(c1 + c2 )(c2 + c3 )nnn ⊗∇∇∇ − c1 c3 ∆n·∇] =e2= c2 [(c1 + c2 )(c2 + c3 )nn ⊗∇∇ − c1 c3 ∆]n·∇,325T(3)∗ = [(a1 + a2 )(a2 + a3 )En·∇ − a3 (a1 + a2 )n∇−ee−a1 (a2 + a3 )(n∇)T ]n·∇ + a1 a3 [∇∇ + (nn − E)∆],e(6.7.48)2|T(3) | = a2 [(a1 + a2 )(a2 + a3 )nn ⊗∇∇ − a1 a3 ∆]n·∇,e′T∗(4) = [(d1 + d2 )(d2 + d3 )En·∇ − d3 (d1 + d2 )n∇−ee−d1 (d2 + d3 )(n∇)T ]n·∇ + d1 d3 [∇∇ + (nn − E)∆],e2′ (4)|T | = d2 [(d1 + d2 )(d2 + d3 )nn ⊗∇∇ − d1 d3 ∆]n·∇.eСледует заметить, что найти соответствующие дифференциальные тензорыоператоры алгебраических дополнений для T(2) и T(4) из-за наличия в нихeeнедифференциальных слагаемых затруднительно.Отметим, что мы добываемся расщепления граничных условий, т.е.
хотимпо отдельности для u и φ получить граничные условия. С целью сокращения′письма рассмотрим случай, когда a2 = a3 , c2 = c3 . Тогда T(2) = T(3) , T(4) = T (4)eeeи граничные условия (6.7.44) можно записать в виде eφ = P(n) ,T(1) ·u+T(3) ·φee′φ = µ (n) .T(3) ·u+T (4) ·φee(6.7.49)В рассматриваемом случае легко получить граничные условия по отдельности относительно u и φ .
В самом деле, применяя к первому соотношениюT(6.7.49) оператор |T(3) |T(1)со следующим однократным умножением, а ко вто∗ee(1)(3) Tрому |T |T∗ и учитываяe eTT·T(3) = E|T(3) |,·T(1) = E|T(1) |, T(3)T(1)∗∗ee eee eee(4)(2)(3)(3) T(1) TTT·T= T(3)·T=·T,T·T′ (4) ,T(1)T∗∗∗∗eeeeeeeeа затем из первого полученного соотношения вычитая второе, будем иметь()(3)(1)(3) T′ (4)TTTµ(n) .·T−|T·T· φ = |T(3) |T(1)·P(n) − |T(1) |T(3)·µ|T(3) |T(1)|T∗∗∗∗∗e eee eee ee e(6.7.50)Аналогично (6.7.50), применяя к первому соотношению (6.7.49) оператор(4)T|T′ (4) |T(3)со следующим однократным умножением, а ко второму |T(3) |T′ ∗ T∗ee eиeучитываяTT(3)·T(3) = E|T(3) |,∗eee eT′ ∗e(4) T·T′ (4) = E|T′ (4) |,ee eа затем из первого полученного соотношения вычитая второе, будем иметь(T|T′ (4) |T(3)·T(1) − |T(3) |T′ ∗∗eee ee(4) T)(4)Tµ(n) .·T(3) · u = |T′ (4) |T(3)·P(n) − |T(3) |T′ ∗ T ·µ∗eee ee(6.7.51)Соотношения (6.7.50) и (6.7.51) являются искомыми граничными условиями.Заметим, что граничные условия расщепляются и в более общем случае.
Сцелью сокращения письма на этом останавливаться не будем. Далее отметимтолько, что граничные условия сравнительно легко расщепляются в следующихслучаях:1. c2 = c3 , 2. a2 = a3 , 3. d2 = d3 ,3264.(·Te(1)Te5.((1)Te6.((1)Te7.((1)(3)′ (4)T , T , Teee·Te(3)′ (4)′ (4)·Te=Te(3)·Te(1)′ (4)·Te′ (4)·Te=Te=Te)(1)(1)))()c1a1⇔ ξ==,c3a3(6.7.52)()c1d1⇔ η==,c3d3(6.7.53)()a1d1⇔ ζ==,a3d3(6.7.54)())c1a1d1попарно коммутируют ⇔ ξ ===.c3a3d3(6.7.55)8. Для обладающих центром симметрии материалов и в том числе для редуцированных сред.
В этом случае для нередуцированных сред T(2) = (c3−c2 )n · C≃eи T(3) = 0 и тензор-оператор напряжения и моментного напряжения— диффеeренциальнаятреугольная тензорно-блочная матрица и легко расчленить граничные условия . Для редуцированной среды T(2) = 0 (c2 = c3 ) и T(3) = 0 иeeтензор-оператор напряжения и моментного напряжения— дифференциальнаятензорно-блочно-диагональная матрица и ее легко обратить и, конечно, легкорасчленить граничные условия.Далее допустим, что одновременно выполняются первое, второе, третье иседьмое условия, т.е.c2 = c3 ,a 2 = a3 ,d2 = d3 ,ξ=c1a1d1== ,c3a3d3(6.7.56)Учитывая (6.7.56), операторы (6.7.45) примут видT(1) = c2 [En · ∇ + ξn∇ + (n∇)T ],eeT(2) = T(3) = a2 [En · ∇ + ξn∇ + (n∇)T ],eeeT(4) = d2 [En · ∇ + ξn∇ + (n∇)T ].ee(6.7.57)() 2T = C(1) + ξC(2) + C(3) ⊗ n∇ = [En · ∇ + ξn∇ + (n∇)T ],eeeee(6.7.58)Вводя обозначениедифференциальные тензоры-операторы (6.7.57) можно представить в видеT(1) = c2 T,eeT(2) = T(3) = a2 T,eeeT(4) = d2 T,ee(6.7.59)а граничные условия (6.7.49) в формеφ = P(n) ,c2 T ·u + a2 T ·φeeφ = µ(n) .a2 T ·u + d2 T ·φee(6.7.60)Нетрудно найти выражения для T∗ и |T|.
Они имеют видeeT∗ = [2(1 + ξ)En·∇ − (1 + ξ)n∇ − 2ξ(n∇)T ]n·∇ + ξ[∇∇ + (nn − E)∆],eee2|T| = [2(1 + ξ)nn ⊗∇∇ − ξ∆]n·∇.e(6.7.61)327Считая, что c2 d2 − a22 ̸= 0 и решая систему уравнений (6.7.60) относительноφ, получимT ·u и T ·φeeT ·u = (c2 d2 − a22 )−1 (d2 P(n) − a2µ(n) ),eφ = (c2 d2 − a22 )−1 (c2µ(n) − a2 P(n) ).T ·φe(6.7.62)Умножая каждое равенство (6.7.62) слева на TT∗ (TT∗ ·T = E|T|) будем иметьee ee e|T|u = (c2 d2 − a22 )−1 TT∗ ·(d2 P(n) − a2µ (n) ),eeφ = (c2 d2 − a22 )−1 TT∗ ·(c2µ (n) − a2 P(n) ).|T|φee6.7.4Статическая (квазистатическая) задача микрополярной теории упругости в перемещениях и вращенияхС целью сокращения письма рассмотрим материал, обладающий центром симметрии. Тогда в случае статики или квазистатики, например, из (6.7.26) будемиметь уравненияQ∗1 (Q∗2 Q∗4 + 4α2 ∆)u + S∗ = 0,φ + H∗ = 0,Q∗3 (Q∗2 Q∗4 + 4α2 ∆)φ(6.7.63)где введены следующие обозначения:S∗ = 2αQ∗1 (C·∇)·(ρm) + [EQ∗1 Q∗4 −(dQ∗4 −4α2 )∇∇]·(ρF),≃eH∗ = 2αQ∗3 (C·∇)·(ρF) + [EQ∗2 Q∗3 −(mQ∗2 −4α2 )∇∇]·(ρm),≃eQ∗1 = (b + d)∆, Q∗2 = b∆, Q∗3 = (g + m)∆ − l, Q∗4 = g∆ − l,d = λ + µ − α,l = 4α,b = µ + α,m = γ + δ − β,(6.7.64)g = δ + β.Нетрудно заметить, что, учитывая соответствующие обозначения из (6.7.64)уравнения (6.7.63) можно записать в виде[](λ + 2µ)∆2 (µ + α)(δ + β)∆ − 4αµ u + S∗ = 0,[]∆[(γ + 2δ)∆ − 4α] (µ + α)(δ + β)∆ − 4αµ φ + H∗ = 0.(6.7.65)Отсюда, осуществляя простые выкладки, получим[(λ + 2µ)(µ + α)(δ + β)∆3 − 4αµ(λ + 2µ)∆2 ]u + S∗ = 0,{}(γ + 2δ)(µ + α)(δ + β)∆3 −4α[µ(γ +2δ)+(µ+α)(δ+β)]∆2 +16α2 µ∆ φ +H∗ = 0.(6.7.66)Легко видеть, что при α = 0, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
