Диссертация (786091), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Если на лицевых поверхностях заданы кинематические граничные условия, то следует использовать соотношения (6.6.27)при s = 1, 2, 3. Конечно, можно рассматривать различные варианты заданиястатических и кинематических граничных условий на лицевых поверхностях.С целью сокращения письма на этих вариантах граничных условий останавливаться не будем. Ниже, применяя упрощенный метод редукции бесконечнойсистемы к конечной, получим системы уравнений нескольких первых приближений статической задачи теории призматических тел постоянной толщины вмоментах вектора перемещений относительно системы полиномов Лежандра.6.6.4.1Система уравнений приближения порядка N статической задачи теории призматических тел постоянной толщины в моментах вектора перемещений относительно системы полиномов Лежандра без учета граничных условий на лицевых поверхностяхВ этом случае из (6.6.21) и (6.6.23) будем иметь следующие приближенные соотношения:N(p+2)2k + 1 ∑(p − k + 2)(p + k + 3)[1 + (−1)k+p ] u , 2 ≤ k ≤ N − 2;4 p=kN(k)IV(k)(s+4)2k + 1 ∑u ≈ u IV=b[ s−k+2 ] (k + s + 3)(k + s + 5)(k + s + 7)[1 + (−1)k+s ] u ,(N )22 s=k13= n(n + 1)(n + 2), n ∈ N.4 ≤ k ≤ N − 4, bn = Cn+23!(k)(k)u ′′ ≈ u ′′(N ) =(6.6.28)Здесь индекс [(s − k + 2)/2] означает целую часть числа (s − k + 2)/2.Учитывая (6.6.28), из (6.6.20) получим искомую систему уравнений в виде(k)(k)¯ 2 (k)¯ (k)∆u + 2h−2 ∆u ′′(N ) + h−4 u IV(N ) + G = 0,k = 0, N .(6.6.29)3136.6.4.2Системы уравнений нескольких первых приближений статической задачи теории призматических тел постоянной толщины в моментах вектора перемещений относительно системы полиномов Лежандра без учета граничных условий налицевых поверхностяхЭти системы уравнений получаем из (6.6.29) при конкретных значениях порядка приближения N .Система уравнений нулевого приближения.
В этом случае N = 0 и k = 0.Поэтому из (6.6.29) будем иметь(0)¯ 2 (0)∆u + G = 0.(6.6.30)Система уравнений приближения порядка N = 1. Так как N = 1, то k =0, 1 и из (6.6.29) получим(0)¯ 2 (0)∆u + G = 0,(1)¯ 2 (1)∆u + G = 0.(6.6.31)Заметим, что для вектора перемещений имеем представление(0)(1)u ≈ u + x3 u.Система уравнений приближения порядка N = 2. Так как N = 2, то k =0, 1, 2 и из (6.6.29) будем иметь(0)(1)¯ 2 (0)¯ (2)∆u + 6h−2 ∆u + G = 0,¯ 2 (1)∆u + G = 0,(2)¯ 2 (2)∆u + G = 0.(6.6.32)Следовательно, вектор перемещений имеет выражение(0)(1)(2)u ≈ u + uP1 (x3 ) + uP2 (x3 ).Система уравнений приближения порядка N = 3. В этом случае k =0, 1, 2, 3 и из (6.6.29) будем иметь(0)(1)¯ 2 (0)¯ (2)∆u + 6h−2 ∆u + G = 0,(2)¯ 2 (2)∆u + G = 0,¯ 2 (1)¯ (3)∆u + 30h−2 ∆u + G = 0,(6.6.33)(3)¯ 2 (3)∆u + G = 0.Следует заметить, что вектор перемещений представляется в виде(0)(1)(2)(3)u ≈ u + uP1 (x3 ) + uP2 (x3 ) + uP3 (x3 ).Система уравнений приближения порядка N = 4.
В этом случае k =0, 1, 2, 3, 4 и из (6.6.29) будем иметь(0)(4)(4)¯ 2 (0)¯ (2)∆u + 2h−2 ∆(3u + 10 u) + 105h−4 u + G = 0,(2)¯ 2 (2)¯ (4)∆u + 70h−2 ∆u + G = 0,(3)¯ 2 (3)∆u + G = 0,(1)¯ 2 (1)¯ (3)∆u + 30h−2 ∆u + G = 0,(4)¯ 2 (4)∆u + G = 0.(6.6.34)314Вектор перемещений имеет представление(0)(1)(2)(3)(4)u ≈ u + uP1 (x3 ) + uP2 (x3 ) + uP3 (x3 ) + uP4 (x3 ).Система уравнений приближения порядка N = 5. В этом случае k =0, 1, 2, 3, 4, 5 и из (6.6.29) будем иметь(0)(4)(4)¯ 2 (0)¯ (2)∆u + 2h−2 ∆(3u + 10 u) + 105h−4 u + G = 0,(1)(3)(5)(5)¯ 2 (1)¯∆u + 2h−2 ∆(15u + 42 u) + 945h−4 u + G = 0,(2)¯ (4)¯ 2 (2)u + 70h−2 ∆u + G = 0,∆(4)¯ 2 (4)u + G = 0,∆(6.6.35)(3)¯ (5)¯ 2 (3)u + 126h−2 ∆u + G = 0,∆(5)¯ 2 (5)u + G = 0.∆Вектор перемещений имеет выражение(0)(1)(2)(3)(4)(5)u ≈ u + uP1 (x3 ) + uP2 (x3 ) + uP3 (x3 ) + uP4 (x3 ) + uP5 (x3 ).Заметим, что если исходили бы из уравнения ∆2 w + F = 0, которое получается из (6.6.12) при равновесии, получили те же самые уравнения, что вышепри условии, что в приведенных выше соотношениях (6.6.30) – (6.6.35) буквыu и G надо заменить на w и F соответственно.Заметим также, что система уравнений (6.6.35) расщепляется на две системы уравнений.
Первую систему образуют первое, третье и пятое уравнения, авторую систему второе, четвертое и шестое. Выпишем эти системы по отдельности. Будем иметь(0)(4)(4)¯ 2 (0)¯ (2)∆u + 2h−2 ∆(3u + 10 u) + 105h−4 u + G = 0,(2)¯ 2 (2)¯ (4)∆u + 70h−2 ∆u + G = 0,(4)¯ 2 (4)∆u + G = 0;(6.6.36)(1)(3)(5)(5)¯ 2 (1)¯∆u + 2h−2 ∆(15u + 42 u) + 945h−4 u + G = 0,(3)¯ 2 (3)¯ (5)∆u + 126h−2 ∆u + G = 0,(5)¯ 2 (5)∆u + G = 0.Вводя обозначения ¯2¯ 20h−2 ∆¯ + 105h−4 ∆ 6h−2 ∆¯¯2,∆70h−2 ∆L= 02¯00∆(0)u (2) U = u ,(4)u(0) G (2) G = G , (4) Gсистема из первых трех уравнений (6.6.36) можно записать в виде матричногоуравненияLU + G = 0.(6.6.37)Нетрудно подсчитать, что матрица алгебраических дополнений L∗ и определитель |L| для дифференциальной матрицы L будут иметь вид¯4∆00¯3¯46h−2 ∆∆0 ,L∗ = ¯ 3 + 315h−4 ∆¯ 2 −70h−2 ∆¯3 ∆¯420h−2 ∆¯ 6.|L| = ∆315Нетрудно видеть, что L∗ можно представить видеL∗ = ∆2 N,¯2∆00¯¯26h−2 ∆∆0 .N =¯ + 315h−4 −70h−2 ∆¯ ∆¯220h−2 ∆Применяя к уравнению (6.6.37) слева дифференциальный оператор N T , в¯ 4 , где E — единичная матрица третьего порядка,силу равенства N T L = E ∆получим¯ 4 U + N T G = 0,∆а отсюда, очевидно, находим(0)(2)(4)¯ 2 G − 6h−2 ∆¯ G − (20h−2 ∆¯ + 315h−4 )G = 0,¯ 4 (0)∆u +∆(0)(2)(4)¯ G − 70h−2 G = 0, ∆¯ 2 (4)¯ 3 (2)u + G = 0.∆u +∆(6.6.38)(0)Из (6.6.38) видно, что относительно u получили неоднородное уравнениевосьмого порядка и его общее решение выражается с помощью четырех ана(2)(4)литических функций, а относительно u и u имеем уравнения шестого и четвертого порядка и их общие решения даются с помощью трех и двух аналитических функций соответственно [62].
С целью сокращения письма выписыватьобщих решений этих уравнений не будем. Важен тот факт, что можно получить аналитические решения. Конечно, совершенно аналогично (6.6.37) можнорассматривать систему, состоящую из второго, четвертого и шестого уравнений (6.6.36) и для нее получить аналитическое решение. С целью сокращенияписьма на этом также останавливаться не будем. Однако, отметим, что аналитические решения можно получить и для системы уравнений более высокогопорядка приближения (см. ниже случай микрополярной теории).6.6.4.3Система уравнений приближения порядка N статической задачи теории призматических тел постоянной толщины в моментах вектора перемещений относительно системы полиномов Лежандра с учетом статических граничных условий налицевых поверхностяхС целью получения этой системы уравнений u ′′(N ) и u (N ) (см.
(6.6.21)) аналогично (6.6.28) в силу (6.6.27) представим в виде(k)(k)(k)(k)IVN∑(k)(n)2k + 1 {[(∂3 u)+ − (−1)k (∂3 u)− ] −[1+(−1)k+n ] u Pn′ (1)} + u ′′(N ) ,2n=0NN∑(n)(n)2k + 1 ∑(3)(2){ [1+(−1)k+n ] u Pn (1) −[1+(−1)k+n ] u Pn (1)Pk′ (1)+=2n=3n=2} (k)N∑+k−′′k+n (n) (3)+[(∂3 u) − (−1) (∂3 u) ]Pk (1) −[1+(−1) ] u Pn (1) + u IV(N ) .u ′′ ≈ u ′′(N ) =(k)IVu(k)≈ u IV(N )n=0(6.6.39)316Нетрудно видеть, что на основании (6.6.39) получим(k)(k)¯ u ′′ + h−4 u IV =2h−2 ∆(N )(N )N(k)2k + 1 { ∑′′−4 (k)IV¯¯ (n)= 2h ∆ u (N ) + h u (N ) −2h−2 Pk′ (1)[1+(−1)k+n ]∆u+2n=01∑(n)(2)+Pk′′′ (1)[1+(−1)k+n ] u + [P2′′ (1)Pk′ (1) + Pk′′′ (1)][1+(−1)k ] u+−2n=0N∑+[Pn′′ (1)Pk′ (1)n=3+−Pk′′′ (1)−(6.6.40)}+(n)Pn′′′ (1)][1+(−1)k+n ] u2k + 1 −2 ¯[2h ∆ + h−4 Pk′′ (1)][(∂3 u)+ − (−1)k (∂3 u)− ].2Из (6.6.25) с учетом (6.6.27) при s = 0 будем иметь(−)(+)(−)1 (+)1[ P J ± (−1)k+1 P J ]eJ +[ P 3 ± (−1)k+1 P 3 ]n−µλ + 2µNN∑∑λ(n)(n)−[1±(−1)k+n ]∂J u3 eJ −[1±(−1)k+n ]∂L uL n.λ + 2µ n=0n=0(∂3 u)+ ± (−1)k (∂3 u)− ] =(6.6.41)Учитывая (6.6.41) в (6.6.40), а затем полученное соотношение подставляя в(6.6.29), получим искомую систему уравнений.
С целью сокращения письма еевыписывать не будем.Из (6.6.40) и (6.6.41) видно, что система уравнений c учетом граничныхусловий на лицевых поверхностях имеет довольно громоздкий вид. Вообще говоря, иметь дело с системой уравнений c учетом граничных условий значительно сложнее, чем с системой уравнений без них. Однако, эту проблему можно(k)немного упростить. В самом деле, в этом случае лучше только u ′′(N ) (см.
первуюформулу (6.6.39)) выражать в силу (6.6.41) через граничные условия на лице(k)IVвых поверхностях, а для u (N ) использовать вторую формулу (6.6.28).6.6.4.4Система уравнений приближения порядка N статической задачи теории призматических тел постоянной толщины в моментах вектора перемещений относительно системы полиномов Чебышева второго рода при новой параметризацииРассматривается призматическое тело постоянной толщины h. В качестве ба(−)(−)зовой плоскости принимается внутренняя плоскость S . Считаем, что h ⊥ S .−−−−P, gP3 = 0, g −3 = 0, g 3 3 = h−2 и лапласиан (2.9.45) (см. такжеТогда g P− = δMPM(2.9.18)) представится в виде−−¯ + h−2 ∂ 2 )F,∆F = g P Q ∂P ∂Q + h−2 ∂32 F = (∆3−−¯ = g P Q ∂P ∂Q .∆(6.6.42)Из (6.6.21) видно, что представление лапласиана при новой параметризациипо форме совпадает с его представлением при классической параметризации(6.6.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
