Диссертация (786091), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Найдем их. С этой целью умножим первое уравнение (6.5.21) слева на n векторно.Очевидно, получим(0)(1)2hn× PI + aJI n× PJ = n×TI .(6.5.22)(0)Определим из (6.5.22) выражение n× PI . Имеем(0)n× PJ =(1)11n×TJ − aKJ n× PK .2h2h(6.5.23)Учитывая (6.5.23), из второго уравнения (6.5.21) найдем)(1)(1)11h2 gJI − aJI aKJ n× PK = MI − aJI n× TJ .322(2(6.5.24)295Теперь уравнение (6.5.22) умножим на (2/3)h2 , а во втором уравнений (6.5.21)сперва заменим индексы I, J на J, K соответственно, а затем полученное соотношение умножим на aJI с последующим суммированием по J.
В результатеполучим(0)(1)224 3h n× PI + h2 aJI n× PJ = h2 n×TI ,333(0)(1)2haJI aKJ n× PK + h2 aJI n× PJ = aJI MJ .3(6.5.25)Вычитая из первого уравнения (6.5.25) второе, будем иметь(0)24( h3 gKI − haJI aKJ )n× PK = h2 n×TI − aJI MJ .33(6.5.26)Запишем (6.5.24) и (6.5.26) в виде(0)421( h2 gKI − aJI aKJ )n× PK = hn×TI − aJI MJ ,33h(43)(1)(1)h2 gJI − aJI aKJ n× PK = 2MI − aJI n× TJ .(6.5.27)Первое соотношение (6.5.27) представляет систему уравнений относительно(0)(1)(0)(1)n × PK , а второе относительно n × PK .
Однако мы хотим найти PK и PK . Сэтой целью вернемся к уравнениям (6.5.21). Второе уравнение (6.5.21) умножимслева векторно на n (n × (n × a) = n(n · a) − a). Нетрудно заметить, что имеем(0)(0)(1)2 (1)2haJI PJ + h2 PI = haJI n(n · PJ ) + h2 n(n · PI ) − n × MI .33(6.5.28)Соотношение (6.5.28) вместе с первым соотношением (6.5.21) образуют систему(0)(1)2hPI + aJI PJ = TI ,(0)(0)(1)2 (1)2haJI PJ + h2 PI = haJI n(n · PJ ) + h2 n(n · PI ) − n × MI .33(0)I(6.5.29)(1)Решим (6.5.29) относительно P и PI .
Поступим так же, как при получении(6.5.27). В первом уравнении (6.5.29) заменим индексы I и J на J и K соответственно, а затем полученное соотношение поделим на 2 и умножим на aJI споследующим суммированием по J. Будем иметь(0)(1)11haJI PJ + aJI aKJ PK = aJI TJ .22(6.5.30)Вычитая (6.5.30) почленно из второго соотношения (6.5.29), после простыхвыкладок получим(4h2 g I3 K−aJI aKJ)(1)(0)(1)4PK = 2haJI n(n · PJ ) + h2 n(n · PI ) − 2n × MI − aJI TJ .3(1)(6.5.31)(0)Найдя отсюда PI , из первого соотношения (6.5.29) найдем PI . Нам нужно,(0)(1)(0)(1)вообще говоря, найти Pl и Pk для того, чтобы определить P (P = P +(x3 /h)P),e eee(0)а затем P(l) = l·P.
Хотя, P(l) = l·P = lI PI , поэтому достаточно нахождение PIee(1)Iи P . Решим системы (6.5.27). С целью сокращения письма введем обозначения21bI = hn×TI − aJI MJ ,3h(1)cI = 2MI − aJI n× TJ .(6.5.32)296Тогда уравнения (6.5.27) можно записать в виде(0)4( h2 gKI − aJI aKJ )n× PK = bI ,3(43)(1)h2 gJI − aJI aKJ n× PK = cI .(6.5.33)Запишем первую систему (6.5.33) в развернутом в виде. Имеем(43)(0)(0)h2 − aJ1 aJ1 n× P1 − aJ1 aJ2 n× P2 = b1 ,(0)−aJ2 aJ1 n× P1 +(43)(0)h2 − aJ2 aJ2 n× P2 = b2 .(6.5.34)Заметим, что в силу (6.5.20) имеем2a11 = − h2 b22 ,32a22 = − h2 b11 ,32a12 = h2 b12 ,32a21 = h2 b21 .3(6.5.35)Тогда после простых вычислений получим4aJ1 aJ1 = h4 [(b22 )2 + b21 b12 ],942 JaJ a2 = h4 [(b11 )2 + b21 b12 ],94aJ1 aJ2 = − h4 b12 (b11 + b22 ),94 4 2 12 JaJ a1 = − h b1 (b1 + b22 ).9(6.5.36)Легко вычислить главный детерминант системы (6.5.34). В самом деле, послепростых вычислений находим∆=16 4111116h [1 − h2 (k12 + k22 ) + h4 k12 k22 ] = h4 {1 − h2 [4I12 (b) − 2detb] + h4 (detb)2 }.939939eee(6.5.37)Нетрудно вычислить и вспомогательные детерминанты.
Они имеют выражения414∆ 1 = h2 {1 − h2 [(b11 )2 + b21 b12 ]}b1 − h4 b12 (b11 + b22 )b2 ,3394 4 2 14 21 2 2 221∆ 2 = − h b1 (b1 + b2 )b + h {1 − h [(b2 ) + b21 b12 ]}b2 .933(6.5.38)Очевидно, в линиях кривизны (6.5.38) представятся в виде41∆ 1 = h2 (1 − h2 k12 )b1 ,3314∆ 2 = h2 (1 − h2 k22 )b2 .33(6.5.39)Заметим, что (6.5.37) можно еще представить следующим образом:∆=11611116 4h [1 − h2 (k12 + k22 ) + h4 k12 k22 ] = h4 (1 − h2 k12 )(1 − h2 k22 ).939933(6.5.40)На основании (6.5.39) и (6.5.40) решение системы (6.5.33) ((6.5.34)) имеет вид1 2 2 ]−1 1∆1 [ 4 2= h (1 − h k2 ) b ,n× P =∆33(0)1∆2 [ 4 21 2 2 ]−1 2n× P == h (1 − h k1 ) b .∆33(0)2(6.5.41)Нетрудно заметить, что решение второй системы (6.5.33) получим из (6.5.41)(0)(1)если bI и PI заменим на cI и PI соответственно.
т.е. имеем1 2 2 ]−1 1n× P = h (1 − h k2 ) c ,33(1)1[421 2 2 ]−1 2n× P = h (1 − h k1 ) c .33(1)2[42(6.5.42)297Теперь решим систему (6.5.31). Вводя обозначение(0)(1)4dI = 2haJI n(n · PJ ) + h2 n(n · PI ) − 2n × MI − aJI TJ ,3систему (6.5.31) можно записать в виде(4h2 g I3 K−aJI aKJ(6.5.43))(1)PK = dI .(6.5.44)Очевидно, (6.5.44) решается аналогично (6.5.33) и решение, конечно, имеетаналогичный (6.5.41) (6.5.42) вид, т.е. имеем1 2 2 ]−1 1P = h (1 − h k2 ) d ,33(1)1[421 2 2 ]−1 2P = h (1 − h k1 ) d .33(1)2[42(6.5.45)Заметим, что в силу (6.5.35) из (6.5.43) находим(0)4d1 = − h3 k2 n(n · P1 ) +3(0)4d2 = − h3 k1 n(n · P2 ) +3(1)4 2h n(n · P1 ) − 2n × M1 +3(1)4 2h n(n · P2 ) − 2n × M2 +32 2h k2 T1 ,32 2h k1 T2 .3(6.5.46)(0)Теперь из первого соотношения (6.5.29) найдем PI . Очевидно, имеем(0)P1 = −1 1 (1)1 1 1 1 (1)1 1 1 (0)21 (2)11 (1)1a1 P + T = k2 P + T , P = − a22 P1 + T2 = k1 P2 + T2 .2h2h3h2h2h2h3h2h(6.5.47)Далее по формулам (6.5.45) на основании (6.5.46) найдем выражения для(1)(0)PI , а затем по формулам (6.5.47) можно найти выражения для PI .
Нетрудно(1)заметить, что для PI имеем соотношения[4]−1 [1h2 (1− h2 k22 )−33[4]−1 [(1)1P2 = h2 (1− h2 k12 )−33(1)P1 =](0)(1)424 3h k2 n(n · P1 )+ h2 n(n · P1 )−2n × M1 + h2 k2 T1 ,333](0)(1)424 3h k1 n(n · P2 )+ h2 n(n · P2 )−2n × M2 + h2 k1 T2 .333(6.5.48)(0)Учитывая (6.5.48), из (6.5.47) для PI получим следующие выражения:[41P1 = hk2 h2 (1 −33[(0)14P2 = hk1 h2 (1 −33(0)1 2 2 ]−1 [h k2 )−31 2 2 ]−1 [h k1 )−3(0)4 3h k2 n(n · P1 ) +3(0)4 3h k1 n(n · P2 ) +3(1)4 2h n(n · P1 ) − 2n × M1 +3(1)4 2h n(n · P2 ) − 2n × M2 +3]2 2h k2 T1 +3]2 22h k1 T +31 1T,2h1 2T.2hНетрудно заметить, что последние два соотношения и (6.5.48) можно представить в виде()−1 [](0)(1)11− hk2 n(n · P1 ) + n(n · P1 ) +P1 = hk2 1 − h2 k22331[k2 (1 2 2 )−1 1h2 k22 (1 2 2 )−1 ] 1M ×n+T,+1 − h k21+1 − h k22h32h33()−1 [](0)(1)(0)11− hk1 n(n · P2 ) + n(n · P2 ) +P2 = hk1 1 − h2 k1233(6.5.49)1[k1 (1 2 2 )−1 2h2 k12 (1 2 2 )−1 ] 2M ×n+T,+1 − h k11+1 − h k12h32h33((0)(1)(1)31 2 2 )−1 [k2 1 ]1111− hk2 n(n · P ) + n(n · P ) + 2 M × n + T ,P = 1 − h k232h2)−1 []((0)(1)(1)3k11− hk1 n(n · P2 ) + n(n · P2 ) + 2 M2 × n + T2 .P2 = 1 − h2 k1232h2(0)298Теперь вспомним, что мы хотим найти выражение для вектора напряженияP(l) .
Заметим, что в силу (6.5.1) и (6.5.14) для P(l) имеем соотношение(0)P̂(l) ≈ lI PI +x3 (1)IlI P .h(6.5.50)Учитывая (6.5.49), из (6.5.50) получимP̂(l)}( 1)−1 ][( 1)−1 ]1 {[12 2322 232 22 2≈1+(k2 h +x k2 ) 1− h k2T l1 + 1+(k1 h +x k1 ) 1− h k1T l2 +2h33(k)))(()(−1−13x31k13x312++ 3 1− h2 k22l1 M1 × n ++ 3 1− h2 k12l2 M2 × n+2h 2h32h 2h3{( 1](0)(1)x3 )( 1 2 2 )−1 [11+hk2 +1− h k2− hk2 (n · P ) + (n · P ) l1 +3h3(1] }(0)(1)x3 )( 1 2 2 )−1 [+ hk1 +1− h k1− hk1 (n · P2 ) + (n · P2 ) l2 n.3h3(6.5.51)Отсюда в свою очередь получаем( 1)−1 ](k)−11[3x3 )( 121+(k22 h2 +x3 k2 ) 1− h2 k22T1 ++ 3 1− h2 k22M1 × n+2h32h 2h3(1](0)(1)x3 )( 1 2 2 )−1 [1− h k2+ hk2 +− hk2 (n · P1 ) + (n · P1 ) n,3h3[( 1)−1 ](k)−113x3 )( 111+(k12 h2 +x3 k1 ) 1− h2 k12P̂2 ≈T2 ++ 3 1− h2 k12M2 × n+2h32h 2h3(1](0)(1)x3 )( 1 2 2 )−1 [+ hk1 +1− h k1− hk1 (n · P2 ) + (n · P2 ) n.3h3P̂1 ≈(6.5.52)Нетрудно заметить, что пренебрегая членами, содержащими кривизны в квадрате, из (6.5.51) и (6.5.52) будем иметь] (k1[3x3 )2P̂(l) ≈(1 + x3 k2 )T1 l1 + (1 + x3 k1 )T2 l2 ++ 3 l1 M1 × n+2h2h 2h(k{( 1]3)3 )[(0)(1)3xx1++ 3 l2 M2 × n +hk2 +− hk2 (n · P1 ) + (n · P1 ) l1 +2h 2h3h(1] }(0)(1)x3 )[+ hk1 +− hk1 (n · P2 ) + (n · P2 ) l2 n,3h](k(1(0)(1)3x3 )x3 )[12− hk2 (n · P1 )+(n · P1 ) n,P̂1 ≈ (1+x3 k2 )T1 ++ 3 M1 × n+ hk2 +2h2h 2h3h((]3)(0)(1)1k1 3x1x3 )[P̂2 ≈ (1+x3 k1 )T2 ++ 3 M2 × n+ hk1 +− hk1 (n · P2 )+(n · P2 ) n.2h2h 2h3h(6.5.53)Если в (6.5.53) пренебрегаем членами, которые в качестве множителя содержаткривизны (для оболочек класса TS (1 − k1 x3 ≈ 1, 1 − k2 x3 ≈ 1)), то получим(1)13x3x3T(l) + 3 M(l) × n + (l · P · n)n,2h2hh33(1)1 I 3xxP̂I ≈T + 3 MI × n + (n · PI )n.2h2hhP̂(l) ≈(6.5.54)Легко усмотреть, что в случае оболочек класса TS можно предположить, чтоaIJ ≈ 0 и из (6.5.29) получим следующие уравнения:(0)2hPI = TI ,(1)22 2 (1)Ih P = h2 n(n · PI ) − n × MI .33299Отсюда, очевидно, имеем(0)PI =1 IT ,2h(1)3IM×n+(n·PI )n.22h(1)PI =(6.5.55)Умножая каждое соотношение из (6.5.55) на lI с последующим суммированиемпо I, получим(0)P(l) =1T(l) ,2h(1)3M×n+(l·P · n)n.(l)2h2e(1)P(l) =(6.5.56)Умножая (6.5.14) скалярно на l для теории приближения порядка N = 1,получим(0)P̂(l) ≈ P(l) +x3 (1)P(l) .h(6.5.57)Очевидно, (6.5.57) можно было написать и на основании соотношения (6.5.50).Учитывая (6.5.56), из (6.5.57) получим первое равенство (6.5.54).Следует заметить,что в отличие от классического случая в первом соотношении (6.5.54) присутствует последнее слагаемое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
