Диссертация (786091), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Пусть s — орт касательной дуги ds. Предположим, что орты l, s, n составляют триэдр правой ориентации т.е. n × l = s,l × s = n, s × n = l. Тогда усилие T(l) и моменты M(l) и N(l) можно представитьв видеT(l) = T(ll) l + T(ls) s + T(ln) n,M(l) = M(ll) l + M(ls) s,N(l) = N(ll) l + N(ls) s + N(ln) n. (6.3.8)Из (6.3.8) видно, что усилие T(l) имеет три компоненты: T(ll) — нормальноеусилие, T(ls) — касательное усилие и T(ln) — поперечное касательное усилие,которое еще называется перерезывающей силой. Силовой момент M(l) имеет двекомпоненты: M(ll) — силовой крутящий момент, M(ls) — силовой изгибающиймомент. Момент N(l) имеет три компоненты: N(ll) — крутящий момент, N(ls) —изгибающий момент, N(ln) — поперечный крутящий момент.Таким образом, непрерывно распределенные на поперечной площадке Σlс нормалью l (l — тангенциальная нормаль к дуги ds базовой поверхности)система сил напряжений и система пар (моментов) статически эквивалентнысовокупности усилия T(l) и моментов M(l) и N(l) .
При построениях теории оболочек принимают допущение, что задание совокупности усилия T(l) и моментовM(l) и N(l) на каждой поперечной площадке Σl , как уже отмечалось выше, свполне достаточной точностью дает картину распределения сил напряжений ипар (моментов) в оболочке. Поэтому основной задачей теории оболочек считается определение усилия сил напряжений, моментов сил напряжений и пар,действующих на поперечных площадках.
Эти величины имеют важный механический смысл. Если мы нагружаем боковые поверхности оболочки поверхностными силами и парами (моментами), то практически мы прилагаем к отдельным участкам поверхности статически эквивалентные им суммарные силыи моменты (главные векторы) – усилия и моменты. Поэтому, естественно, вместо непрерывного распределения напряжений и пар отыскать соответствующиеим усилия и моменты. Другими словами, в рассматриваемой микрополярнойтеории оболочек в каждой фиксированной точке (x1 , x2 ) базовой поверхностиS и для всякого касательного орта l в этой точке следует определить восемьвеличин: T(ll) — нормальное усилие, T(ls) — касательное усилие и T(ln) — поперечное касательное усилие (перерезывающую силу), M(ll) — силовой крутящий1Запись ⟨α = 1, 2⟩ означает, что нет суммирования по α.288момент, M(ls) — силовой изгибающий момент, N(ll) — крутящий момент, N(ls)— изгибающий момент, N(ln) — поперечный крутящий момент.
Следовательно,граничные условия на контуре Γ базовой поверхности S в силу формул (6.3.8)представляются в видеl · T = T(l) = T(ll) l + T(ls) s + T(ln) n = f ,el · M = M(l) = M(ll) l + M(ls) s = g,fl · N = N(l) = N(ll) l + N(ls) s + N(ln) n = h,e(6.3.9)где l — тангенциальная нормаль к контуру Γ базовой поверхности S, а f , g иh выражаются через заданные на контуре Γ функции.Из сказанного выше видно, что по уравнениям рассматриваемой микрополярной теории оболочек (пластин) можно определить не более восьми неизвестных функций, так как в общем случае имеем восемь независимых уравненийотносительно контравариантных компонент тензоров усилий и моментов (см.уравнения (6.2.15) – (6.2.18)) и восемь граничных условий (6.3.9).
Для замыкания, например, системы уравнений (6.2.15) с граничными условиями (6.3.9)следует конкретизировать среду и рассматривать соответствующие определяющие соотношения, содержащие не более восьми неизвестных функций. Другимисловами, для математически корректной постановки краевых задач в микрополярной теории оболочек (пластин) число неизвестных функций не должнобольше восьми (максимальное число неизвестных функций зависит от числауравнений относительно контравариантных компонент тензоров усилий и моментов). Следовательно, для решения этой проблемы аналогично классическому случаю можно сформулировать подходящие кинематические или статические гипотезы, или и те и другие [18, 373–377, 460, 462] таким образом, чточисло неизвестных функций в определяющих соотношениях не превосходиловосьми.
Хотя, используя метод классических ортогональных полиномов (иликакой-нибудь аналитический метод), можно обойтись без гипотез и построитьтакие теории тонких тел (а не оболочек), в которых число системы уравненийи, следовательно, число неизвестных функций могут быть значительно большевосьми (см.
III и IV главы), что вполне естественно при нынешнем развитиивычислительной техники.6.4Уравнения расширенной микрополярной теории оболочекУравнения микрополярной теории оболочек (6.2.10) и (6.2.15) были полученыбез учета моментов второго порядка. Здесь получим уравнения микрополярнойтеории оболочек с учетом моментов второго порядка. С этой целью, умножаяобе части второго уравнения (6.2.3) слева векторно на x3 n и учитывая равенстваx3 n = rIˆ − rI ,2µp̂ = Ĉ ⊗ ϑ̂µ̂µ,rp̂ × ϑ̂µ̂≃e2n × Ĉ⊗ P̂ = (P̂ I3 − P̂ 3I )rI ,≃eпосле несложных преобразований получим)21 (√ˆˆµI x3 ) + rI × (ϑ̂µ̂µI ) − Ĉ ⊗ ϑ̂µ̂µ + n × ∂3 (ϑ̂µ̂µ3 x3 )+√ ∂I gn × (ϑ̂µ̂≃ge3+x ϑ̂(P̂I3φ∂ 2φ̂− P̂ )rI + n × (ρ̂ϑ̂m̂x ) = n × (ϑ̂Ĵ · 2 x3 ).e ∂t3I3(6.4.1)289(−)(+)Далее, интегрируя уравнение (6.4.1) от − h до h , в силу формулы (6.2.4)будем иметь21√⊗N∗ + (M∗I3 − M∗3I )rI + H(x1 , x2 , t) = d(x1 , x2 , t),√ ∂I ( gRI ) + rI × NI − C≃ge(6.4.2)где введены следующие обозначения:(+)∫hRI = n ×(+)ˆµI x3 dx3 ,ϑ̂µ̂(−)− hN∗ =eµI3 x3 dx3 ,ϑ̂µ̂(−)eM∗3I =M∗I3 =∫hϑ̂P̂ I3 x3 dx3(−)− h− h(+)(+)∫h(+)∫hd=n×ϑ̂P̂ 3I x3 dx3 ,(−)− h∫hφ∂ 2φ̂(ϑ̂Ĵ · 2 x3 )dx3 ,e ∂t(−)− h][(+)(+) (+)+−(−)(−) (−)∫h(−)(+)H(x1 , x2 , t) = n × h ϑ ( µ 3 − g+3 gJI µ J ) − h ϑ ( µ 3 − g−3 gJI µ J ) +ρ̂ϑ̂m̂x3 dx3 .(+)II(−)− hНетрудно видеть, что уравнение (6.4.2) можно записать в виде2∇I0 RI + rI × NI − C⊗ N∗ + (M∗I3 − M∗3I )rI + H(x1 , x2 , t) = d(x1 , x2 , t).≃eУчитывая(6.4.3)2rI × NI − C⊗ N∗ = rI × (NI − NI∗ ) − r3 × N3∗ ,≃eуравнение (6.4.3) можно представить в форме∇0 · R + rI × (NI − NI∗ ) − r3 × N3∗ + (M∗I3 − M∗3I )rI + H(x1 , x2 , t) = d(x1 , x2 , t),e(6.4.4)где R = rK RK = RKL rK rL назовем тензором моментов второго порядка.eУравнения(6.2.11) вместе с уравнением (6.4.4) составляют векторные уравнения расширенной микрополярной теории оболочек.Следует заметить, что в расширенной микрополярной теории оболочек аналогично второй формуле (6.3.5) надо вводить в рассмотрение момент (моментное усилие) второго порядка R(l) , определяемый формулой(+)(+)R(l) ds = n ×∫h(−)− hIˆ 33ˆl ˆµ̂I µ x dŝdx = n ×∫hˆµI x3 dsdx3 = lI RI ds = dsl · R (R(l) = l · R),ϑ̂lI µ̂ee(−)− hкоторый, конечно, рассчитан на единицу длины.
Тогда, естественно, к граничным условиям (6.3.9) надо добавить еще следующее граничное условие:l · R = R(l) = R(ll) l + R(ls) s = t,e(6.4.5)где R(ll) — крутящий момент второго порядка, R(ls) — изгибающий моментвторого порядка, а t определяется с помощью заданной функции.Таким образом, в расширенной микрополярной теории оболочек имеем четыре основных тензора (они находятся под дифференциальными операторами290в уравнениях и участвуют в граничных условиях): тензор усилий T, тензор силовых моментных усилий M, тензор моментных усилий N и тензорe моментныхeусилий второго порядка Rf= rI RI = RIJ rI rJ .
В дальнейшемтензоры M, N иef eR будем называть коротко тензорами моментов расширенной микрополярнойeтеорииоболочек.Нетрудно заметить, что вектор H в (6.4.4) аналогично (6.2.21) можно представить в виде(+)H=n×∫h(−)(−)(−)(−)(+)(+)(+)(+)ρ̂ϑ̂m̂x3 dx3 + C (x1 , x2 , t) h n × µ (x1 , x2 , t) + C (x1 , x2 , t) h n × µ .(6.4.6)(−)− hЛегко усмотреть, что (6.4.4) в компонентах можно представить следующимобразом:∇0I RIJ + C·J·I (N I3 − N∗I3 + N∗3I ) + M∗I3 − M∗3I + H J = dJ ,bIJ RIJ + CIJ (N IJ − N∗IJ ) = 0,(6.4.7)где последнее недифференциальное уравнение аналогично шестому недифференциальному уравнению (6.2.14) является тождеством.6.4.1Уравнения расширенной микрополярной теории оболочек вконтравариантных компонентах тензоров усилий и моментовЕсли к системе уравнений (6.2.15) добавить первое соотношение (6.4.7), то получим искомые уравнения в виде∇I0 T IJ − bJI T I3 + X J = aJ ,∇I0 T I3 + bIJ T IJ + X 3 = a3 ,∇I0 M IJ + C·J·I (T I3 − T∗I3 + T∗3I ) + Y J = bJ ,∇I0 N IJ − bJI N I3 + C·J·I (T∗I3 − T∗3I ) + Z J = cJ ,∇I0 N I3 + bIJ N IJ + CIJ T∗IJ + Z 3 = c3 ,∇I0 RIJ + C·J·I (N I3 − N∗I3 + N∗3I ) + M∗I3 − M∗3I + H J = dJ .(6.4.8)На основании (6.4.8) аналогично (6.2.17) и (6.2.18) при необходимости легкополучить уравнения расширенных микрополярных теорий оболочек класса TSи призматических оболочек.
Поэтому с целью сокращения письма выписыватьих не будем.Из (6.4.8) видно, что в расширенной микрополярной теории оболочек (пластин) в общем случае имеем 10 уравнений в контравариантных компонентахтензоров усилий и моментов и 10 граничных условий (см. (6.3.9) и (6.4.5)). Поэтому в этой теории оболочек (пластин) в общем случае можно определитьне более десяти неизвестных функций. Следовательно, для замыкания системы уравнений (6.4.8) с граничными условиями (6.3.9) и (6.4.5) следует конкретизировать среду и рассматривать соответствующие определяющие соотношения, содержащие не более десяти неизвестных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
