Диссертация (786091), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

В этой связи разлагая χ̌(v, ψ ) в ряд Тейлора в окрестности точки v = 0 и ψ = 0 и пренебрегаячленами, содержащими v и ψ выше второй степени, с учетом χ̌(0, 0) = 0 получим()( )∂ χ̌∂ χ̌χ̌(v, ψ ) =·v+· ψ+ψ 0∂v 0∂ψ[(}{()) ( 2 )T ]( 2 )2∂ 2 χ̌1∂ 2 χ̌ 2∂ χ̌∂ χ̌ 2ψψ .ψ+⊗vv +⊗ψ++⊗vψψ 0ψ ∂v 0ψ2 02∂v2 0∂v∂ψ∂ψ∂ψОтсюда, вводя обозначения(∂ χ̌a=∂v)(,0∂ χ̌b=ψ∂ψ)(,0f=e∂ 2 χ̌∂v2)(,0∂ 2 χ̌2g =ψ∂v∂ψe)(∂ 2 χ̌+ψ ∂v∂ψ0)T(,0∂ 2 χ̌h=ψ2∂ψe),0будем иметь221 2ψ + h ⊗ψψψ ).χ̌(v, ψ ) = a · v + b · ψ + (f ⊗vv + 2g ⊗vψ2 eee(5.3.16)2741. Если χ̌(v, ψ ) = 0, то смежные фазы не взаимодействуют, что соответствует полному отсутствию сцепления. В этом случае параметрами, характеризующими ослабленность межфазного контакта, являются векторы взаимныхперемещений v(x′ ) и вращений ψ (x′ ) смежных фаз.2.

Если χ̌(v, ψ ) — линейная функция относительно v(x′ ) и ψ (x′ ), то из(5.3.16) имеемχ̌(v, ψ ) = a · v + b · ψ .(5.3.17)В этом случае появляются новые параметры a и b ослабленной адгезии. Вчастном случае, когда a = as s и b = bn n, где s и n — единичные векторыкасательной и нормали к межфазной поверхности, as и bn — коэффициенты,характеризующие уровень сцепления в областях ослабленной адгезии.

Заметим,что в силу (5.3.17) из (5.3.15) находим P = a и Q = b.3. Если χ̌(v, ψ ) — однородная квадратичная форма относительно v(x′ ) иψ (x′ ), то из (5.3.16) получим221 2ψ + h ⊗ψψψ ).χ̌(v, ψ ) = (f ⊗vv + 2g ⊗vψ2 eee(5.3.18)Учитывая (5.3.18), из (5.3.15) будем иметьP = f · v + g · ψ,eeQ = g · v + h · ψ.ee(5.3.19)Здесь f , g, h — симметричные тензоры второго ранга, называемые тензораe e eми коэффициентовтрения.

Они могут зависеть от координат x1 , x2 , перепадатемпературы, нормального составляющего предельного вектора напряжения идругих параметров. Очевидно, формулы (5.3.19) учитывают неоднородность ианизотропию трения. Следовательно, в случае изотропного трения f , g, h явe e eляются шаровыми тензорами.Заметим, что можно рассматривать и другие случаи представления χ̌(v, ψ ),на которых с целью сокращения письма останавливаться не будем. Заметимтакже, что в случае многослойного тонкого тела, например, вместо (5.3.16) будем иметьχ̌ =K∑χ̌(v, ψ ),αα=1 αα221 2ψψ ).χ̌(v, ψ) = a·v+b· ψ + (f ⊗vv+ 2g ⊗vψ + h ⊗ψααααααααααααααα2 eαee(5.3.20)Следовательно, аналогично (5.3.20) можно представить и другие приведенныевыше соотношения.

Однако, на них с целью сокращения письма останавливаться не будем.Вернемся теперь вариационному принципу при наличии областей ослабленной адгезии и сформулируем его. Нетрудно усмотреть, что в рассматриваемомслучае аналогично (5.3.1) обобщенный оператор (функционал) типа Рейсснерабудет иметь формуŘ⋆ =K∑(−) (−) (−) (−) (+) (+) (+) (+)⋆Ř(u, φ , γ , κ , P, µ , T, µ , P, Q, u , φ , P , µ , u , φ , P , µ ) =αα α α α α α α α α α α α α α α α α αe ee eα=1e e e e275K t∑=2α=1 VαK {s∑−α=1s−(−)S12κ−∇φ]dVα −[W̌(γγ , κ ) − P ⊗ (γγ −∇u +C· φ ) − µ ⊗ (κφ ) − ρF·u − ρm·φα α αα αα α≃ ααα ααα αααααeeαe eeeΣ1α}sµφφ(P·u+µ·φ)dΣ−m·[P·(u−u)+µ·(φ−φ)]dΣ+001002αααααααααααα αeΣ2eα(−)(−)s (−) (−) (−) (−) (−)(−)(−)(−)(−)(−)n ·[ P ·( u − u 0 )+ µ ·( φ − φ 0 )]d S1 − ( P 0 · u + µ 0 · φ )d S2 −1111111e1 1 1(−)e1 1 1(−)s−(+)S1(+)(+)s (+) (+) (+) (+) (+)(+)(+)(+)(+)(+)n ·[ P ·( u − u 0 )+ µ ·( φ − φ 0 )]d S1 − ( P 0 · u + µ 0 · φ )d S2 −KKKKKe K KKKK(+)Ke K K(+)S2KK−(5.3.21)S211K−1∑s(+)α=1 S (i)α(−)(+)(−)αα+1[T· (u− u ) + µ · ( φ − φ )]dSα (i) +ααα+1+K−1∑ sα(+)(−)(+)(−)αα+1ψ − φ + φ )]dSα 0 ,[χ̌(v, ψ) − P· (v−u+ u ) − Q · (ψααααα=1 S 0 ααα+1αααгде Sα = Sα 0 ∪Sα (i) , Sα 0 ∩Sα (i) = ∅, α = 1, K − 1, Sα 0 — область ослабленной адгезии,а Sα (i) — область совершенной адгезии (идеального контакта).Условие стационарности оператора (5.3.21) аналогично (5.3.10) можно представить в видеDŘ⋆ =K t [22∑κ − µ ) ⊗ δκκ − (∇(∂ W̌/∂γγ − P) ⊗ δγγ + (∂ W̌/∂κ· P + ρF)·δu−αααααααααααααeeeeα=1 Veeeα222κ−∇µ]dVα −φ − (γγ −∇· φ ) ⊗ δP − (κφ ) ⊗ δµ⊗P + ρm)·δφu +C−(∇·µ +Cα αα αα α≃ α≃α αααααααeeαeee α e{}Kss∑µφφµφ−m·[δP·(u−u)+δµ·(φ−φ)]dΣ−[(m·P−P)·δu+(m·µ−µ)·δφ)dΣ−000ααα0α1α ααα αα2ααααα αee αα=1 Σ1Σ2eeαα(−)(−)(−)s (−) (−) (−)s (−)(−)(−)(−)(−)(−)(−)(−) (−)(−)(−)−n ·[δ P ·( u − u 0 )+δ µ ·( φ − φ 0 )]d S1 + [( n · P − P 0 )·δ u +( n · µ − µ 0 )·δ φ ]d S2 −111 111 e111e1 1 11(−)(−)e 1e1 1 1S11−s(+)S1+S21(+)(+)(+)(+)(+)(+)−s(5.3.22)K−1(+)(+)∑ s (+) (−)(+)(+)(+)(−)(+) (+)(+)(+) (+)µ]dSα (i) +[( n · P − P 0 )·δ u + ( n · µ − µ 0 )·δ φ )]d S2 −[( u−u)·δT+(φ−φ )·δµααα+1KKKKKααα+1eKKα=1 S (i)(+)Ke KαK−1∑s(+) (+)(+)(+) (+)(+)(−)(−)(−)(−)(−)(−)µ)·δ φ +( n · P +T[( n· P −T)·δ u+ (n· µ −µ)·δ u + ( n · µ + µ )·δ φ ]dSα (i) −α ααα ααα+1 α+1α+1α+1 α+1αααα+1e αeα=1 S (i)eeαK−1∑ sα=1 S 0α+(+)KS2K+(+)n ·[δ P ·( u − u 0 )+δ µ ·( φ − φ 0 )]d S1 +KKe K KKKe K KK−1∑ s(+)(−)(+)(−)αα+1ψ −Q) · δψψ +(vψ − φ + φ )·δQ]dSα 0 +[(∂ χ̌/∂v−P) · δv+(∂ χ̌/∂ψ−u+ u ) · δP+(ψααααααα(+) (+)α(+)(+) (+)ααα+1α(+)(−)(−)α(−)(−)(−)α(−))·δ u+ (n· µ +Q)·δ φ +( n · P −P[( n· P +P)·δ u + ( n · µ −Q)·δ φ ]dSα 0 = 0.αα αα ααα+1 α+1α+1α+1 α+1ααe αeα=1 S 0ee α α+1α276Заметим, как и при получении (5.3.10), так и при выводе (5.3.22), былоиспользовано соотношениеtV+s (−) (−) (−) (−) (−) (−)s22µφµφ+ µ · δ φ )d Sα +n· (P · δ u(P ⊗ ∇δu+⊗∇δφ)dV=m·(P·δu+·δφ)dΣ+ααααα αα αααααααααααeeeΣ(−)eee2αs(+)Sα(+)(+)(+)(+)(+)(+)n· (P · δ u+ µ · δ φ )d Sα −αααααeeSαtVφ)dV,(∇·P·u+∇· µ · δφα ααα αee α(+)(−)получаемое аналогично (5.2.23).

Здесь считаем, что Sα = Sα = S = Sα 0 ∪ Sα (i) ,α+1α = 1, K − 1. Если Sα 0 = ∅, α = 1, K −1, то из (5.3.21) получим (5.3.1), а из(5.3.22) вытекает (5.3.10).φ, δγγ , δκκ , δP,Легко усмотреть, что в силу произвольности вариаций δu, δφααααeeαe(−)(−)(−)(−)(+)(+)(+)(+)µ, δ uµ, δvψ , δPδµ, δ φ , δ P, δ µ , δ u, δ φ , δ P и δ µ , α = 1, K, а также δT, δµ, δψ,αααααααααααeeαααeeeδQ, α = 1, K − 1 из (5.3.22) получим уравнения равновесия (5.3.4), определяюαщие соотношения (5.3.8), кинематические соотношения (5.3.6), кинематические(5.3.2) и статические (5.3.5) граничные условия на боковой грани, кинематические и статические граничные условия на лицевых поверхностях (5.3.11), условия идеального контакта в областях (Sα (i) , α = 1, K − 1) совершенной адгезии(5.3.12) и условия в областях ослабленной адгезии (Sα 0 , α = 1, K − 1)P= ∂ χ̌/∂v,ααα(+)(+)ψ,Q = ∂ χ̌/∂ψα(−)α(−)P= −n·P= n · P,ααα+1 α+1αee5.3.3α(+)(−)v= u− u,ααα+1(+)(+)(+)(−)ψ= φ− ψ ,α(−)αα+1(−)Q = −n·µ = n · µ .αα+1 α+1ααeeОбобщенный вариационный принцип типа Рейсснера в теориимногослойных тонких тел в моментах относительно систем ортогональных полиномов при наличии областей ослабленнойадгезииИмея обобщенный оператор типа Рейсснера (5.3.21) или обобщенный вариационный принцип типа Рейсснера (5.3.22), не представляет труда получить обобщенный вариационный принцип типа Рейсснера в моментах относительно систем ортогональных полиномов при наличии областей ослабленной адгезии.

Всамом деле, учитывая (5.2.7), (5.2.10), (5.2.13), (5.2.14), (5.2.15) и (5.2.16), совершенно аналогично (5.2.17) из (5.3.22) получим обобщенный вариационныйпринцип типа Рейсснера в моментах, например, относительно системы полиномов Лежандра в следующем виде:⋆DŘ =∞ {∑k=0K s(k) ] 2{[ (k)[ (k)(k) ] 2(k)(k)1 [∑′∗γκM(∂W̌/∂γ)−µ ∗ ⊗ δκ −h(x))−P⊗δγM(∂W̌/∂κ+αααααα2k + 1 α=1 (−)αααeeeffeeeSα277(k)(k)(k)[(k) (k)[(k) (k)] 2 (k)∗ } (−)(k)(k)] 2(k)∗∗∗−S·δu−S·δφ−γ−M(∇u)+C·φ⊗δP−−M(∇φ)κ⊗ δ µ d Sα −α (1)αα (2)ααααααeef αα ≃f αααeeK { ∫(k) (−)[ (k) (−) I (k) (k)∑(k)(k)(−)′ (−)µI )·( φ − φ 0 )]d sα1 −−h(x)m− M( ϑ δP )·( u − u 0 )+ M( ϑ δµαααααα=1αI(−)L1α−s(k)(k)(k)(k)(−)∗∗h(x′ )(T· δu−T· δ φ )d sα2αα (1)αα (2)}]α(−)L1− (−1)k(−)S1α+s(−) (−){sα(−)α(k)(−)(−)(k)(−)(−)(−)n ·[δ P ·( u − u 0 )+δ µ ·( φ − φ 0 )]d S1 +11e1 1 1e1 1 11(−)(k)(−) (−)(−)(k)(−)}s(+)(k)(+)(+)(k)(+)(+)(+)[( n · P − P 0 )·δ u +( n · µ − µ 0 )·δ φ ]d S2 −n ·[δ P ·( u − u 0 )+δ µ ·( φ − φ 0 )]d S1 +1 e111 11KK1e K K1K(−)(+)Ke 1e K KS21+K−1(+)(+)∑ s { (+) (+)(+)(k)(+) (+)(k)(+) (+)(k)[( n · P − P 0 )·δ u + ( n · µ − µ 0 )·δ φ )]d S2 +(n· P −T)·δ u+αααK KKK KKαe KeKα=1 S (i)(+)e KαsS2K−S1KK−1∑ sα=1 S 0α(5.3.23)(−)(k)(−)(k) }(+) (+)(k)(−)k (−)µ+( n·µ−µ)·δφ+(−1)[(n·P+T)·δu+(n·µ+µ)·δφ ] dSα (i) +α ααα+1 α+1α+1α+1 α+1αααα+1eeeK−1(−)∑ s { (+) (+)(k)(k)(k)(+) (+)k (−))·δu++Q)·δφ+(−1)[(n·P−P(n·P+P)·δu+(n·µ+α ααα αα+1 α+1ααe α α+1e αα=1 S 0eα} K−1∑ s (+) (−)(+)(−)(k) }(−)(−)µ]dSα (i) −[( u−u)·δT+(φ−φ )·δµ+( n · µ −Q)·δ φ ] dSα 0 −ααα+1α+1 α+1αααα+1α+1α=1 S (i)eα(+)(−)(+)(−)αα+1ψ −Q) · δψψ +(vψ − φ + φ )·δQ]dSα 0 = 0.[(∂ χ̌/∂v−P) · δv+(∂ χ̌/∂ψ−u+ u ) · δP+(ψαααααααααααα+1ααЗдесь аналогично (5.2.13) и (5.2.16) введены следующие обозначения:(−)I′3T=m− P − a(x , x )P0 ,α1α αααIS=∇· P + ρF,α1ααααe(−)I′3µ0 ,T=m−µ − a(x , x )µα2ααIα2S=∇·µ +C⊗P + ρm,α2α α≃αααe α eα(−)(−)∗T= ϑT,αIαIP∗ = ϑ P,ααee(−)∗S= ϑS,αIαI(−)µ∗ = ϑ µ.ααeeНетрудно заметить, что если S= ∅, α = 1, K − 1, то из (5.3.23) следуетα0обобщенный вариационный принцип типа Рейсснера в моментах относительносистемы полиномов Лежандра для теории многослойных тонких тел при идеальном контакте слоев и новой параметризации области тела.

Характеристики

Список файлов диссертации