Диссертация (786091), страница 54
Текст из файла (страница 54)
трехмерную постановку задачитическиедля тонких тел с одним малым размером. Учитывая представления градиента идивергенции при рассматриваемой параметризации (необязательно при новой),конечно, эту постановку задачи можно записать при используемой параметризации. Следовательно, вначале (5.2.2) можно было записать при рассматриваемой параметризации, а затем из полученного соотношения выводить постановку задачи.
Так как вверху были приведены постановки задач, то здесь на этомостанавливаться не будем.Далее представим принцип (5.2.2) при новой параметризации области тонкого тела в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева.5.2.2Обобщенный вариационный принцип типа Рейсснера в микрополярной теории тонких тел с одним малым размером в моментах при новой параметризации области телаПрежде чем сформулировать вариационный принцип Рейсснера для теориитонких тел, вспомним некоторые соотношения [236], связывающие входящиев (5.2.1) и (5.2.2) геометрические характеристики при новой параметризацииобласти тонкого тела. Эти соотношения имеют следующий вид:(−)(+)dVdSdx3d S dx3d S dx3√√√dx dx dx = √ ===,g(−) −−(+) ++gg 333333gggg123(−)(+)(−)(+)(−)(−)(+)(+)(5.2.3)d Σ m−d Σ m+d s dx3 m −d s dx3 m +dΣmIdsdx3 mIIIII= √= √= √= √.√ = √33−−++(−)(+)g(−)(+)gg3333ggggggЗаметим, что некоторые получаемые из (5.2.3) формулы были выведенывыше (см.
(3.5.28) – (3.5.33)).Представим теперь (5.2.2) в моментах относительно системы полиномов Лежандра. В этой связи разложим каждый множитель подынтегральных выражений объемного интеграла и интегралов по боковой грани в ряд по системе полиномов Лежандра и преобразуем интегралы, входящие в правую часть (5.2.2).Видно, что из интегралов, входящих в правую часть (5.2.2), большого вниманиязаслуживают преобразования интегралов видаtV2Q ⊗ adV,e esΣm · Q · bdΣ,e(5.2.4)258а остальные интегралы можно легко преобразовать.
Итак, преобразуем первый(−)(−)интеграл из (5.2.4). Учитывая dV = ϑ hd S dx3 , вытекающее из первой строки(5.2.3), получимtV( ∫1 (−) 2 ) (−)s2Q ⊗ adV = h(x′ )ϑQ ⊗ a dS .0(−)e ee e(5.2.5)SВ силу соотношения∞ ∑∞ (k) 2 (m)2 (−)2∑Q ⊗ ϑ a = Q ⊗ a∗ =Q ⊗ a ∗ Pk∗ (x3 )Pm∗ (x3 ),eeem=0k=0eee(−)a∗ = ϑ aeeи ортогональности системы полиномов Лежандра будем иметь∫10∞ (k) 2 (m) ∫1∞ ∑2 (−)∑Q ⊗ ϑ adx3 =Q ⊗ a ∗ Pk∗ (x3 )Pm∗ (x3 )dx3 =ee 0m=0k=0ee∞ ∑∞ (k) 2 (m)∞∑∑11 (k) 2 (m)∗=Q ⊗ a ∗√δkm =Q⊗ a ,ee(2k + 1)(2m + 1)k=0 m=0 ek=0 2k + 1 eт.е.∫10∞∞2 (−)∑1 (k)∗ 2 (k)1 (k) 2 (k)∗ ∑Q ⊗ ϑ adx3 =Q⊗ a =Q ⊗ a,eeek=0 2k + 1 ek=0 2k + 1 ee(−)(5.2.6)(−)где Q∗ = ϑ Q, a∗ = ϑ a, а Pk∗ (x3 ) — смещенный полином Лежандра k-ойeee eстепени.Учитывая (5.2.6), из (5.2.5) найдемtV∞∞(k) 2 (k)(k)(−)22 (k) (−)∑∑1 s1 sQ ⊗ adV =h(x′ )Q ⊗ a ∗ d S =h(x′ )Q∗ ⊗ a d S .eek=0 2k + 1 (−)k=0 2k + 1 (−)e eeeS(5.2.7)SСледует заметить, что то или иное представление объемного интеграла (5.2.7)выбирается в зависимости от представления системы уравнений движения (равновесия), которое в свою очередь определяет представления ОС и статическихграничных условий при рассматриваемой параметризации области тела.Нетрудно видеть, что в силу соотношения второй строки (5.2.3) имеем равенства(−)(−)(−)(−)d Σ m − rId s dx3 m − rIdsdx3 mdΣmII= √= √,√ = √(−)g(−) −−gg 3333gggс учетом которых второй интеграл (5.2.4) приводится к видуsΣ) (−)( ∫1 (−) I∫(−)m · Q · bdΣ = h(x′ ) m − (x′ )ϑ Q · bdx3 d s ,I0(−)e(5.2.8)LОчевидно, аналогично (5.2.6) находим∞∫1 (−) I∑ϑ Q · bdx3 =0∞1 (k) I (k)∗ ∑1 (k) (−) I (k)M(Q ) · b =M( ϑ Q ) · b,k=0 2k + 1k=0 2k + 1(−)b∗ = ϑ b.(5.2.9)259Учитывая (5.2.9), интеграл (5.2.8) можно записать в формеsΣ∞(k)(k)∫∑1(−)(−)m · Q · bdΣ =h(x′ ) m − (x′ )M(QI ) · b ∗ d s =Ik=0 2k + 1 (−)eL=(k)(k) (−)∫1(−)(−)h(x′ ) m − (x′ )M( ϑ QI ) · bd s .Ik=0 2k + 1 (−)∞∑(5.2.10)LДалее легко усмотреть, чтоsΣ(−)(−)( ∫1 (−) ′ 3) (−)∫sP0 · udΣ = (dΣ/d Σ )P0 · ud Σ = h(x′ )ϑ a(x , x )P0 · udx3 d s ,eee0(−)(−)Σ(5.2.11)L(−) (−)где введено обозначение a(x′ , x3 ) = (dΣ/d Σ) ϑ −1 и, кроме того, учтена выте(−)кающая из второй строки (5.2.3) формула d Σ = h(x′ )d s dx3 .В силу (5.2.8) и (5.2.11) имеемsΣsΣ(−)) (−)( ∫1 (−)∫(m · P − P0 ) · udΣ = h(x′ )ϑ T(1) · udx3 d s ,e e0(−)L∫(5.2.12)( ∫1 (−)) (−)h(x )ϑ T(2) · φ dx3 d s ,′(m · µ − µ 0 ) · φ dΣ =(−)e e0Lгде введены следующие обозначения:(−)(−)T(1) = m − PI − a(x′ , x3 )P0 ,µ0 .T(2) = m −µ I − a(x′ , x3 )µII(5.2.13)Учитывая (5.2.6), из (5.2.12) получимsΣsΣ∞(k)∫∑(k)1(−)(m · P − P0 ) · udΣ =h(x′ )T(1) · u ∗ d s =e ek=0 2k + 1 (−)L∞(k)∫∑(k) (−)1=h(x′ )T∗(1) · ud s ,k=0 2k + 1 (−)L(k)∫(k)1(−)(m · µ − µ 0 ) · φ dΣ =h(x′ )T(2) · φ ∗ d s =k=0 2k + 1 (−)e e∞∑L=(5.2.14)(k)∫(k) (−)1h(x′ )T∗(2) · φ d s ,k=0 2k + 1 (−)∞∑L∗(−)u = ϑ u,T∗(1)(−)∗(−)T∗(2)φ = ϑ φ,= ϑ T(1) ,(−)Далее в силу формул f =∞∑(k)(−)= ϑ T(2) .∞ (k)∑f (см.
(2.2.4)) поверхностные(+)(−1)k f , f =k=0k=0интегралы в правой части (5.2.2) приводится к видуs(−)S1s∞(−)(−)s (−) (k) (−) (−) (−)∑(−)(−)n · δ P · ( u − u 0 )d S =(−1)kn · δ P · ( u − u 0 )d S ,eek=0(−)(−)(−)(−)(−)(−)S1s(−)∞∑(+)∞ s∑(−)(−)(−)(+)(+)(k)(−)( n · P − P 0) · δ u d S =(−1)k ( n · P − P 0 ) · δ ud S ,eeeek=0(−)(−)S2s(+)S1(+)(+)(+)(+)S2(+)(k)(∓)(−)n · δ P · ( u − u 0 )d S =n · δ P · ( u − u 0) η d S ,eek=0 (−)S 1′260∞ s (+) (+)(+)(+)∑(+) (+)(+) (+)(k)(∓) (−)( n · P − P 0) · δ u η d S ,( n · P − P 0) · δ u d S =eeeek=0 (+)(+)sS2s(−)S1(−)(−)(−)(−)(−)∞∑S 2′′n · δ µ · ( φ − φ 0 )d S =(−1)k=0eks(−)S1(−)(k)(−)(−)(−)(5.2.15)n · δ µ · ( φ − φ 0 )d S ,e∞s (−) (−) (−)∑(−)(−) (−)(k) (−)(−) (−)( n · µ − µ 0) · δ φ d S =(−1)k ( n · µ − µ 0 ) · δ φ d S ,k=0(−)(−)eeeeS2S2∞ s (+)(−)s (+) (+) (+) (+) (+) ∑(k)(+)(+)(∓)n · δ µ · ( φ − φ 0 )d S =n · δ µ · ( φ − φ 0) η d S ,k=0 (−)(+)eeS1S 1′∞ s (+) (+)s (+) (+) (+)∑(+) (+)(+)(k)(∓) (−)( n · µ − µ 0) · δ φ η d S ,( n · µ − µ 0) · δ φ d S =k=0 (−)(+)eeee′′sS2S2где учтена формула(+)(∓)(−)dS = η dS((−)η =√√(−)−−(−) −−3333gg /( g g ) = ϑ g 33 /g 3 3 ,)(−)η = η x3 =1 ,(∓)которая получается из первой строки (5.2.3).(−)(−)(−)(−)(−)Следует заметить, что части S ′1 , S ′′2 поверхности S , вообще говоря, могутне иметь общих точек с частями S 1 , S 2 .Вводя обозначенияS(1) = ∇ · P + ρF,e2S(2) = ∇ · µ + C⊗ P + ρm≃ee(5.2.16)и учитывая (5.2.7), (5.2.10), (5.2.13), (5.2.14) и (5.2.15), обобщенный вариационный принцип типа Рейсснера (5.2.2) в моментах представится следующимобразом:{[ (k) ((−) ∂ W̌ ) (k)] 2 (k) [ (k) ((−) ∂ W̌ ) (k)] 2 (k)1 {sh(x′ ) M ϑ− P ⊗δ γ + M ϑ− µ ⊗δ κ−κ∂γγ∂κeefk=0 2k + 1 (−)e feeSe(k)(k)(k)(−)2 (k) (k)(k)(k) 2 (k)(k)(k)(k)φ ] ⊗δ P − [ κ − M(∇φφ)] ⊗δ µ − S (1) ·δ u − S (2) ·δ φ ]d S −−[ γ − M(∇u)+C·≃ee fe fe(−)(k)(k) (−)∫(k)(k) ] (−)(k)(k)(−) [′IIµ )·( φ −φ 0 ) d s −− h(x ) m − M( ϑ δP )·( u − u 0 )+ M( ϑ δµDŘ =(−)L1∞∑I−∫(−)L2(k)((k)(k)) (−)(k)h(x′ ) T∗(1) ·δ u + T∗(2) ·δ φ d s −(5.2.17)(−){ s (−) (k) (−) (−)(k)(−)(−)n ·[δ P ·( u − u 0 )+δ µ ·( φ − φ 0 )]d S −−(−1) (2k + 1)e(−)eS1s (−) (−) (−)(−)(k) } (−)(k)(−) (−)− [( n · P − P 0 )·δ u +( n · µ − µ 0 )·δ φ )] d S −e(−)eS2(+){ s (+) (k) (+) (+)(k)(−)(+)−(2k + 1)n ·[δ P ·( u − u 0 )+δ µ ·( φ − φ 0 )]d S −e(+)eS1} (+)s (+) (+) (+)(+)(k) }(k)(+) (+)− [( n · P − P 0 )·δ u +( n · µ − µ 0 )·δ φ )] d S = 0,e(+)ekS2261где, как и выше, введены следующие обозначения:(k) (−)(k)P∗ = M ( ϑ P),ef e(k) (−)(k)µ ∗ = M ( ϑ µ),f ee(k) (−)(k)S ∗(I) = M ( ϑ S(I) ),f(k) (−)(k)T∗(I) = M ( ϑ T(I) ).f(5.2.18)Заметим, что последние два интеграла в (5.2.17) можно было заменить, например, аналогично последним двум интегралам в (5.2.15), однако этого делатьне стали.
При желании это сделать не трудно. Хотя, в этом нет нужды. И придальнейшем изложении поступим аналогичным образом.(k)(k)(k)(k)(k)Легко усмотреть, что в силу произвольности δ γ , δκ , δ u , δ φ , δ P∗ , δ µ ∗ изe e e граничe e и статическиеe(5.2.17) получим уравнения равновесия, кинематическиеные условия на контуре базовой поверхности и лицевых поверхностях. Очевидно, число получаемых из (5.2.17) соотношений, кроме кинематических и статических граничных условий на лицевых поверхностях, бесконечно. Применяяизложенные выше методы редукции, бесконечную систему всегда можно привести к конечной.(k)(k) (−)(k)(k)(k)Следует заметить, что если в (5.2.17) величины P∗ , µ ∗ , S ∗(I) , T∗(I) , M( ϑ δPI )e e(k)(k) (−)(k) (k) (k)(k)(k)(k) (k) (k) (k)IIµ ), заменить на P, µ , S (I) , T(I) , M(δP ) и M(δµµI ), а γ , κ , u , φ ,и M( ϑ δµe(k) e(k) (k) (k) (−)(k) (−)(k)(k)e e e e(k)∗∗∗∗φ) соответственно, тоφ) — на γ , κ , u , φ , M( ϑ ∇u) и M( ϑ ∇φM(∇u) и M(∇φeeeeполучим другую форму представления обобщенного вариационного принципатипа Рейсснера.
С целью сокращения письма выписывать его не будем.Следует отметить также, что можно было обобщенный принцип Рейсснера(5.2.1) представить в моментах, а затем получить (5.2.17). В самом деле, поступая так же, как при выводе (5.2.17), в силу (5.2.7), (5.2.10) и (5.2.15) из (5.2.1)будем иметь(0)(n)(0)(n)(0)(n)(0)(0)(n)(n)(0)(k)(n)Ř( u, ..., u , ..., φ , ..., φ , ..., γ , ..., γ , ..., κ , ..., κ , ..., P, ..., P , ..., µ , ..., µ , ..., ) =ee∑∞ e (k) e(k) (k) (k) (k) (k)Řk ( u, φ , γ , κ , P, µ ),=e ek=0(5.2.19)где введено обозначение(k) 2 (k)(k){(k) (k)(k)1 {sφ ]−φγκµh(x′ ) Wk ( γ , κ ) − P ⊗[ γ − M(∇u)+C·Řk ( u, , , , P, ) =≃2k + 1 (−)eee efeeS(k)(k)(k)2(k)(k)(k)} (−)(k)φ)]− M(ρF) · u − M(ρm) · φ d S −− µ ⊗[κ − M(∇φffe e f(k) (−)(k) (−)∫(k)(k) ] (−)(k)(k)(−) [− h(x′ ) m − M( ϑ PI )·( u − u 0 )+ M( ϑ µ I )·( φ −φ 0 ) d s −(k) (k) (k) (k) (k) (k)(−)L1I−∫((k) (k) (k) (k)) (−)h(x ) P∗(0) · u + µ ∗(0) · φ d s −′(5.2.20)(−)L2{s(k)(−)s (−) (k) (−) (k) (−)}(k)(−)(−)(−)(−)n ·[P ·( u − u 0 )+ µ ·( φ − φ 0 )]d S − ( P 0 · u + µ 0 · φ )d S −e(−)(−)eS1S2(+){ s (+) (k) (+) (+)s (+) (k) (+) (k) (+)}}(k)(−)(+)−(2k + 1)n ·[P ·( u − u 0 )+ µ ·( φ − φ 0 )]d S − ( P 0 · u + µ 0 · φ )d S ,e(+)(+)e−(−1)k (2k + 1)S1(−)S2262называемое общим членом ряда обобщенного оператора Рейсснера.(k) (k)Следует заметить, что Wk ( u, φ ) является общим членом ряда(0)(0)(n)(0)(n)W ∗ ( γ , ..., γ , ..., κ , ..., κ , ...) =eeee∞∫1 (−)∑(k) (k)1ϑ W̌ (γγ , κ )dx3 =Wk ( γ , κ ).k=0 2k + 10e ee e(5.2.21)Заметим также, что при конкретных случаях оператор деформации и изгибакручения W̌ (5.2.21) можно представить в аналогичном (5.2.6) виде (например,в случае линейной микрополярной теории упругости W̌ является квадратичнойформой относительно γ и κ ).
На рассмотрении частных случаев представленияeW̌ останавливаться неeбудем.Видно, что обобщенный оператор Рейсснера (5.2.19) и (5.2.21) зависят от(k)(k)(k)(k)(k)(k)бесконечно многих переменных u, φ , γ , κ , P и µ , k = 0, ∞, на что указываютe e(k) (k) (k)(k)многоточия в аргументах этих операторов (Řk зависит только от γ , κ , P и µ , а(k)(k)(k)(k)e(k)Wk — от γ и κ , однако сами γ и κ зависят от бесконечно многих переменныхe u,(k)(k)e ee (k)eφ) содержат бесконечно много слагаемых).φ , k = 0, ∞, так как M(∇u) и M(∇φffДля того, чтобы получитьискомыйпринцип из (5.2.19) надо вывести вспомогательное тождество. С этой целью, интегрируя (5.1.8) по объему V и применяя теорему Остроградского-Гаусса, будем иметьtV2Q ⊗ ∇adV =evSn · Q · adS −etV∇ · Q · adV.e(5.2.22)(−)(+)Применяя (5.2.22) к тонкому телу с объемом V и границей S = Σ ∪ S ∪ S ,(−)(−)(−)(−)(−)(+)(+)(+)(+)(+)S = S 1 ∪ S 2 , S 1 ∩ S 2 = ∅, S = S 1 ∪ S 2 , S 1 ∩ S 2 = ∅, Σ = Σ1 ∪ Σ2 , Σ1 ∩ Σ2 = ∅,(−)(+)где S и S — лицевые поверхности, а Σ — боковая грань и полагая, что(−)(−)(+)nΣ = m, nx3 =0 = n , nx3 =1 = n , Qx3 =0 = Q ,ee(+)(−)(+)Qx3 =1 = Q , ax3 =0 = a , ax3 =1 = a ,eeполучимtV2Q ⊗ ∇adV =esΣs (−) (−) (−) (−)m · Q · adS +n · Q · a dS +(−)eeSs (+) (+) (+) (+) t+ n · Q · a dS −∇ · Q · adV.V(+)ee(5.2.23)SВ силу (5.2.7), (5.2.10) и (5.2.15) из (5.2.23) с помощью простых преобразований искомое тождество представится в виде(k)(k) (−)(−)2 (k)(k) (−)1 s1 ∫(−)h(x′ )Q∗ ⊗ M(∇a)d S =h(x′ ) m − M( ϑ QI ) · a d s +I2k+1 (−)2k+1 (−)feSL1(k) (−)[ s (−) (k) (−) (−) s (−) (−) (k) (−)](k) (−)1 ∫(−)+n · Q · a dS + n · Q · adS +h(x′ ) m − M( ϑ QI ) · a d s +(−1)kI2k+1 (−)(−)(−)ee+s(+)S1L2S1S2(k) (+) (+)(k) (−)s (+) (+) (k) (+)(k) (−)1 sn · Q · a dS + n · Q · adS −h(x′ )M( ϑ ∇ · Q) · a d S ,2k+1 (−)(+)eee(+)S2Sk ≥ 0,(5.2.24)263(−)(−)(−)(−)(−)(−)где L = L1 ∪ L2 ( L1 ∩ L2 = ∅) — граница (контур) базовой поверхности S .φЕсли теперь в (5.2.24) Q и a сперва заменить на P и δu, а затем на µ и δφeсоответственно и сложить eполученные тождества почленно,то с учетом eδu(−) = 0,φ(−) = 0,δφL1L1(−)δ u (−) = 0,(−)δ φ (−) = 0,(+)δ u (+) = 0,(+)δ φ (+) = 0S1S1S1S1получим[(k) 2 (k)] (−)2 (k)(k)1 sφ) d S =h(x′ ) P∗ ⊗ M(∇δu) + µ ∗ ⊗ M(∇δφ2k+1 (−)effeS=+(k) (−)(k) (−)(k)] (−)(k)1 ∫(−) [h(x′ ) m − M( ϑ PI ) · δ u + M( ϑ µ I ) · δ φ d s +I2k+1 (−)s(−)S2L2(−)(−)s (+) (+) (k) (+) (k) (+)(−)(k)(k)n · ( P · δ u + µ · δ φ )d S +n · ( P · δ u + µ · δ φ )d S +ee(+)ee(−)(5.2.25)S2(k) (−)[ (k) (−)(k)] (−)(k)1 s−h(x′ ) M( ϑ ∇ · P) · δ u + M( ϑ ∇ · µ ) · δ φ d S ,2k+1 (−)eek ≥ 0.SВ силу определения дифференциала оператора и (5.2.25), а также формул∂Wk∗ 2 (k)γ= (k) ⊗ δ + (k) ⊗ δ κ ,eeee∂γ∂κe(()(k) (−) ∂ W̌ e(k) (−) ∂ W̌ )(k)∂Wk∗∗=M ϑ, µ = (k) = M ϑκ∂γγ∂κffe∂κeee(k) (k)(k)(k)DWk∗ ( γ , κ , δ γ , δ κ )(k)e e∂Wk∗P∗ = (k)e∂γe∂Wk∗2(k)из (5.2.19) получим (5.2.17).Следует заметить, что не доставляет труда аналогично (5.2.17) сформулировать вариационные принципы Лагранжа (5.1.40), Кастильяно (5.1.55) иРейсснера (5.1.62) или аналогично (5.2.19) и (5.2.20) представить лагранжиан (5.1.38), кастильяниан (5.1.53) и обобщенный оператор Рейсснера (5.1.61), азатем из них получить соответствующие вариационные принципы для теориитонких тел.Заметим также, что, пользуясь принципом Д’Аламбера и заменяя объемныесилу ρF и момент ρm на ρF−ρ∂t2 u и ρm−J·∂t2φ соответственно, не представляетe вариационные принципы и в томтруда сформулировать приведенные вышеслучае, когда учитываются сила и момент инерции.В заключении отметим, что сформулированные вариационные принципы(или операторы Лагранжа, Кастильяно, Рейсснера), как было сказано выше,(k)представляются в виде рядов и содержат бесконечно много переменных u и(k)φ , k = 0, ∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
