Диссертация (786091), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

Заметим также,что, имея (5.3.23) нетрудно получить из него двойственный ему вариационныйпринцип, а также другие вариационные принципы (Лагранжа, Кастильяно) привыполнении характерных для этих принципов условий. В этой связи на рассмотрении этих частных случаев останавливаться не будем. Однако, отметим, чтовопросы этой главы изложены также в [305, 306].2786Глава. Варианты уравнений микрополярных теорий оболочек ипластин, аналитические решения в теориях тонких тел, примерырешения задач6.1К параметризации области оболочкиРассматривается классическая параметризация [68, 69, 210] области оболочки.Применяются обозначения, использованные в работе [265] и обычные правилатензорного анализа [68, 92, 129, 131, 210, 337]. В качестве базовой рассматривается регулярная поверхность S, относительно которой область оболочки расположена несимметрично [69].

В таком случае радиус-вектор произвольной точкиоболочки можно задать соотношением(−)r̂(x1 , x2 , x3 , t) = r(x1 , x2 , t) + x3 n(x1 , x2 , t),(+)− h (x1 , x2 , t) ≤ x3 ≤ h (x1 , x2 , t),(6.1.1)где r(x1 , x2 , t) — радиус-вектор точки базовой поверхности S, которая не является срединной поверхностью; n(x1 , x2 , t) — единичный вектор нормали кбазовой поверхности S; x1 , x2 — гауссовы координаты на S; x3 — поперечная12(−)1(+)2координата, h(x , x , t) = h (x , x , t) + h (x1 , x2 , t) представляет толщину обо(−)лочки в точке (x , x ) ∈ S.

В дальнейшем будем предполагать, что h (x1 , x2 , t)12(+)и h (x1 , x2 , t) — кусочно-гладкие неотрицательные функции координат x1 , x2 .(−)При x3 = − h (x1 , x2 , t) первое соотношение (6.1.1) определяет поверхность,(−)которую обозначим через S и назовем внутренней поверхностью оболочки, а(+)поверхность, определяемую тем же соотношением при x3 = h (x1 , x2 , t) и обо(+)(−)(+)значаемую через S , назовем внешней поверхностью.

Поверхности S и S ещеназываются лицевыми поверхностями оболочки. Введем обозначения(−)(−)r (x1 , x2 , t) = r̂(x1 , x3 , − h , t),(+)(+)r (x1 , x2 , t) = r̂(x1 , x3 , h , t),(−)(+)тогда векторные уравнения поверхностей S и S соответственно представятсяв виде(−)(−)r (x1 , x2 , t) = r(x1 , x2 , t) − h (x1 , x2 , t)n(x1 , x2 , t),(6.1.2)(+)(+)r (x1 , x2 , t) = r(x1 , x2 , t) + h (x1 , x2 , t)n(x1 , x2 , t).В дальнейшем будут рассмотрены граничные условия физического содержания на лицевых поверхностях.

Для этого необходимо определить единичныевекторы нормалей в точках лицевых поверхностей. Найдем выражения векто(−)(−)∂r, r+ =ров ковариантных базисов на этих поверхностях. Пусть r− = ∂I r =I∂xI I(+)(+)∂r∂I r =, тогда из (6.1.2) следуют соотношения для векторов ковариантных∂xI(−)(+)базисов внутренней S и внешней S поверхностей(−)(−)r− = (gIJ + h bJI )rJ − ∂I h n,I(+)(+)r+ = (gIJ − h bJI )rJ + ∂I h n.I(6.1.3)279При написании (6.1.3) были учтены формулы Вейнгартена nI = −bJI rJ ; bJI —компоненты второго тензора b поверхности S. Легко показать, что компонентыˆˆпереноса единичного тензораeвторого ранга g Jˆ = rˆ ·rJ и gJI = rI· rJ , где rˆ = ∂I r̂,III√IˆIJ−1r = ĝ ϵ r ˆ×n, представляются в виде [265]JgJI = ϑ̂−1 AIJ = ϑ̂−1 [(1 − 2Hx3 )gJI + x3 bIJ ],ˆg Jˆ = gIJ − x3 bJI ,IˆˆAIJ =ϵIK ϵJL g L = (1−2Hx3 )gJI +x3 bIJ , ϑ̂ =√1ĝg −1 = ϵIJ ϵKL g Kg L = 1−2Hx3 +K(x3 )2 .Iˆ Jˆ2(6.1.4)(6.1.5)√√Здесь ĝ = (r1̂ ×r2̂ )·n, g = (r1 ×r2 )·n, H = 2−1 I1 (b) = 2−1 (k1 + k2 ) — средняяeкривизна, а K = det(b) = k1 k2 — гауссова кривизна базовой поверхности S,ek1 и k2 — главные кривизныбазовой поверхности, ϵIJ и ϵKL — символы ЛевиЧивиты.

В силу первого соотношения (6.1.4) имеемK̂g−J = g Jˆ (−)I x3 =− hIg+J = g Jˆ (−)= gIJ + h bJI ,(+)(+)I x3 = hI(−)= gIJ − h bJI .(6.1.6)(+)Далее, вводя обозначения g−3 = −∂I h , g+3 = ∂I h , и учитывая (6.1.6), запиIшем соотношения (6.1.3) в краткой форме:r− = g−k rk ,IIr+ = g+k rk ,IIIr3 = n.(6.1.7)(−)Теперь нетрудно найти выражения для единичных векторов нормалей n и(−)(+)(+)n к поверхностям S и S , которые определяются формулами(−)(+)n = −(r− × r− )(|r− × r− |)−1 ,121n = (r+ × r+ )(|r+ × r+ |)−1 .21212(6.1.8)Действительно, на основании (6.1.7) векторное произведение в числителях(6.1.8) можно представить следующим образом:1√ IJg(ϵ ϵKL g−3 g−K rL + ϵIJ ϵKL g−K g−L n),122I JI J1√ IJr+ × r+ = g(ϵ ϵKL g+3 g+K rL + ϵIJ ϵKL g+K g+L n).122I JI Jr− × r− =(6.1.9)Из второго соотношения (6.1.4) и формулы (6.1.5) находим−ˆgLI = gLI (−)x3 =− h+ˆgLI = gLI −(−)= ϑ −1 ALI ,+(+)(+)x3 = h= ϑ −1 ALI ,+ˆIJKIIˆ =ϵϵg,A=AALI = AIL (+) = ϵIJ ϵLK g+K ,(−)LK −LL3x3 = hx =− hJJ(+)(−)11ϵIJ ϵKL g−K g−L , ϑ −1 = ϑ̂ (+) = ϵIJ ϵKL g+K g+L .ϑ −1 = ϑ̂(−) =322x3 = hx =− hI JI J−Учитывая (6.1.10), из (6.1.9) получаем√r− × r− =12r+ × r+ =12(−)√g (n −(+)g (n −3−g− gJI rJ ),I+3g+ gJI rJ ),I√(6.1.10)√ (−)g = gϑ,(−)√(+)√(+)g = gϑ,(6.1.11)280откуда будем иметь√ √− −(−)I J KL|r− × r− | =g 1 + g−3 g−3 gKgL g ,12√ √+ +(+)I J KL|r+ × r+ | = g 1 + g+3 g+3 gKgL g .1I J2(6.1.12)I JВ силу (6.1.11) и (6.1.12) из (6.1.8) получаем окончательные выражения для(+)n, n:(−)−(−)−−+(+)++I J KL − 2n = −(n−g−3 gJI rJ )(1+g−3 g−3 gKI gLJ g KL )− 2 , n = (n−g+3 gJI rJ )(1+g+3 g+3 gKgL g ) .II J1I1(6.1.13)I JЗаметим, что подобные формулы были получены в [69].6.2Уравнения микрополярной теории оболочекЭти уравнения можно получать разными способами, например из общих постулатов механики или из трехмерных уравнений.

Воспользуемся вторым способоманалогично тому, как это делается в [69] в случае классической теории, с темотличием, что в рассматриваемом случае толщина не постоянна и базовая поверхность не совпадает с срединной (см. также [68]).Как известно [18, 197, 309, 455, 462], трехмерные уравнения движения микрополярного деформируемого твердого тела, отнесенные к актуальной конфигурации, представляются в виде∂ 2u∇ · P + ρF = ρ 2 ,∂te2∂ 2φµ∇· +C⊗ P + ρm = ρJ · 2 ,≃e ∂tee(6.2.1)а уравнения движения отнесенные к отсчетной конфигурации можно записатьв форме2◦◦◦◦∂ u∇ · P + ρF = ρ 2 ,∂te2◦ 2 ◦◦◦◦◦◦ ∂ φ∇·µ +C⊗P+ρm=ρJ·.≃ee ∂t2e(6.2.2)◦Здесь P — тензор√напряжений, µ — тензор моментных напряжений, P =√e◦e◦ ◦e◦ ◦µ — тензоры напряжений и моментных напряжеg/g∇rT · P и µ = g/g∇rT ·µ√e ee◦◦◦◦√ний, отнесенные к отсчетной конфигурации, g = (r1 ×r2 )·r3 ,g = (r1 ×r2 )·r3 ,◦∇ и ∇ — операторы Гамильтона в отсчетной и актуальной конфигурациях соответственно, ρ — плотность тела, F — массовая сила, m — массовый момент, u —вектор перемещений, φ — вектор внутреннего вращения, J — внутренний тензорeСледует заметить, чтоинерции, C—дискриминантныйтензортретьегоранга.≃величины, помеченные сверху кружком, относятся к отсчетной конфигурации.Видно, что уравнения (6.2.1) и (6.2.2) имеют одинаковый вид, поэтому ниже в основном с целью сокращения письма рассмотрим уравнения актуальнойконфигурации (6.2.1), а соотношения, получаемые из (6.2.2), при необходимостивыпишем по аналогии или оговорим способ их получения.

Нетрудно заметить,что векторные уравнения (6.2.1) при рассматриваемой выше параметризацииможно записать следующим образом:1∂ 2 û√ˆ√ ∂I ( g ϑ̂P̂I ) + ∂3 (ϑ̂P̂3 ) + ρ̂ϑ̂F̂ = ρ̂ϑ̂ 2 ,g∂t2φ∂ 2φ̂1√ˆµI ) + ∂3 (ϑ̂µ̂µ3 ) + Ĉ ⊗ ϑ̂P̂ + ρϑ̂m̂ = ϑ̂Ĵ · 2 ,√ ∂I ( g ϑ̂µ̂≃gee ∂t(6.2.3)281где ∂m = ∂/∂xm , а "шапка" над величинами и индексами означает, что онирассмотрены в произвольной точке области тонкого тела (оболочки), т.е.

припроизвольном значении поперечной координаты x3 из ее промежутка изменения.(−)(+)1 2Интегрируя уравнения (6.2.3) от − h (x , x ) до h (x1 , x2 ) и учитывая формулу(+)∫h(+)∫h∂I AK̂ dx3 = ∂I(−)(+) +(−) −(+)(−)AK̂ dx3 − A K ∂I h − A K ∂I h ,(6.2.4)(−)− h− hпосле простых преобразований найдем1√√ ∂I ( gTI ) + X(x1 , x2 , t) = a(x1 , x2 , t),g21√⊗ T∗ + Z(x1 , x2 , t) = c(x1 , x2 , t),√ ∂I ( gNI ) + C≃ge(6.2.5)где введены следующие обозначения:(+)TI =∫h(+)Iˆϑ̂P̂ dx3 ,p(x1 , x2 , t) =(−)∫h(+)ρ̂ϑ̂F̂dx3 ,∫ha(x1 , x2 , t) =(−)− hρ̂ϑ̂(−)− h∂ 2 û 3dx ,∂t2− h+ (+)(+) (+)− (−)(−) (−)X(x1 , x2 , t) = p(x1 , x2 , t) + ϑ ( P 3 − g+3 gJI P J ) − ϑ ( P 3 − g−3 gJI P J ),IIN =∫hI(+)(+)Iˆ3µ dx ,ϑ̂µ̂12f (x , x , t) =∫h(+)1ρ̂ϑ̂m̂dx ,(−)(−)− h− h(6.2.6)∫hφ∂ 2φ̂c(x , x , t) =ϑ̂Ĵ · 2 ,e ∂t(−)32− h(+)T∗ =e∫hϑ̂P̂dx3 ,+(+) (+)(+)I(−)−(−) (−)(−)Z(x1 , x2 , t) = f (x1 , x2 , t) + ϑ ( µ 3 − g+3 gJI µ J ) − ϑ ( µ 3 − g−3 gJI µ J ).I− hУмножая обе части первого уравнения (6.2.3) слева векторно на x3 n и учитывая равенства2x3 n = rIˆ − rI ,rp̂ × ϑ̂P̂p̂ = Ĉ⊗ ϑ̂P̂,≃eпосле несложных преобразований получим)1 (√ˆˆ√ ∂I gn × (ϑ̂P̂I x3 ) + rI × (ϑ̂P̂I )−g∂ 2 û 3−Ĉ⊗ ϑ̂P̂ + n × ∂3 (ϑ̂P̂ x ) + n × (ρ̂ϑ̂F̂x ) = n × (ρ̂ϑ̂ 2 x ).≃∂te23 3(6.2.7)3(−)(+)Далее, интегрируя уравнение (6.2.7) от − h до h , в силу формулы (6.2.4)получим еще одно искомое векторное уравнение21√⊗T∗ + Y(x1 , x2 , t) = b(x1 , x2 , t),√ ∂I ( gMI ) + rI × TI − C≃ge(6.2.8)где введены следующие обозначения:(+)(+)MI = n ×∫h(−)− hIˆ 3ϑ̂P̂ x dx3 ,(+)∫h∂ 2 û 3 3ρ̂ϑ̂ 2 x dx ,b=n×∂t(−)− hq=n×∫hρ̂ϑ̂F̂x3 dx3 ,(−)− h[(+)(+) (+)]+ (+)− (−)(−)(−) (−)121233 IJ33 IJY(x , x , t) = q(x , x , t) + n × h ϑ ( P − g+ gJ P ) − h ϑ ( P − g− gJ P ) .II(6.2.9)282Нетрудно заметить, что уравнения (6.2.5) и (6.2.8) можно записать следующим образом:∇I0 TI + X(x1 , x2 , t) = a(x1 , x2 , t),2∇I0 MI + rI × TI − C⊗ T∗ + Y(x1 , x2 , t) = b(x1 , x2 , t),≃e(6.2.10)2∇I0 NI + C⊗ T∗ + Z(x1 , x2 , t) = c(x1 , x2 , t),≃eгде ∇I0 — поверхностный оператор ковариантного дифференцирования.Уравнения (6.2.10) являются искомыми векторными уравнениями микрополярной теории оболочек.

Характеристики

Список файлов диссертации