Диссертация (786091), страница 52
Текст из файла (страница 52)
также [309, 462, 515] и[293, 298, 299]), можно представить в виде2κ) ≡ Cκ = 0,η̌η (κ⊗ ∇κ≃ee e2κ )E − κ T = 0,Ȟ(γγ , κ ) ≡ C⊗ ∇γγ + I1 (κ≃e e ee e ee(5.1.50)где C– дискриминантный тензор.≃Учитывая (5.1.48) (или (5.1.49)), условия совместности деформации и изгибакручения (5.1.50) символически можно представить следующим образом:η̌η (P, µ ) = 0,e e eȞ(P, µ ) = 0,e e e(5.1.51)которые называются условиями (уравнениями) совместности в напряжениях имоментных напряжениях.
Очевидно, число таких уравнений 18.5.1.4Статическая (квазистатическая) задача в микрополярной МДТТв напряжениях и моментных напряженияхЭта задача заключается в решении уравнений равновесия (5.1.3) и уравненийсовместности (5.1.51) при удовлетворении граничным условиям (5.1.1) и (5.1.4).Следует заметить, что задачи в перемещениях и вращениях представляютсясоотношениями (5.1.3), (5.1.5), (5.1.7), (5.1.1) и (5.1.4) (или (5.1.32), (5.1.1) и248(5.1.4)), а задача в напряжениях и моментных напряжениях – соотношениями(5.1.3), (5.1.51), (5.1.1) и (5.1.4).
Заметим также, что, интегрируя (5.1.46) пообъему V и учитывая (5.1.28), первое равенство (5.1.47), а также формулу∫V22(P ⊗ γ + µ ⊗ κ )dV = A(e) + AΣ1 ,e e e e(i)которая получается из (5.1.17) при учете ρv̇ = 0, J · ω = 0 и обозначенийe(5.1.18) и (5.1.19), будем иметьΠ̌(γγ , κ ) − A(e) = −π̌(P, µ ) + AΣ1 + const.e ee e(i)(5.1.52)Построим теперь для задачи (5.1.3), (5.1.5), (5.1.7), (5.1.1) и (5.1.4) так называемый кастильяниан(i)Ǩ = −π̌(P, µ ) + AΣ1 ,e e(5.1.53)где, конечно, слагаемые в правой части выражаются первой формулой (5.1.47)и (5.1.19) соответственно.5.1.5Вариационный принцип Кастильяно (теорема Кастильяно)Теорема. Из всех статически допустимых систем действительная статическаясистема выделяется тем, что для нее и только для нее кастильяниан (5.1.53)имеет стационарное значение, т.е.µ) = 0,DǨ(P, µ , δP, δµe e e e(5.1.54)или, учитывая определение дифференциала оператора и формулу (5.1.6) будемиметь∫∫2V2µ)dV = n · (δP · u0 + δµµ · φ0 )dΣ.(γγ ⊗ δP + κ ⊗ δµeeeΣeee1(5.1.55)µ можно понимать разность двух статически допустимых систем.Под δP и δµeДоказательство.Необходимость.
Полагаяeρv̇ = 0,ω = 0,J · ω̇ew|Σ1 = u0 ,ψ |Σ1 = φ 0 ,P = δP,eeµµ = δµeeµ — разность двух статически допустимых систем, изи учитывая, что δP и δµee(5.1.10) следует необходимостьтеоремы, т.е. (5.1.54) или (5.1.55).Достаточность. Для того, чтобы показать достаточность теоремы следуетучесть, что кастильяниан обладает условным экстремумом, ибо помимо (5.1.54)должны выполняться еще уравнения равновесия (5.1.3) и граничные условия(5.1.4). В этой связи введем систему функций a(V ) (x), χ (V ) (x), x ∈ V и a(Σ) (y),χ (Σ) (y), y ∈ Σ2 (обобщенные множители Лагранжа) и построим оператор∫2⊗P + ρm) · χ (V ) ]dV +Iˇ ≡ Ǩ − [(∇ · P + ρF) · a(V ) + (∇ · µ + C≃eeVe∫+ [(n · P − P0 ) · a(Σ) + (n · µ − µ 0 ) · χ (Σ) ]dΣ.eΣ2e(5.1.56)Следует заметить, что применяя метод неопределенных множителей Лагранµ можно считать совершенно произвольными, т.е.
не поджа, вариации δP и δµeчиненными условиямe∇ · δP = 0,e2µ+C∇ · δµ⊗ δP = 0,≃een · δP|Σ2 = 0,eµ|Σ2 = 0.n · δµe249Используя определение дифференциала оператора, формулу (5.1.8) и теорему Остроградского-Гаусса, из (5.1.56) получим∫22ˇ , µ , δP, δµµ) = {[γγ − (∇a(V ) − Cκ − ∇χχ(V ) ) ⊗ δµµ}dV −DI(P· χ (V ) )] ⊗ δP + (κ≃e e e eeeV ∫eeµ · (χχ(V ) − φ 0 )]dΣ−− n · [δP · (a(v) − u0 ) + δµΣ1e∫eµ · (χχ(V ) − χ(Σ) )]dΣ = 0.− n · [δP · (a(v) − a(Σ) ) + δµeΣ2eµ будем иметьОтсюда в силу произвольности δP и δµeeχ(V ) ,γ = ∇a(V ) − C· χ (V ) , κ = ∇χ≃eea(V ) |Σ1 = u0 , χ (V ) |Σ1 = φ 0 , a(V ) |Σ2 = a(Σ) ,χ (V ) |Σ2 = χ (Σ) .(5.1.57)Таким образом, в силу последних двух соотношений (5.1.57) существует единственная система функций (множителей Лагранжа) a = a(V ) , χ = χ (V ) , удовлетворяющая кинематическим соотношениям (первые два соотношения (5.1.57)) икинематическим граничным условиям (третье и четвертое соотношение (5.1.57)).Зная γ и κ и интегрируя систему уравнений, состоящую из первых двух соотee (5.1.57),ношенийполучим выражения для a(V ) и χ (V ) .
Однако для интегрирования этой системы необходимо выполнение условий совместности деформациии изгиба-кручения (5.1.50), которые с помощью определяющих соотношений(5.1.49) можно записать в напряжениях и моментных напряжениях (5.1.51).Следовательно, векторы a(V ) и χ (V ) имеют смысл векторов перемещений и вращений соответственно, а третье и четвертое соотношения (5.1.57) определяюткинематические граничные условия.Таким образом, при формулировке вариационного принципа Кастильяно(5.1.53), (5.1.54) требуется выполнение уравнений равновесия (5.1.3), определяющих соотношений (5.1.49) и статических граничных условий (5.1.4), а изусловия стационарности (5.1.54) следуют уравнения совместности в напряжениях и моментных напряжениях (5.1.51) и кинематические граничные условия(5.1.1).5.1.6Обобщенный вариационный принцип типа РейсснераВ данном случае подобно трехмерной классической теории [338] рассмотримоператор:t2Ř(u, φ, γ , κ , P, µ) =[W̌ (γγ , κ ) − P ⊗ (γγ −∇u+C· φ)−≃eeeeVeeees2µκφφ−µ ⊗ (κ − ∇φ ) − ρF · u − ρm · ]dV − [n · P · (u − u0 )+eeΣ1esφ − φ 0 )]dΣ − (P0 · u + µ 0 · φ )dΣ.+n · µ · (φΣ2e(5.1.58)Тогда обобщенный вариационный принцип Рейсснера можно сформулироватьследующим образом: Из всех кинематических, статических систем и систем,250описываемых тензорами γ и κ , действительная система (система действительe eных кинематической и статическойсистем) выделяется тем, что для нее оператор (5.1.58) имеет стационарное значение, т.еφ, δγγ , δκκ , δP, δµµ) = 0.DŘ(u, φ , γ , κ , P, µ , δu, δφe e e ee e e e(5.1.59)В самом деле, пользуясь определением дифференциала оператора [338] и теоремой Остроградского-Гаусса, в силу (5.1.5) будем иметьDŘ =t ∂ W̌2222∂ W̌κ −(γγ −∇u+C ·φφ) ⊗δP − (κµ) ⊗δκκ −∇φφ) ⊗δµµ−[(−P) ⊗δγγ + (−µ≃κ e∂γγ e∂κe eeeVeees2eµ +C ⊗P +ρm)·δφφ]dV − n · [δP · (u − u0 )+−(∇·P +ρF)·δu−(∇·µ≃eeseΣ1eµ · (φφ − φ 0 )]dΣ − (n·P −P0 )·δu + (n·µµ −µµ0 )·δφφ)dΣ = 0.+δµeΣ2ee(5.1.60)φ, δγγ , δκκ , δP, и δµµ, получим уравОтсюда, учитывая произвольность δu, δφeeee определяющиенения равновесия (5.1.3), кинематические соотношения (5.1.5),соотношения (5.1.7) и кинематические (5.1.1) и статические (5.1.4) граничныеусловия.Используя соотношение (5.1.46), легко показать, что (5.1.58) можно представить в видеt22φ − w̌(P, µ ) − ρF·u−ρm·φφ]dV−Ř(u, φ , P, µ ) =· φ ) + µ ⊗∇φ[P ⊗(∇u−C≃e ee eV ee ssφ − φ 0 )]dΣ − (P0 · u + µ 0 · φ )dΣ.− [n·P ·(u − u0 ) + n · µ · (φeΣ1Σ2e(5.1.61)В дальнейшем операторы (5.1.58) и (5.1.61) назовем обобщенными операторами Рейсснера для микрополярной среды.На основании оператора Рейсснера (5.1.61) вариационный принцип можносформулировать следующим образом: Из всех кинематических и статическихсистем, действительная выделяется тем, что для нее оператор (5.1.61) имеетстационарное значение, т.е.φ, δP, δµµ) = 0.DŘ(u, φ , P, µ , δu, δφe ee eВ самом деле, пользуясь определением дифференциала оператора [338] и теоремой Остроградского-Гаусса, из (5.1.61) аналогично (5.1.60) получимt2∂ w̌ 2∂ w̌ 2κ−µ −(∇·P +ρF)·δu−(∇·µµ +C ⊗P +ρm)·δφφ]dV −) ⊗δP +(κDŘ = [(γγ −) ⊗δµ≃µe e ∂µeseees V e ∂P(5.1.62)e − u ) + δµµ · (φφe− φ 0 )]dΣ − (n·P −P0 )·δu + (n·µµ −µµ0 )·δφφ)dΣ = 0.− n · [δP · (u0eeΣ1Σ2eeφ, δP и δµµ, из (5.1.62) получимВидно, что, учитывая произвольность δu, δφeуравнения равновесия (5.1.3), обратные определяющие eсоотношения (5.1.49),кинематические (5.1.1) и статические (5.1.4) граничные условия.Следует заметить, что при соблюдении некоторых условий стационарнаяточка лагранжиана (кастильяниана) является точкой минимума (максимума).С целью доказательства этих предложений выведем аналогичные приведеннымв [338] тождества.
В этой связи докажем следующую теорему.251Теорема 5.1.1. Если дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке 0 ≤ξ ≤ 1 функцияφ2 − φ 1 )] ≡ Π̌[γγ 1 + ξ(γγ 2 − γ 1 ), κ 1 + ξ(κκ 2 − κ 1 )],f (ξ) ≡ Π̌[u1 + ξ(u2 − u1 ), φ 1 + ξ(φeeeeeetгде Π̌ =(5.1.63)W̌ dV — потенциальная энергия деформации и изгиба-кручения,Vна этом отрезке допускает представление1f (1) = f (0) + f ′ (0) + f ′′ (η),20 < η < 1,(5.1.64)то имеет место тождествоt{2P(u1 , φ 1 ) ⊗[γγ (u2 , φ 2 ) − γ (u1 , φ 1 )]+eVee}21 t { ∂Pµ(u1 , φ 1 ) ⊗[κκ (φφ2 ) − κ (φφ1 )] dV ++µe [u1 + η(u2 − u1 ),2 V∂γγeee4eφ2 − φ 1 )] ⊗[γγ (u2 , φ 2 ) − γ (u1 , φ 1 )][γγ (u2 , φ 2 ) − γ (u1 , φ 1 )]+φ 1 + η(φeeeµ )Te[ ∂P( ∂µφ2 −φφ1 )]+ e [u1 + η(u2 −u1 ),+ e [u1 +η(u2 −u1 ), φ 1 +η(φκ∂κ∂γγ]4eeφ2 − φ 1 )] ⊗[γγ (u2 , φ 2 ) − γ (u1 , φ 1 )][κκ (φφ2 ) − κ (φφ1 )]+φ 1 + η(φeeee}µ 4∂µκ (φφ2 ) − κ (φφ1 )][κκ (φφ2 ) − κ (φφ1 )] dV.+ e ⊗[κκ e∂κeeeeΠ̌(u2 , φ 2 ) = Π̌(u1 , φ 1 ) +(5.1.65)φ −φφ1 )] является аргументом тойЗдесь выражение [u1 + η(u2 − u1 ), φ 1 + η(φ( 2)Tµ/∂γγ обозначает транспонировеличины,( рядом)с которой оно написано, ∂µe eµ/∂γγ тензор.ванный с ∂µe eДоказательство.Легко проверить, что на основании (5.1.63) имеем∫22κ (φφ2 ) − κ (φφ1 )]}dV,f ′ (ξ) = {P ⊗ [γγ (u2 , φ 2 ) − γ (u1 , φ 1 )] + µ ⊗ [κeeV eeee[ ∂P ( ∂µ∫ { ∂P 4µ )T ] 4′′γφγφγφγφf (ξ) =⊗e ⊗ [γ (u2 , 2 ) − (u1 , 1 )][γ (u2 , 2 ) − (u1 , 1 )] + e +κ∂γγ∂κ∂γγeVeeee}e4eeµ∂µκ (φφ2 ) − κ (φφ1 )] + e [κκ (φφ2 ) − κ (φφ1 )][κκ (φφ2 ) − κ (φφ1 )] dV⊗[γγ (u2 , φ 2 ) − γ (u1 , φ 1 )][κκ e∂κeeeeeeee(5.1.66)κ , ∂µµ/∂γγ и ∂µµ/∂κκЗаметим, что в формулах (5.1.66) P, µ , ∂P/∂γγ , ∂P/∂κeeeee φ1 )], которыйee сокращенияee eφ2 −φимеют аргумент [u1 + ξ(u2 − u1 ), φ 1 + ξ(φс цельюписьма опущен.
Учитывая (5.1.63) и (5.1.66) при указанных в (5.1.64) значенияхξ, получим ((5.1.65), чем и доказывается теорема.Следствие. Если u1 и φ 1 — действительная кинематическая система, а u2и φ 2 — кинематически допустимая система, то из доказанной теоремы (5.1.65)следует тождествоΠ̌(u2 , φ2 ) = Π̌(u1 , φ1 ) + A(e) (u2 − u1 , φ2 − φ1 )+41 t { ∂Pφ2 − φ 1 )]⊗+e [u1 + η(u2 − u1 ), φ 1 + η(φ2 V∂γγ4e⊗[γγ (u2 , φ 2 ) − γ (u1 , φ 1 )][γγ (u2 , φ 2 ) − γ (u1 , φ 1 )]+[e∂Peee ( ∂µµ )T 4φ2 −φφ1 )]+ e ⊗[u1 + η(u2 −u1 ),+ e [u1 +η(u2 −u1 ), φ 1 +η(φκ∂κ∂γγ]eeφ ) − κ (φφ2 − φ 1 )] [γγ (u2 , φ 2 ) − γ (u1 , φ 1 )][κκ (φφ1 )]+φ 1 + η(φ2eeee}µ 4∂µκ (φφ2 ) − κ (φφ1 )][κκ (φφ2 ) − κ (φφ1 )] dV.+ e ⊗[κκ e∂κeeee(5.1.67)252Теорема 5.1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
