Диссертация (786091), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Очевидно, каждое уравнение каждой из этих систем имеетчетвертый порядок, а каждая из этих систем имеет XII порядок (Различныепредставления общего решения уравнений Ляме можно смотреть, например,в [229, 309, 338]).Видно, что уравнение (6.6.13) по сравнению с уравнениями (6.6.11) и (6.6.12)имеет то преимущество, что граничные условия для уравнения (6.6.13) — граничные условия исходной задачи, в то время как граничные условия для уравнений (6.6.11) и (6.6.12) усложняются в связи с введением дополнительных векторных полей v и w.6.6.1О граничных условиях в линейной теории упругости.
Тензороператор напряженияГраничные условия для линейно-упругого неоднородного анизотропного материала при изотермических процессах можно представить в видеT · u = P,eT = rj rl ni C ijkl ∇k ,e(6.6.14)где P — заданная на границе вектор-функция, а T — тензор-оператор напряe плоской границей послежения. В случае изотропного тела с кусочно-гладкойпростых вычислений получимT = λn∇ + µ[En · ∇ + (n∇)T ],eeT∗ = µ{−(λ + µ)n∇ + 2[(λ + µ)En·∇ − λ(n∇)T ]}n·∇ + λµ[(nn − E)∆ + ∇∇],eee22det T = |T| = µ [2(λ + µ)nn ⊗∇∇ − λ∆]n·∇.ee(6.6.15)Здесь T∗ — тензор-оператор алгебраических дополнений для T, а det T = |T|eeee— определительтензора-оператора T.eПрименяя к (6.6.14) слева тензор-операторTT∗ (см. соответствующую форeмулу (6.6.15)) со следующим однократным умножением,в силу равенства TT∗ ·eT = T · TT∗ = |T|E получимee ee e(6.6.16)|T|u = TT∗ · P.ee309Таким образом, в виде (6.6.16) получили расщепленные граничные условия физического содержания.
Из сказанного выше видно, что как уравнения вперемещениях, так и граничные условия физического содержания теории упругости линейно-упругого однородного тела с кусочно-гладкой плоской границейрасщепляются (ниже, когда речь пойдет о расщеплении граничных условий,всегда будем подразумевать, что рассматриваемое тело имеет кусочно-гладкуюплоскую границу).Следует заметить, что, в случае плоской деформации выведенные выше расщепленные уравнения и граничные условия будут сохранять свой вид при условии, что набла-оператор и лапласиан надо считать двумерными. Заметим также, что, учитывая представления набла-оператора и лапласиана при различныхпараметризациях областей тонких тел, не представляет труда из приведенныхвыше расщепленных уравнений и граничных условий получить соответствующие расщепленные уравнения и граничные условия для тонких тел.
С цельюсокращения письма на получении этих соотношений останавливаться не будем.При необходимости в силу сказанного выше их выписать не представляет труда.Ниже выпишем уравнение лишь для призматических тел постоянной толщины.6.6.2Статическая (квазистатическая) задача классической теорииупругости в перемещенияхВ случае статики или квазистатики на основании (6.6.13) и (6.6.16) будем иметьследующие уравнения и граничные условия:∆2 u + G = 0,6.6.3|T|u = TT∗ · P.ee(6.6.17)Статическая (квазистатическая) задача теории призматических тел постоянной толщины в перемещениях и моментахвектора перемещенийРассмотрим призматическое тело постоянной толщины 2h. В качестве базовойP̂Pплоскости возьмем серединную плоскость.
Тогда в этом случае gM= δM, gP̂3 = 0,g 33 = h−2 и набла-оператор и лапласиан [285, 304, 306] представятся в видеˆ = (rP ∂P + r3 ∂3 )F = (rP ∂P + h−1 n∂3 )F, −1 ≤ x3 ≤ 1∇F¯ = g P Q ∂P ∂Q .¯ + h−2 ∂ 2 )F, ∆∆F = ∇2 F = (g P Q ∂P ∂Q + g 33 ∂32 )F = (∆3(6.6.18)Учитывая представление лапласиана (см. (6.6.18)) уравнение для призматических тел (см. (6.6.17)) можно представить в виде¯ 2 + 2h−2 ∆∂¯ 2 + h−4 ∂ 4 )u + G = 0.(∆33(6.6.19)Применяя теперь к уравнению (6.6.19) оператор моментов k-го порядкакакой-нибудь системы ортогональных полиномов (Лежандра, Чебышева), получим следующие уравнения в моментах вектора перемещений(k)(k)¯ 2 (k)¯ (k)∆u + 2h−2 ∆u ′′ + h−4 u IV + G = 0,k ∈ N0 .(6.6.20)310Следует заметить, что граничные условия физического содержания для системы уравнений (6.6.20) получаются из второго соотношения (6.6.17) послеприменения к нему оператор моментов k-го порядка соответствующей системыполиномов.
В общем случае на граничных условиях останавливаться не будем.Однако, ниже рассмотрим несколько частных случаев. Заметим также, что выведенные выше расщепленные уравнения в случае статической (квазистатической) задачи при отсутствии объемных сил не зависят от свойств материала.Рассмотрим теперь более внимательно систему уравнений в моментах (6.6.20).Из этой системы, меняя k = 1, N и пренебрегая моментами, порядок которыхбольше N , получим систему уравнений приближения порядка N . Придавая Nразличные значения (начиная с нуля) получим системы уравнений различногоприближения для призматических тел постоянной толщины. Из каждой полученной приближенной системы в свою очередь можно получить для входящихв нее моментов вектора перемещений по отдельности уравнения эллиптического типа (высокого порядка).
Используя новые методы решения эллиптическихуравнений (метод Векуа) [62], для каждого уравнения можно выписать аналитическое решение. Выпишем ниже нескольких первых приближений системыуравнений (6.6.20) при применении полиномов Лежандра и Чебышева второгорода.6.6.4Системы уравнений статической задачи теории призматических тел постоянной толщины в моментах вектора перемещений относительно системы полиномов ЛежандраДля получения искомых систем уравнений надо найти аналогичные (2.2.8),(k)(k)IV(2.2.11) при i = j = 3 и (2.2.12) соотношения для u ′′ и u (см. также (2.7.13) и(2.7.21)) при −1 ≤ x3 ≤ 1. Учитывая x3 = 2t − 1, 0 ≤ t ≤ 1, из (2.2.8), (2.2.11)при i = j = 3 и (2.2.12) с помощью простых выкладок получим искомые выра(k)жения для u ′′ в виде(k)∞∑(k+2p)2k + 1 ∫1 2p(2k + 2p + 1) u =∂3 u(x′ , x3 )Pk (x3 )dx3 = (2k + 1)2 −1p=1∞(p+2)2k + 1 ∑=(p − k + 2)(p + k + 3)[1 + (−1)k+p ] u =4 p=k(+)(−)(k)2k + 1={[(∂3 u)+ − (−1)k (∂3 u)− ]Pk (1) − [ u + (−1)k u ]Pk′ (1)} + u ′′ ,2u ′′ =(6.6.21)где (∂3 u)+ = (∂3 u)x3 =1 , (∂3 u)− = (∂3 u)x3 =−1 , а(k)(k−2)(k−4)(k−6)(k−8)u ′′ = (2k + 1)[(2k − 1) u + 2(2k − 3) u + 3(2k − 5) u + 4(2k − 7) u + .
. .].(6.6.22)311(k)IVАналогично (6.6.21) и (6.6.22) для u(k)IVu=(k)IVиuбудем иметь(k+4)2k + 1 ∫1 4∂3 u(x′ , x3 )Pk (x3 )dx3 = (2k + 1)[(2k + 7)(2k + 5)(2k + 3) u +2 −1(k+6)(k+8)+4(2k + 9)(2k + 7)(2k + 5) u + 10(2k + 11)(2k + 9)(2k + 7) u +(k+10)(k+12)+20(2k + 13)(2k + 11)(2k + 9) u + 35(2k + 15)(2k + 13)(2k + 11) u + . . .] =∞∑(k+2s+2)3= (2k + 1)Cs+2(2k + 2s + 1)(2k + 2s + 3)(2k + 2s + 5) u =(6.6.23)s=12k + 1={[(∂33 u)+ − (−1)k (∂33 u)− ]Pk (1) − [(∂32 u)+ − (−1)k−1 (∂32 u)− ]Pk′ (1)+2(−)(k)(+)+[(∂3 u)+ − (−1)k−2 (∂3 u)− ]Pk′′ (1) − [ u + (−1)k u ]Pk′′′ (1)} + u IV ,(k)IV3где Cs+2— биномиальные коэффициенты, а u(k)IVu=имеет выражение(k−4)2k + 1 ∫1u(x′ , x3 )PkIV (x3 )dx3 = (2k + 1)[(2k − 1)(2k − 3)(2k − 5) u +2 −1(k−6)(k−8)+4(2k − 3)(2k − 5)(2k − 7) u + 10(2k − 5)(2k − 7)(2k − 9) u +(k−10)(6.6.24)(k−12)+20(2k − 7)(2k − 9)(2k − 11) u + 35(2k − 9)(2k − 11)(2k − 13) u + .
. .].Из (6.6.21) и (6.6.23) видно, что u ′′ и u представляются в виде бесконечнойсуммы моментов вектора перемещений или конечной суммы моментов вектораперемещений и суммы значений вектора перемещений и их частных производных по координате x3 на лицевых поверхностях, т.е. при x3 = −1 и x3 = 1.Поэтому, учитывая (6.6.21) и (6.6.23), из (6.6.20) получим различные представления системы уравнений призматических тонких тел постоянной толщины вмоментах вектора перемещений относительно системы полиномов Лежандра.В частности, система уравнений (6.6.20) представляются с помощью кинематических граничных условий на лицевых поверхностях. Следовательно, системауравнений (6.6.20) можно представить и с учетом статических граничных условий на лицевых поверхностях.
В самом деле, нетрудно показать, что, исходя иззакона Гука или из граничных условий (6.6.14) для изотропной среды, получим(k)(∂3 uJ )± =±1 (±)(±)PJ − ∂J u 3 ,µ(k)IV(∂3 u3 )± =(±)(±)1(± P 3 − λ∂K u K ),λ + 2µа отсюда в свою очередь будем иметь(−)1 (+)(+)(−)[ PJ ± (−1)k+1 PJ ] − ∂J [ u 3 ± (−1)k u 3 ],µ(+)(−)1λ(+)(−)(∂3 u3 )+ ± (−1)k (∂3 u3 )− =[ P3 ± (−1)k+1 P3 ] −∂K [ u K ± (−1)k u K ],λ + 2µλ + 2µ(∂3 uJ )+ ± (−1)k (∂3 uJ )− =(+)(+)(−)(−)(+)(6.6.25)(−)где Pk и Pk — компоненты заданных напряжений P и P, а uk и uk — компо(+)(−)(+)ненты заданных векторов перемещений u и u на лицевых поверхностях S и(−)S соответственно.Учитывая (6.6.25) в (6.6.21) и (6.6.23), а выведенные соотношения в (6.6.20),получим искомую систему уравнений с учетом статических и кинематическихграничных условий, а также значений частных производных второго и третьегопорядков вектора перемещений по координате x3 на лицевых поверхностях.
С312целью сокращения письма ее выписывать не будем. Однако, отметим, что значения входящих в (6.6.21) и (6.6.23) выражений из частных производных вектораперемещений по координате x3 при x3 = −1 и x3 = 1 можно представить черезмоменты вектора перемещений в виде(∂3s u)+ ±(−1)k (∂3s u)− =∞∑(n)(s)[1±(−1)k+n−s ] u Pn (1), s=0,1,2,3,k ∈ N0(6.6.26)n=sи при составлении системы уравнений приближения порядка N соотношения(6.6.26) заменяем на приближенные равенства(∂3s u)+ ±(−1)k (∂3s u)− ≈N∑(n)(s)[1±(−1)k+n−s ] u Pn (1),s = 0, 1, 2, 3,k = 0, N .(6.6.27)n=sПри этом если хотим, что в уравнениях были отражены граничные условияна лицевых поверхностях, то следует одновременно соответствующим образомиспользовать соотношения (6.6.25) и (6.6.27). В частности, сели на лицевыхповерхностях заданы статические граничные условия, то надо использовать(6.6.25) и (6.6.27) при s = 0, 2, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
