Диссертация (786091), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Поэтому искомая система уравнений будет иметь аналогичный (6.6.29)вид(k)(k)¯ 2 (k)¯ (k)∆u + 2h−2 ∆u ′′(N ) + h−4 u IV(N ) + G = 0,k = 0, N ,(6.6.43)317где теперь моменты рассматриваются относительно ортонормированной систе(k)(k)IVмы полиномов Чебышева второго рода, а u ′′(N ) и u (N ) в силу (2.7.13) и (2.7.21)представятся в форме(k)u ′′(N ) = 2(k + 1)(k)IVN∑(p+2)(p − k + 2)(k + p + 4)[1 + (−1)k+p ] u (x′ ),2 ≤ k ≤ N − 2;p=ku (N ) = 24 (k + 1)N∑(s+4)b[ s−k+2 ] (k + s + 4)(k + s + 6)(k + s + 8)[1 + (−1)k+s ] u ,s=k4 ≤ k ≤ N − 4,(6.6.44)23bn = Cn+2=1n(n + 1)(n + 2),3!n ∈ N.Далее на основании (6.6.43) и (6.6.44) нетрудно выписать системы уравненийнескольких первых приближений.
С целью сокращения письма выпишем толькосистему уравнений пятого приближения.Система уравнений приближения порядка N = 5. В этом случае k =0, 1, 2, 3, 4, 5 и из (6.6.43) с учетом (6.6.44), пренебрегая моментами выше пятого порядка, будем иметь(0)(2)(4)(4)¯ 2 (0)¯∆u + 2h−2 ∆(32u + 96 u) + 6144h−4 u + G = 0,(1)(3)(5)(5)¯ 2 (1)¯∆u + 2h−2 ∆(96u + 256 u) + 30720h−4 u + G = 0,(2)¯ 2 (2)¯ (4)∆u + 384h−2 ∆u + G = 0,(4)¯ 2 (4)∆u + G = 0,(3)(6.6.45)¯ 2 (3)¯ (5)∆u + 640h−2 ∆u + G = 0,(5)¯ 2 (5)∆u + G = 0.Вектор перемещений имеет выражение(0)(1)(2)(3)(4)(5)u ≈ u + u Û ∗1 (x3 ) + u Û ∗2 (x3 ) + u Û ∗3 (x3 ) + u Û ∗4 (x3 ) + u Û ∗5 (x3 ).Следует заметить, что из (6.6.45) легко получить систему уравнений меньшего порядка приближения.
В самом деле, чтобы получить систему уравненийчетвертого порядка приближения, достаточно из (6.6.45) вычеркнуть последнееуравнение и слагаемые, содержащие моменты пятого порядка вектора перемещений. Аналогично получается система уравнений третьего порядка приближения из системы уравнений четвертого порядка приближения и т.д. Вообщеговоря, если для любого N ≥ 1 из системы уравнений приближения порядкаN вычеркнуть последнее уравнение и слагаемые, содержащие моменты N -гопорядка вектора перемещений, то получим систему уравнений приближенияпорядка N − 1.
Это правило остается в силе при применений любой системыполиномов.Далее отметим, что аналогично (6.6.35) система уравнений (6.6.45) расщепляется на две системы и для каждой из них можно выписать аналитическоерешение.3186.7Задача микрополярной теории упругости в перемещениях и вращениях6.7.1Уравнения движения в векторах перемещений и вращений втрехмерной микрополярной теории упругостиУчитывая ОС линейно-упругого неоднородного анизотропного материала с центром симметрии [197, 309], которые можно записать в виде (см. (3.2.1))2P = C ⊗γγ ,ee e2κµ = D ⊗κe e e(γγ = ∇u − C· φ,≃eφ),κ = ∇φeиз уравнений движения в тензорах напряжений и моментных напряжений(3.1.25) после простых преобразований получимA(1) · u + A(2) · φ + ρF = 0,eeA(3) · u + A(4) · φ + ρm = 0,ee(6.7.1)где для введенных дифференциальных тензоров-операторов A(k) , k = 1, 2, 3, 4,eимеем следующие выражения:A(1) = rj rl (C ijkl ∇i ∇k + ∇i C ijkl ∇k ) − Eρ∂t2 , A(2) = −rj rm Cmkl (C klij ∇i + ∇i C klij ),eee22(3)(4)mklijijklA = r rj Cmkl C ∇i , A = rj rl (D ∇i ∇k + ∇i Dijkl ∇k ) − C⊗C⊗C− J∂t2 .≃≃eeeeЕсли введем в рассмотрение матричный дифференциальный тензор-оператори векторы-столбцы(M=fA(1) A(2)e (3) Ae (4)Aee)(,U=uφ)(,X=ρFρm),(6.7.2)то уравнения (6.7.1) можно коротко представить следующим образом:M · U + X = 0.f(6.7.3)В случае однородного изотропного материала уравнения движения векторахперемещений и вращения имеют вид [197, 309, 462]φ + ρF = ρ∂t2 u,(µ + α)∆u + (λ + µ − α)graddivu + 2α rotφφ + (γ + δ − β)graddivφφ + 2α rotu − 4α φ + ρm = J · ∂t2φ ,(δ + β)∆φe(6.7.4)а дифференциальные тензоры-операторы A(k) , k = 1, 2, 3, 4, представляются вeформеA ≡ A(1) = E[(µ + α)∆ − ρ∂t2 ] + (λ + µ − α)∇∇ = bE22 + d∇∇ = EQ2 + d∇∇,eeeeeB ≡ A(2) = A(3) = −2αC·∇,≃eeeC ≡ A(4) = E[(δ + β)∆ − 4α] − J∂t2 + (γ + δ − β)∇∇ =eeee= gE24 + m∇∇ = EQ4 + m∇∇, при J = JE,eeeed = λ + µ − α,(b = µ + α, g = δ + β), m = γ + δ − β,l JρQ2 = b22 = b∆−ρ∂t2 , 22 = ∆− ∂t2 , Q4 = g24 = g∆−l−J∂t2 , 24 = ∆− − ∂t2 .bg g(6.7.5)l = 4α,(6.7.6)319Заметим, что кроме операторов, указанных в (6.7.6), вводятся в рассмотрениеоператорыQ1 = Q2 + d∆ = (b + d)∆ − ρ∂t2 = (b + d)21 ,Q3 = Q4 + m∆ = (g + m)∆ − l − J∂t2 = (g + m)23 ,lJρ 2∂t , 23 = ∆ −−∂ 2.21 = ∆ −b+dg+m g+m t(6.7.7)Нетрудно видеть, что в случае однородного изотропного материала системауравнений (6.7.1) представится в видеA · u + B · φ + ρF = 0,eeA = EQ2 + d∇∇,eeB · u + C · φ + ρm = 0,eeB = −2αC· ∇,≃e(6.7.8)C = EQ4 + m∇∇.eeЛегко доказать, что операторы A, B, C попарно коммутируют относительнооперации однократного умножения,eт.е.e Ae·B = B·A, A·C = C·A, B·C = C·B.e e e eотносительноe e e eвекторовe eИсходя из (6.7.8), получим уравненияe вeотдельностиu и φ .
В этой связи применим к первому уравнению (6.7.8) оператор B соe. Вследующим однократным умножением, а второму уравнению оператор Aeрезультате находим(B · A) · u + (B · B) · φ + B · (ρF) = 0,e ee ee(A · B) · u + (A · C) · φ + A · (ρm) = 0.e ee ee(6.7.9)Учитывая коммутативность операторов A и B относительно однократногоe получимумножения и из второго уравнения вычитаяeпервое,(A · C − B2 ) · φ + A · (ρm) − B · (ρF) = 0.e e eee(6.7.10)Применим теперь к первому уравнению (6.7.8) оператор C со следующимоднократным умножением, а второму уравнению оператор B. eОчевидно, будемeиметь(C · A) · u + (C · B) · φ + C · (ρF) = 0,e ee ee(B · B) · u + (B · C) · φ + B · (ρm) = 0.e ee ee(6.7.11)Учитывая коммутативность операторов A и C, а также B и C относительeee второе,eно однократного умножения и из первого уравнениявычитаяполучимуравнение(A · C − B2 ) · u + C · (ρF) − B · (ρm) = 0.e e eee(6.7.12)Вводя обозначения D = A · C − B2 , уравнения (6.7.10) и (6.7.12), можноee eeзаписать в видеD · u + C · (ρF) − B · (ρm) = 0,eeeD · φ + A · (ρm) − B · (ρF) = 0.eee(6.7.13)Далее после простых вычислений найдемA · C = EQ2 Q4 + (mQ1 + dQ4 )∇∇, B2 = −4α2 (E∆ − ∇∇),e eeeeD = E(Q2 Q4 + 4α2 ∆) + (mQ1 + dQ4 − 4α2 )∇∇,eeD∗ = (Q2 Q4 + 4α2 ∆)[EQ1 Q3 − (mQ1 + dQ4 − 4α2 )∇∇],ee|D| = Q1 Q3 (Q2 Q4 + 4α2 ∆)2 , D · D∗ = D∗ · D = E|D| (DT∗ = D∗ ),ee ee ee e ee(6.7.14)320где D∗ — дифференциальный тензор-оператор алгебраических дополнений опеe D.ратораe в рассмотрение дифференциальный тензор-операторВведемN = EQ1 Q3 − (mQ1 + dQ4 − 4α2 )∇∇.ee(6.7.15)Тогда в силу (6.7.14) и (6.7.15) имеемD∗ = (Q2 Q4 + 4α2 ∆)N, D · N = N · D = EQ1 Q3 (Q2 Q4 + 4α2 ∆),eee ee eeN · B = −B · N = −2αQ1 Q3 C· ∇,≃e ee eN · C = C · N = Q3 [EQ1 Q4 − (dQ4 − 4α2 )∇∇],e ee eeN · A = A · N = Q1 [EQ2 Q3 − (mQ2 − 4α2 )∇∇].e ee ee(6.7.16)Если решения уравнения (6.7.13) будем искать в виде (аналог представленияГалеркина)u = N · v,eφ = N · ψ,e(6.7.17)то, учитывая соответствующие соотношения (6.7.14) и (6.7.16), в силу (6.7.15)из уравнений (6.7.13) получим относительно v и ψ по отдельности следующиеуравнения:Q1 Q3 (Q2 Q4 + 4α2 ∆)v + (EQ4 + m∇∇) · (ρF) + 2α(C· ∇) · (ρm) = 0,≃eφ + (EQ2 + d∇∇) · (ρm) + 2α(CQ1 Q3 (Q2 Q4 + 4α2 ∆)φ· ∇) · (ρF) = 0.≃e(6.7.18)Применяя теперь тензор-оператор N к уравнениям (6.7.13) со следующимeскалярным умножением и учитывая (6.7.16)будем иметь уравненияQ3 {Q1 [(Q2 Q4 + 4α2 ∆)u + 2α(C· ∇) · (ρm)]+≃+[EQ1 Q4 − (dQ4 − 4α2 )∇∇] · (ρF)} = 0,eφ + 2α(CQ1 {Q3 [(Q2 Q4 + 4α2 ∆)φ· ∇) · (ρF)]+≃(6.7.19)+[EQ2 Q3 − (mQ2 − 4α2 )∇∇] · (ρm)} = 0.eРассмотрим теперь уравнения микрополярной однородной изотропной среды в виде (6.7.3).
Обозначая через(M∗ =fÂeB̂(2)eB̂(1)eĈe)(6.7.20)матричный дифференциальный тензор-оператор алгебраических дополненийдифференциального оператора M уравнения (6.7.3), после простых, хотя оченьfгромоздких вычислений получим = Q3 (Q2 Q4 + 4α2 ∆)[EQ1 Q4 − (dQ4 − 4α2 )∇∇] (ÂT = Â),eeeeTB̂ = B̂(1) = B̂(2) = −2αQ1 Q3 (Q2 Q4 + 4α2 ∆)CB̂=−B̂),·∇)(≃eeeeeĈ = Q1 (Q2 Q4 + 4α2 ∆)[EQ2 Q3 − (mQ2 − 4α2 )∇∇] (ĈT = Ĉ).eeee(6.7.21)Заметим, что выражения для алгебраических дополнений элементов определителя дифференциального матричного оператора однородного уравненияустановившихся колебаний микрополярной теории упругости приведены в [197],321которые получаются из выражений для компонент дифференциальных тензоровоператоров (6.7.21), если в них вторую производную по времени (∂t2 ) заменитьна квадрат частоты колебаний (σ 2 ).Введем в рассмотрение матричные дифференциальные тензоры-операторы((1)Ne=ReS(1)eS(2)eTe)(,(2)Ne=ReS(2)eS(1)eTe)(6.7.22),R = EQ1 Q4 −(dQ4 −4α2 )∇∇, S(1) = Q3 B, S(2) = Q1 B,eeeeeeB = −2αC·∇, T = EQ2 Q3 −(mQ2 −4α2 )∇∇.≃eeeТогда, очевидно,(N(1)T =eR −S(1)ee−S(2)Tee)(,N(2)T =eR −S(2)ee−S(1)Tee).(6.7.23)Если решение уравнения (6.7.3) будем искать в виде (аналог представленияГалеркина)( )()U = N(1)T · V,eU=uφ,V=vψ,(6.7.24)то получим следующие уравнения:Q1 (Q2 Q4 + 4α2 ∆)v + ρF = 0,ψ + ρm = 0.Q3 (Q2 Q4 + 4α2 ∆)ψ(6.7.25)Если к уравнению (6.7.3) слева применить оператор N(2)T с последующимeоднократным умножением, то будем иметь уравненияQ1 [(Q2 Q4 + 4α2 ∆)u + 2α(C·∇)·(ρm)] + [EQ1 Q4 −(dQ4 −4α2 )∇∇]·(ρF) = 0,≃eφ + 2α(CQ3 [(Q2 Q4 + 4α2 ∆)φ·∇)·(ρF)] + [EQ2 Q3 −(mQ2 −4α2 )∇∇]·(ρm) = 0.≃e(6.7.26)Нетрудно видеть, что при α = 0, т.е.
для редуцированной среды из первогоуравнения (6.7.26) следует классическое уравнение (6.6.13), а второе уравнение имеет аналогичный ему вид. Кроме того, очевидно, верность соотношений(6.7.26) влечет за собой верность (6.7.19).Отметим, что аналогичные (6.7.25) уравнения были получены Н.Сандру вработе [515]. Подобные же уравнения иным путем, как пишет сам В.Новацкий,были получены и В.Новацким [309]. Хотя, в конечном счете представлениявекторов перемещений и вращения у Н.Сандру и В.Новацкого одинаковы и онисводятся к (6.7.24). Заслуживает большого внимания работа [24], в которойосуществлено расщепление системы уравнений равновесия для не имеющегоцентра симметрии изотропного упругого тела без учета массовых нагрузок надве независимые системы уравнений.Следует отметить, что уравнения (6.7.26) имеют преимущество по сравнению с уравнениями (6.7.25), так как для уравнений (6.7.26) граничными условиями являются граничные условия исходной краевой задачи, в то время какдля уравнений (6.7.25) граничные условия имеют более сложные выраженияотносительно введенных векторных полей v и ψ .3226.7.2Уравнения движения в векторах перемещений и вращениятрехмерной микрополярной теории не обладающих центромсимметрии упругих телУчитывая ОС для линейно-упругого неоднородного анизотропного не обладающего центром симметрии материала при неизотермических процессах22κ − dϑ),P = C ⊗(γγ − aϑ) + A ⊗(κee e ee e eφ,γ = ∇u − C· φ , κ = ∇φ≃ee22κ − dϑ),µ = B ⊗(γγ − aϑ) + D ⊗(κe e ee e e eиз уравнений движения в тензорах напряжений и моментных напряжений(3.1.25) в случае однородного изотропного материала получимA · u + B · φ − b∗ ∇ϑ + ρF = 0,eeB · u + C · φ − β∗ ∇ϑ + ρm = 0,eeϑ = T − T0 ,(6.7.27)где введены в рассмотрение следующие дифференциальные тензоры-операторы:A = EQ2 + d∇∇,eeB = ER2 + n∇∇ − 2αC· ∇, C = EQ4 + m∇∇ − 4pC· ∇.≃≃eeee(6.7.28)Следует заметить, что, вообще говоря, в общем случае в научной литературе(Еринген, Миндлин, Новацкий, Купрадзе, Пальмов, Аэро и др.) для материалов, не обладающих центром симметрии, B = AT и A ̸= AT .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
