Диссертация (786091), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Следовательно, в силу (6.7.95) – (6.7.98)из (6.7.94) найдем расщепленную систему уравнений для теории редуцированных однородных изотропных призматических тонких тел с двумя малыми размерами постоянных толщин, имеющих поперечные сечения в виде прямоугольника, в моментах векторов перемещений и вращений относительно системы полиномов Лежандра. При этом уравнения, получаемые из первого уравнения(6.7.94) будут уравнениями для теории классических однородных изотропныхпризматических тонких тел с двумя малыми размерами постоянных толщин,имеющих поперечные сечения в виде прямоугольника, в моментах векторов перемещений и вращений относительно системы полиномов Лежандра.Следует заметить, что (6.7.95) – (6.7.97), (6.7.100) и (6.7.102) представленыкак без учета (первые равенства в них), так и с учетом (вторые равенства вних) значений функции F и их производных при x1 = ±1 и x2 = ±1.
Следовательно, на основании упомянутых в предыдущем предложении соотношений337без учета значений функции F и их производных при x1 = ±1 и x2 = ±1получим искомые уравнения в моментах без учета граничных условий на лицевых поверхностях, а в силу соотношений с их учетом можно вывести искомыеуравнения в моментах с учетом граничных условий на лицевых поверхностях.
Сцелью получения систем уравнений в моментах векторов перемещений и вращений относительно системы полиномов Лежандра с учетом граничных условийфизического содержания на лицевых поверхностях ниже выведем некоторыенеобходимые соотношения.6.7.8О граничных условиях физического содержания в теории призматических тонких тел с двумя малыми размерамиНетрудно заметить, что граничные условия физического содержания на лицевых поверхностях в классической теории призматических тонких тел с двумямалыми размерами [305, 306] можно представить в виде(±)((±,) 2 3)P 1j (x , x ) = ± P (1)j (x2 , x3 ) ,(±)(,±)(±)((,±))P2 (x1 , x3 ) = ± P(2) (x1 , x3 ) P 2j (x1 , x3 ) = ± P (2)j (x1 , x3 ) ,(±,)(±)P1 (x2 , x3 ) = ± P(1) (x2 , x3 )(6.7.104)а на торцах можно записать следующим образом:n(α) · P(α) = n(α) · Px3 =x3 = Q(α) (x1 , x2 ),(α)eeα = 1, 2,(6.7.105)где n1 (n2 ) — единичный вектор внешней нормали к левому (правому) торцу,Q(1) (x1 , x2 ) (Q(2) (x1 , x(2 )) — заданноенапряжение, действующее на левый (пра)33вый) торец, (0, 0, x1 ) (0, 0, x1 ) — точка пересечения левого (правого) торца с(+)(−)(+)(−)базовой прямой, а P(1) (x2 , x3 ) и P(1) (x2 , x3 ) ( P(2) (x1 , x3 ) и P(2) (x1 , x3 )) — задан(+)(−)(+)(−)ные напряжения на цицевых поверхностях S 1 и S 1 ( S 2 и S 2 ) соответственно.Учитывая n1 = (0, 0, −1) и n2 = (0, 0, 1), граничные условия на торцах(6.7.105) можно записать в форме()P(1)3 (x1 , x2 ) = −Q(1) (x1 , x2 ) P(1)3j (x1 , x2 ) = −Q(1)j (x1 , x2 ) ,()P(2)3 (x1 , x2 ) = Q(2) (x1 , x2 ) P(2)3j (x1 , x2 ) = Q(2)j (x1 , x2 ) .(6.7.106)Нетрудно заметить, что в силу симметричности тензора напряжений и граничных условий (6.7.104) в классической теории на граничных линиях (ребрах)лицевых поверхностей должны выполняться условия(±)(±)+33P+(1)2 (x ) = P (2)1 (x ),(±)(±)−33P−(1)2 (x ) = P (2)1 (x ),(6.7.107)а на торцевых ребрах на основании (6.7.106) следующие условия:(±,)(±)± P (1)3 (x2 , x3 )x3 =x3 = Q (1)1 (x2 ),1(±,)(±)± P (1)3 (x2 , x3 )x3 =x3 = Q (2)1 (x2 ),2(,±)(±)± P (2)3 (x1 , x3 )x3 =x3 = Q (1)2 (x1 ),1(,±)(±)± P (2)3 (x1 , x3 )x3 =x3 = Q (2)2 (x1 ).2(6.7.108)338Таким образом, с помощью классической теории упругости для тонких тел сдвумя малыми размерами и поперечным сечением в виде прямоугольника можно рассматривать те задачи, для которых внешние нагрузки, действующие натонкое тело, удовлетворяют условиям (6.7.107) и (6.7.108).
Другими словами,классическая теория упругости не способна рассматривать задачи для тонкихтел с двумя малыми размерами и поперечным сечением в виде прямоугольникапри произвольных внешних касательных напряжениях на лицевых поверхностях и торцах (нормальные напряжения могут быть произвольными).Легко видеть, что условия, которые имеют место в угловых торцевых точкахAα (1, 1, x3α ), Bα (1, −1, x3α ), Cα (−1, −1, x3α ) и Dα (−1, 1, x3α ), α = 1, 2 (точки приα = 1 — угловые точки левого торца, а при α = 2 — угловые точки правоготорца), выводятся из (6.7.107) и (6.7.108) при x3 = x3α , α = 1, 2 и определенныхзначениях x1 и x2 (см.
указанные выше в круглых скобках координаты этихточек). С целью сокращения письма выписывать их не будем.Далее на основании закона Гука для изотропного однородного материала играничных условий (6.7.104) после простых выкладок получим[ ±1 (±)( ±1 (±)))]( ±1 (±)λ(±,)(±,)(±,)(±,)P (1)1 −(∂2 u 2 +∂3 u 3 ) e1 +P (1)2 −∂2 u 1 e2 +P (1)3 −∂3 u 1 e3 ,λ+2µλ+2µµµ( ±1 (±))[ ±1 (±))( ±1 (±)(,±)λ(,±)(,±)(,±)(,±)P (2)1 − ∂1 u 2 e1 +P (2)2 −(∂1 u 1 +∂3 u 3 )]e2 +P (2)3 −∂3 u 2 e3 .∂2 u =µλ+2µλ+2µµ(±,)∂1 u =Следует заметить, что на основании последних соотношений можно найти выражения для входящих в (6.7.95), (6.7.96), (6.7.97), (6.7.100) и (6.7.102)слагаемых, содержащих значения искомых функций на лицевых поверхностяхтонкого тела, с помощью граничные условия на лицевых поверхностях и моменты искомых функций.
В таком случае первое уравнение (6.7.94) (уравнениеклассической теории) можно записать с учетом граничных условий на лицевыхповерхностях. Заметим также, что аналогично изложенной выше классическойтеории можно рассматривать микрополярную теорию, на которой с целью сокращения письма останавливаться не будем. Отметим только, что в отличие отклассической теории в микрополярной теории упругости на внешнюю нагрузкудополнительные условия не накладываются.6.8Постановки первых краевых задач пятых приближений для классической и микрополярной упругих тонких прямоугольных областейПостановки этих задач можно получить разными путями из рассмотренных выше постановок первых краевых задач для различных тонких тел.
Однако, проще всего их получить из соответствующих постановок первых краевых задачдля упругих плоских тонких областей, тонких тел с двумя малыми размерами,тонких тел с одним малым размером при произвольной базовой поверхности(см. соответствующие постановки), а также, вообще говоря, из постановки плоской задачи [161] (см. также [162–165]).
Ниже выпишем постановки этих краевых339задач в том случае, когда рассматривается упругая тонкая прямоугольная область с одним малым размером ширины 2h и длины L (рис. 6.1). Линии x1 = hи x1 = −h будем называть лицевыми, а x2 = 0 и x2 = L торцевыми линиями.Рис. 6.1: Прямоугольная область6.8.1Постановка первой краевой задачи пятого приближения дляклассической упругой тонкой прямоугольной областиПостановка этой краевой задачи включает в себя: уравнения равновесия в моментах вектора перемещений относительно системы полиномов Лежандра пятого приближения для классической среды(0)µ (1) µ (3) µ (5)1µ∂22 u1 + ∂2 u2 + ∂2 u2 + ∂2 u2 + (p1 − q1 ) = 0,hhh2h(1)(0)(2)(4)(1)(3)(5)3λ3µ3µ33µ∂22 u1 − ∂2 u2 + ∂2 u2 + ∂2 u2 − 2 (λ + 2µ)( u1 + u1 + u1 ) + (p1 + q1 ) = 0,hhhh2h(2)(4)(1)(3)(5)(2)5λ55µ5µ15µ∂22 u1 − ∂2 u2 + ∂2 u2 + ∂2 u2 − 2 (λ + 2µ)( u1 + u1 ) + (p1 − q1 ) = 0,hhhh2h(3)(0)(2)(4)(1)(3)(5)7λ7λ7µ77µ∂22 u1 − ∂2 u2 − ∂2 u2 + ∂2 u2 − 2 (λ + 2µ)( u1 +6 u1 +6 u1 ) + (p1 + q1 ) = 0,hhhh2h(4)µ∂22 u1 −(2)(4)9λ (1) 9λ (3) 9µ (5)99∂2 u2 − ∂2 u2 + ∂2 u2 − 2 (λ + 2µ)(3 u1 +10 u1 ) + (p1 − q1 ) = 0,hhhh2h11λ (0) 11λ (2) 11λ (4)∂ u −∂ u −∂ u −h 2 2h 2 2h 2 2(1)(3)(5)1111− 2 (λ + 2µ)( u1 +6 u1 +15 u1 ) + (p1 + q1 ) = 0, (6.8.1)h2h(0)(1)(3)(5)λλλ1(λ + 2µ)∂22 u2 + ∂2 u1 + ∂2 u1 + ∂2 u1 + (p2 − q2 ) = 0,hhh2h(1)(0)(2)(4)3µ3λ3λ3µ (1) (3) (5)3(λ + 2µ)∂22 u2 − ∂2 u1 + ∂2 u1 + ∂2 u1 − 2 ( u2 + u2 + u2 ) + (p2 + q2 ) = 0,hhhh2h(2)(1)(3)(5)(2)(4)5µ5λ5λ15µ5(λ + 2µ)∂22 u2 − ∂2 u1 + ∂2 u1 + ∂2 u1 − 2 ( u2 + u2 ) + (p2 − q2 ) = 0,hhhh2h(3)(0)(2)(4)(1)(3)(5)7µ7µ7λ7µ7(λ + 2µ)∂22 u2 − ∂2 u1 − ∂2 u1 + ∂2 u1 − 2 ( u2 +6 u2 +6 u2 ) + (p2 + q2 ) = 0,hhhh2h(1)(3)(5)(2)(4)(4)9µ9λ9µ99µ(λ + 2µ)∂22 u2 − ∂2 u1 − ∂2 u1 + ∂2 u1 − 2 (3 u2 +10 u2 ) + (p2 − q2 ) = 0,hhhh2h(5)(0)(2)(4)(1)(3)(5)11µ11µ11µ11µ11∂2 u1 −∂2 u1 −∂2 u1 − 2 ( u2 +6 u2 +15 u2 ) + (p2 + q2 ) = 0(λ + 2µ)∂22 u2 −hhhh2h(5)µ∂22 u1 −и кинематические граничные условия на торцах пятого приближения(k)(k)u I | x2 =0 = f I ,(k)(k)u I | x2 =L = g I ,I = 1, 2,k = 0, 5.(6.8.2)340(k)Здесь u I , k = 0, 5, — моменты компонент вектора перемещений, pI и qI —компоненты заданных нагрузок на x1 = h и x1 = −h лицевых линиях соответ(k)(k)ственно, а f I и g I , k = 0, 5 — моменты компонент заданных на торцах x2 = 0и x2 = L векторов перемещений соответственно.6.8.2Постановка первой краевой задачи пятого приближения длямикрополярной упругой тонкой прямоугольной областиПостановка этой краевой задачи включает в себя: уравнения равновесия в моментах векторов перемещений и вращений относительно системы полиномовЛежандра пятого приближения для микрополярной упругой среды(0)(µ + α)∂22 u1 +(0)(µ − α) (1) (µ − α) (3) (µ − α) (5)1∂2 u2 +∂2 u2 +∂2 u2 +2α∂2 φ + (p1 − q1 ) = 0,hhh2h(1)(µ + α)∂22 u1 +(1)3(µ − α) (2) 3(µ − α) (4) 3λ (0)∂2 u2 +∂2 u2 − ∂2 u2 +2α∂2 φ −hhh(1)(3)(5)33− 2 (λ + 2µ)( u1 + u1 + u1 ) + (p1 + q1 ) = 0,h2h(2)5(µ − α) (3) 5(µ − α) (5) 5λ (1)∂2 u2 +∂2 u2 − ∂2 u2 +2α∂2 φ −hhh(2)(4)155− 2 (λ + 2µ)( u1 + u1 ) + (p1 − q1 ) = 0,h2h(3)(3)7(µ − α) (4) 7λ (2) 7λ (0)(µ + α)∂22 u1 +∂2 u2 − ∂2 u2 − ∂2 u2 +2α∂2 φ −hhh(1)(3)(5)77− 2 (λ + 2µ)( u1 +6 u1 +6 u1 ) + (p1 + q1 ) = 0,h2h(4)(4)9(µ − α) (5) 9λ (1) 9λ (3)(µ + α)∂22 u1 +∂2 u2 − ∂2 u2 − ∂2 u2 +2α∂2 φ −hhh(2)(4)27909− 2 (λ + 2µ) u1 − 2 (λ + 2µ) u1 + (p1 − q1 ) = 0,hh2h(5)(5)11λ (2) 11λ (4) 11λ (0)(µ + α)∂22 u1 −∂ u −∂ u −∂ u +2α∂2 φ −h 2 2h 2 2h 2 2(1)(3)(5)1111− 2 (λ + 2µ)( u1 +6 u1 +15 u1 ) + (p1 + q1 ) = 0,h2h(0)(1)(3)(5)λλλ1(λ + 2µ)∂22 u2 + ∂2 u1 + ∂2 u1 + ∂2 u1 + (p2 − q2 ) = 0,hhh2h(1)(0)(2)(4)3(µ−α)3λ3λ(λ + 2µ)∂22 u2 −∂2 u1 + ∂2 u1 + ∂2 u1 −hhh(1)(3)(5)36α (0) 3φ + (p2 + q2 ) = 0,− 2 (µ + α)( u2 + u2 + u2 ) +hh2h(6.8.3)(2)(1)(3)(5)5(µ−α)5λ5λ(λ + 2µ)∂22 u2 −∂2 u1 + ∂2 u1 + ∂2 u1 −hhh(2)(4)1510α (1) 5φ + (p2 − q2 ) = 0,− 2 (µ + α)( u2 + u2 ) +hh2h(3)(2)(0)(4)7(µ − α)7(µ − α)7λ(λ + 2µ)∂22 u2 −∂2 u1 −∂2 u1 + ∂2 u1 −hhh(1)(3)(5)714α (0) (2)7− 2 (µ + α)( u2 +6 u2 +6 u2 ) +( φ + φ ) + (p2 + q2 ) = 0,hh2h(2)(µ + α)∂22 u1 +341(2)9(µ − α) (1) 9(µ − α) (3) 9λ (5) 27∂2 u1 −∂2 u1 + ∂2 u1 − 2 (µ + α) u2 −hhhh(1)(3)(4)9018α9− 2 (µ + α) u2 +( φ + φ ) + (p2 − q2 ) = 0,hh2h(5)(2)(4)(0)11(µ − α)11(µ − α)11(µ − α)(λ + 2µ)∂22 u2 −∂2 u1 −∂2 u1 −∂2 u1 −hhh(1)(3)(5)1122α (0) (2) (4)11− 2 (µ + α)( u2 +6 u2 +15 u2 ) +( φ + φ + φ ) + (p2 + q2 ) = 0,hh2h(0)(0)(0)2α (1) 2α (3) 2α (5)1u2 +u2 +u2 −4α φ + (σ − τ) = 0,(δ + β)∂22 φ −2α∂2 u1 +hhh2h(1)(1)(3)(5)(1)(1)(2)(4)6α6α3(δ+β)3φ + φ + φ ) − 4α φ + (σ + τ ) = 0,u2 +u2 −(δ + β)∂22 φ −2α∂2 u1 +(hhh22h(2)(2)(4)(2)(2)(3)(5)10α10α15(δ+β)5u2 +u2 −(δ + β)∂22 φ −2α∂2 u1 +( φ + φ ) − 4α φ + (σ − τ ) = 0,hhh22h(3)(1)(3)(5)(3)(3)14α (4) 7(δ + β)7u2 −(δ + β)∂22 φ −2α∂2 u1 +( φ +6 φ +6 φ ) − 4α φ + (σ + τ ) = 0,2hh2h(2)(4)(4)(4)(4)(5)9(δ+β)918αu2 −(δ + β)∂22 φ −2α∂2 u1 +(3 φ +10 φ ) − 4α φ + (σ − τ ) = 0,hh22h(1)(3)(5)(5)(5)(5)1111(δ+β)(δ + β)∂22 φ −2α∂2 u1 −( φ +6 φ +15 φ ) − 4α φ + (σ + τ ) = 0.h22h(4)(λ + 2µ)∂22 u2 −и кинематические граничные условия на торцах пятого приближения(k)(k)u I | x2 =0 = f I ,(k)(k)(k)u I | x2 =L = g I ,(k)(k)(k)φ| x2 =0 = ψ ,(k)φ| x2 =L = χ ,k = 0, 5.(6.8.4)(k)Здесь u I и φ, k = 0, 5, — моменты компонент векторов перемещений и вращений, pI и qI — компоненты заданных силовых нагрузок на x1 = h и x1 = −hлицевых линиях, σ и τ — заданные моментные нагрузки на x1 = h и x1 = −h(k)(k)лицевых линиях, f I и g I , k = 0, 5, — моменты компонент заданных на торцах(k)(k)x2 = 0 и x2 = L векторов перемещений, а ψ и χ — моменты заданных на торцахx2 = 0 и x2 = L вращений соответственно.Следует заметить, что из постановок задач (6.8.1), (6.8.2) и (6.8.3), (6.8.4)пятых приближений в моментах нетрудно получить постановки задач меньшихприближений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
