Диссертация (786091), страница 72
Текст из файла (страница 72)
В самом деле, чтобы получить, например, из постановки классической задачи пятого приближения (см. (6.8.1), (6.8.2)) постановку задачичетвертого приближения достаточно из системы уравнений (6.8.1) вычеркнутьшестое и последнее уравнения, а из оставшихся уравнений вычеркнуть слагаемые содержащие моменты пятого порядка неизвестных функций. Также из граничных условий (6.8.2) вычеркнуть те равенства, которые содержат моментыпятого порядка, т.е. k менять от 1 до 4.
Аналогично можно получить постановкузадачи третьего приближения из постановки задачи четвертого приближенияи т.д. Такая же процедура применяется и при получении постановки задачименьшего приближения из постановки задачи большего приближения в случаемикрополярной среды. Таким образом, если имеем постановку задачи пятогоприближения в моментах, то можно считать, что имеем постановки задач всехприближений в моментах от нулевого до пятого порядка. Ниже эти постановкизадач применяются при численной реализации некоторых простых задач.3426.96.9.1Численные примеры решения задачЗадача для равномерно нагруженной с одной стороны двумерной областиСначала рассмотрим классический случай.
В (6.8.1) положим p1 = 1000кГ/см2 ,(k)(k)p2 = 0, q1 = 0, q2 = 0, f I = 0, g I = 0, I = 1, 2, k = 1, 5, т.е. на лицевую линиюx1 = −h действует равномерно распределенная нагрузка (давление), равная1000кГ/см2 , а лицевая линия x1 = h свободна, кроме того, перемещения наторцах равны нулю (рис. 6.2). Пусть L = 10см и h = 1см. Будем считать,Рис. 6.2: Равномерно нагруженная двумерная областьчто двумерная область стальная. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона сталисоответственно равны E = 210000кГ/см2 и ν = 0, 3. Выразим параметры Ламечерез модуль Юнга и коэффициент Пуассонаλ=−EνкГEкГ= 1211538 2 , µ == 807692 2(2ν − 1)(ν + 1)см2(ν + 1)сми решим задачи вех шестых приближений, получаемых из (6.8.1), (6.8.2).На рис.
6.3 изображены "прогибы" средней линии двумерной области u1 (0, x2 ),а на рис. 6.4 продольные перемещения u2 (x1 , 2) в сечении x2 = 2 при N = 0, 5.Рис. 6.3: Прогибы средней линии при различных приближениях343Рис. 6.4: Продольные перемещения при различных приближенияхИз данных рисунков видно, что, начиная с третьего приближения, графики совпадают.
Это говорит о достаточно быстрой сходимости рядов ФурьеЛежандра искомых величин.На рис. 6.5 приводится сравнение решения задачи пятого приближения с решением по теории Бернулли-Эйлера и решением методом конечных элементов(МКЭ) двумерной задачи, когда 2h = 1см (слева) и 2h = 2см (справа). Сравниваются "прогибы" средней линии.
График "прогиба" пятого приближенияточно ложится на решение, полученное с помощью МКЭ, а решение по теорииБернулли-Эйлера существенно отличается.Рис. 6.5: Прогибы средней линииНа следующих трех рисунках (рис. 6.6 - рис. 6.8) отображаются u2 (x1 , 2) —продольные перемещения в сечении x2 = 2, P22 (x1 , 5) — нормальные напряжения в сечении x2 = 5, P12 (x1 , 2) — касательные напряжения в сечении x2 = 2.Аналогично, наблюдается совпадение решения задачи пятого приближения срешением посредством МКЭ.Рис. 6.6: Продольные перемещения344Рис. 6.7: Нормальные напряженияРис. 6.8: Касательные напряженияНа рис 6.9 приведено сравнение "прогибов"линий x1 = h, x1 = 0 и x1 = −h,когда 2h = 10см, т. е. прямоугольная полоса становится квадратом. Как и впредыдущих случаях, решения пятого приближения точно совпадает с решениями МКЭ.Рис.
6.9: Прогибы различных линийТеперь рассмотрим микрополярную двумерную область. В (6.8.3) положим2(k)(k)p1 = 0, 01кГ/см , p2 = 0, p3 = 0, q1 = 0, q2 = 0, q3 = 0, f I = 0, g I = 0, I = 1, 2,k = 1, 5, т.е. на лицевую линию x1 = −h действует равномерно распределенная нагрузка, равная 0.01кГ/см2 , а лицевая линия x1 = h свободна, крометого, перемещения и микровращения на торцах равны нулю. Пусть L = 10см иh = 0, 1см, а E = 300МПа, ν = 0, 4, lb = 0, 33мм, N 2 = 0, 02 ( значения технических констант для полиуретановой пленки взяты из статьи [479]). Выражаяиспользуемые нами материальные константы через технические, получимλ = −Eν/[(2ν − 1)(ν + 1)] = 4370кГ/см2 , µ = E/[2(ν + 1)] = 1093кГ/см2 ,α = −EN 2 /[2(νN 2 + N 2 − ν − 1)] = 46кГ/см2 , δ + β = 2lb2 E/[ν + 1] = 4, 8кГ.Решены задачи вех шестых приближений, получаемых из (6.8.3) и (6.8.4).345На рис.
6.10 изображены прогибы средней линии двумерной области u1 (0, x2 ),а на рис 6.11 продольные перемещения u2 (x1 , 2) в сечении x2 = 2 при N = 0, 5.Начиная со второго приближения, графики совпадают.Рис. 6.10: Прогибы средней линии при различных приближениях. Микрополярная средаРис. 6.11: Продольные перемещения при различных приближениях. Микрополярная средаНа рис. 6.12 изображены графики "прогибов"средних линий для решения поклассической теории и для решения по микрополярной теории при различныхтолщинах двумерной области. На левом рисунке изображено решение, когда2h = 2см. На среднем рисунке 2h = 1см.
При таких толщинах нет существенного отличия между классическим и микрополярным решениями. На правомграфике толщина области 2h = 0.2см. При таких размерах отличие междуРис. 6.12: Сравнение классического решения с микрополярныммикрополярной областью и классической существенно.
График, пролегающий346выше, соответствует микрополярному случаю, и максимальный прогиб равен0, 078см. График, полученный при использовании классического подхода, проходит ниже, и наибольший прогиб равен 0.107см. Можно сделать вывод, чтопри изгибе тонких тел из некоторых материалов, в том числе из тех, которыепредставлены в [479], начинают проявляться микрополярные свойства. В рассматриваемом случае разница максимальных прогибов составляет почти 28%.6.9.2Задача для равномерно нагруженной с двух сторон двумернойобластиКлассический случай. В (6.8.1) положим p1 = 1000кГ/см2 , p2 = 0, q1 = 1000кГ/см2 ,(k)(k)q2 = 0, f I = 0, gI = 0, I = 1, 2, k = 0, 5, т.е. на лицевые линии x1 = h иx1 = −h действуют равномерно распределенные нагрузки, а перемещения наторцах равны нулю (рис.
6.13).Рис. 6.13: Равномерно нагруженная с двух сторон двумерная областьНа рис. 6.14 сравниваются графики прогиба u1 (h, x2 ) лицевой линии x1 = h(полиномы-МКЭ). Они совпадают.Рис. 6.14: Прогиб лицевой линии6.9.3Задача, когда на лицевые линии действуют уравновешенныепоперечные сосредоточенные силыВ (6.8.1) положим p1 = 3000 δ(x2 − L/2), p2 = 0, q1 = 1500 δ(x2 − L/4) +(k)(k)1500 δ(x2 − 3/4L), q2 = 0, f I = 0, g I = 0, I = 1, 2, k = 0, 3 т.е. на лицевую линию x1 = h в точке (x1 , x2 ) = (h, L/2) действует поперечная сосредоточенная347сила 3000кГ/см, а на лицевую линию x1 = −h в точках (x1 , x2 ) = (−h, L/4) и(x1 , x2 ) = (−h, 3/4L) действуют поперечные сосредоточенные силы 1500кГ/см(рис.
6.15). Как и в предыдущих примерах, на торцах задается условие равенства нулю перемещений. Здесь δ(·) — дельта функция Дирака.Рис. 6.15: Двумерная область под действием уравновешенных сосредоточенныхсилПри решении данной задачи использовалась постановка задачи третьегоприближения, получаемая из (6.8.1), (6.8.2). Задача решалась методомГалеркина [149].На рис.
6.16 представлены поперечные перемещения u1 (h, x2 ), u1 (−h, x2 ) иu1 (0, x2 ) линий x1 = h, x1 = −h и x1 = 0 соответственно.На нижнем графике рис. 6.16 решение, полученное при использовании предлагаемой теории, совпадает с решением МКЭ двумерной задачи (изображенопоперечное перемещение линии x1 = 0). На двух верхних графиках приводятсяпоперечные перемещения лицевых линий, которые получены при решении задачи третьего приближения. Установлено, что и на лицевых линиях предлагаемаятеория дает тот же ответ, что и МКЭ для двумерной задачи.Рис. 6.16: Поперечные перемещения3486.9.4Задача, когда на лицевые линии действуют сосредоточенныекасательные силыНа двумерную область в точках (x1 , x2 ) = (h, L/2) и (x1 , x2 ) = (−h, L/2) действуют касательные сосредоточенные силы, величина каждой из которых равна3000кГ/см и имеющие противоположные направления (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
