Диссертация (786091), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Следует отметить, что как в случае однослойного призматического тела, так и вслучае многослойного призматического тела для каждого из уравнений (6.7.82),используя метод Векуа [62], можно выписать аналитическое решение. Следовательно, для корректной постановки задач к уравнениям (6.7.82) и (6.7.83) нужно добавить граничные условия в моментах и межслойные контактные условия(см. в седьмой главе). Проблема корректирующего слагаемого и в этом случае решается аналогично сказанному выше.
При этом аналитическое решениекаждого слоя (кроме первого и последнего) с учетом корректирующих слагаемых можно написать так, что оно удовлетворяло межслойным контактнымусловиям. Для первого (последнего) слоя аналитическое решение посредствомкорректирующих слагаемых можно представить так, что оно удовлетворялограничным условиям на внутренней (внешней) поверхности, а межслойным контактным условиям на внешней (внутренней) поверхности. Следовательно, чембольше порядок приближения, можно полагать, что тем лучше (близко к реальной картине) можно учитывать межслойные контактные условия, что оченьважно в теории многослойных конструкций.6.7.7Статическая (квазистатическая) задача микрополярной теории призматических тел с двумя малыми размерами в перемещениях и вращениях и в моментах векторов перемещенийи вращенийРассмотрим призматическое однородное тело с двумя малыми размерами, поперечным сечением которого является прямоугольник со сторонами 2h1 и 2h2 .Используем параметризацию на основе произвольной базовой линии.
В качестве базовой линии, возьмем серединную линию (прямую). Нетрудно заметить,что в данном случае будем иметь (см. [305, 306])(−)(+)hI = h I = h I = const,g33̂= ϑ̂−1= 1,g11=h−21 ,k1 = 0,g22=g I = 0,k2 = 0,h−22 ,g3̂12= 0,g3̂3 = g 3 = ϑ̂ = 1,3̂g33= 1,N 3 = ∂3 .(6.7.84)333ˆ = g 3̂ r3 N F + rP ∂ F (N = ∂ − g P ∂ ) (см. [305, 306])В силу (6.7.84) и ∇F333P3̂ P323ˆˆˆоператоры ∆, ∆ и ∆ будут иметь выражения−2 22ˆ = ∂ 2 + ∆,˜˜ = g P Q ∇ ∇ = h−2∆∆1 ∂1 + h 2 ∂2 ,P Q3ˆ 2 = ∂34 + 2∂32 ∆˜ +∆˜ 2, ∆ˆ 3 = ∂36 + 3∂34 ∆˜ + 3∂32 ∆˜2 + ∆˜ 3.∆(6.7.85)˜2 и ∆˜ 3 можно представитьНа основании второй формулы (6.7.85) операторы ∆в виде−2 −2 2 2−4 4−6 6−2 −2 −2 2−2 2 2 2−6 64˜ 2 = h−4˜3∆1 ∂1 +2h1 h2 ∂1 ∂2 +h2 ∂2 , ∆ = h1 ∂1 +3h1 h2 (h1 ∂1 +h2 ∂2 )∂1 ∂2 +h2 ∂2 .(6.7.86)Если h = h1 = h2 (сечение — квадрат), то из второй формулы (6.7.85) и (6.7.86)получим˜ = h−2 (∂ 2 + ∂ 2 ) = h−2 ∆, ∆˜ 2 = h−4 (∂ 4 +2∂ 2 ∂ 2 +∂ 4 ) = h−4 ∆2 ,∆1211 223−6 622 2 26−6 32˜∆ = h [∂1 +3(∂1 +∂2 )∂1 ∂2 +∂2 ] = h ∆ , ∆ = ∂1 + ∂22 .(6.7.87)Запишем теперь уравнения (6.7.66) для рассматриваемого призматическоготела с двумя малыми размерами.
Нетрудно видеть, что для этого достаточнолапласиан ∆ и набла-оператор ∇, имеющиеся в уравнениях (6.7.66), заменитьˆ и∇ˆ = r3 ∂ + rP ∂ соответственно. После таких замен будем иметь следуна ∆3Pющие уравнения:ˆ 3 + A∆ˆ 2 )u + Ŝ∗∗ = 0,(∆ˆ 3 + B∆ˆ 2 + C ∆)φˆ φ + Ĥ∗∗ = 0,(∆(6.7.88)где A, B, C, Ŝ∗∗ и Ĥ∗∗ даются формулами (6.7.70). При этом выражения дляŜ∗∗ и Ĥ∗∗ получаются из S∗∗ и H∗∗ , если в S∗ и H∗ (см.
(6.7.64)) ∆ и ∇ заменитьˆ и∇ˆ соответственно.на ∆Учитывая (6.7.85), уравнения (6.7.88) можно записать следующим образом:˜ + (3∂ 2 + A)∆˜2 + ∆˜ 3 ]u + Ŝ∗∗ = 0,[∂36 + A∂34 + ∂32 (3∂32 + 2A)∆3˜ + (3∂ 2 + B)∆˜2 + ∆˜ 3 }φφ + Ĥ∗∗ = 0.{∂36 + B∂34 + [∂32 (3∂32 + 2B) + C]∆3(6.7.89)Нетрудно заметить, что в рассматриваемом случае для редуцированной среды (α = 0) на основании уравнений (6.7.67) получим следующие уравнения:˜ +∆˜ 2 )u + Ĝ = 0,(∂34 + 2∂32 ∆˜ +∆˜ 2 )φφ + Ĥ = 0,(∂34 + 2∂32 ∆(6.7.90)где выражения для Ĝ и Ĥ получаются из выражений для G и H (см. (6.7.68)),ˆ и∇ˆ соответственно. Следует замеесли в них операторы ∆ и ∇ заменить на ∆тить, что первое из уравнений (6.7.90) — уравнение классической теории призматических тонких тел с двумя малыми размерами и поперечным сечением ввиде прямоугольника.
Заметим также, что уравнения (6.7.90), конечно, можнобыло получить и из (6.7.89) при α = 0. Кроме того, видно, что при отсутствииобъемных нагрузок уравнения (6.7.90) не зависят от свойств материала.Теперь не представляет труда получить уравнения для микрополярной теории призматических тонких тел с двумя малыми размерами, имеющих поперечное сечение в виде прямоугольника, в моментах векторов перемещений ивращений относительно какой-нибудь системы полиномов (Лежандра, Чебышева). В самом деле, нетрудно видеть, что в силу (2.7.17), второй формулы334(6.7.85) и (6.7.86) для некоторой тензорной величины F(x′ , x3 ) будем иметь формулы [304, 306](m′′ ,n)(m,n)(m,n′′ )(mIV ,n)(m,n)˜ = h−2M (∆F)F +h−2F ,12(m′′ ,n′′ )(m,nIV )−2˜ 2 F) = h−4M (∆F +2h−2F +h−4F ,11 h22VIIV′′′′IVVI()(m,n)(m,n )(m ,n)(m,n)(m,n)−2˜ 3 F) = h−6M (∆F +3h−2h−2F +h−2F+h−6F , m, n ∈ N0 ,11 h2122(6.7.91)которые верны для любой системы полиномов (Лежандра, Чебышева).Следует заметить, что если {uk }∞k=0 — некоторая ортогональная система по′ 3линомов на сегменте [a, b], а F(x , x ) — какое-нибудь тензорное поле, то момент(m, n)-го порядка тензорного поля F(x′ , x3 ) относительно системы полиномов{uk }∞k=0 определяется следующим образом:Определение 6.7.1.
Моментом (m, n)-го порядка тензорного поля F(x′ , x3 )относительно системы полиномовинтеграл(m,n)M (F) = ||um ||−2 ||un ||−2∫b ∫b{uk }∞k=0 ,(m,n)обозначаемым M (F), называетсяF(x1 , x2 , x3 )um (x1 )un (x2 )h(x1 )h(x2 )dx1 dx2 .(6.7.92)a aЗдесь ||uk || — норма полинома uk , а h — весовая функция. Заметим также, что вопросы, касающиеся теории тонких тел с двумя малыми размерами,подробно излагаются в [297, 305, 306].Применяя к (6.7.89) оператор моментов (m, n)-го порядка какой-нибудь системы полиномов, в силу (6.7.91) получим искомые уравнения в форме(′′ )(m,n)(m,n)(m′′ ,n)−2 (m,n )∂36 u + A∂34 u + ∂32 (3∂32 + 2A) h−2u+hu+12(′′ ′′IV )(mIV ,n)−2 −2 (m ,n )−4 (m,n )+(3∂32 + A) h−4u+2hhu+hu+1122((m,n)IV ′′′′ IV )VI(mV I ,n)−2 −2−2 (m ,n )−2 (m ,n )−6 (m,n )+h−6u+3hhhu+hu+hu+M (Ŝ∗∗ ) = 0,112122(′′′′ )−2 (m ,n)−2 (m,n )6 (m,n)4 (m,n)22∂3 φ + B∂3 φ + [∂3 (3∂3 + 2B) + C] h1 φ +h2 φ +(′′ ′′IV )(mIV ,n)−2 −2 (m ,n )−4 (m,n )+(3∂32 + B) h−4φ+2hhφ+hφ+1122((m,n)VI′′ IV )IV ′′(mV I ,n)−6 (m,n )−2 (m ,n )−2 (m ,n )−2φ+M (Ĥ∗∗ ) = 0, m, n ∈ N0 .φ+hφ+hhh+h1−6 φ +3h−222112(6.7.93)Совершенно аналогично (6.7.93) в случае редуцированной среды (α = 0)на основании (6.7.90) получим следующие уравнения в моментах векторов перемещений и вращений относительно любой системы полиномов (Лежандра,Чебышева) для теории призматических тонких тел с двумя малыми размерамии поперечным сечением в виде прямоугольника:(m,n)∂34 u +2∂32(′′′′ )(m,n(m ,n)uu +h−2h−221)(mIV ,n)(m′′ ,n′′ )(m,nIV )(m,n)−2u + M (Ĝ) = 0,u +h−4u +2h−2+ h−421 h21(′′ ′′′′ )(m,nIV ) (m,n)(mIV ,n)(m′′ ,n)(m,n)−2 (m ,n )−2 (m,n )φ + M (Ĥ) = 0,φ +h−4φ +2h−2φ+ h−4φ+h∂34 φ +2∂32 h−221 h2121m, n ∈ N0 .(6.7.94)335Заметим, что первое из (6.7.94) — уравнение в моментах вектора перемещений относительно любой системы полиномов (Лежандра, Чебышева) для классической теории призматических тонких тел с двумя малыми размерами и поперечным сечением в виде прямоугольника.Для того, чтобы записать системы уравнений (6.7.93) и (6.7.94) в моментахотносительно какой-нибудь системы ортогональных полиномов достаточно вхо(m′′ ,n)(m,n′′ )(mIV ,n)(m,nIV )(m′′ ,n′′ )(mV I ,n)(m,nV I )(mIV ,n′′ )(m′′ ,nIV )дящие в них величины F , F , F , F , F , F , F , F и F ,где F = u или F = φ , выражать с помощью моментов F относительно рассматриваемой системы полиномов.
Ниже выпишем получаемые легко на основании(6.6.21), (6.6.22), (6.6.23) и (6.7.72) выражения для указанных выше величинчерез моменты F относительно системы полиномов Лежандра, а также череззначения функции F и ее производных при x1 = ±1 и x2 = ±1. Будем иметь∞(p+2,n)2m + 1 ∑(p − m + 2)(p + m + 3)[1 + (−1)m+p ] F =4p=m(−,n) )(−,n))[(((+,n)] (m′′ ,n)2m + 1 (+,n)mm′=∂1 F − (−1) ∂1 F − F + (−1) F Pm (1) + F ,2′′[(m−2)/2](m ,n)(m−2p−2,n)∑F = (2m + 1)(p + 1)(2m − 2p − 1) F ,(m′′ ,n)F =(6.7.95)p=0∞(m,q+2)2n + 1 ∑(q − n + 2)(q + n + 3)[1 + (−1)n+q ] F =4 q=n(m,−))(m,−))[(((m,+)] (m,n′′ )2n + 1 (m,+)nn′=∂2 F − (−1) ∂2 F − F + (−1) F Pn (1) + F ,2′′[(n−2)/2](m,n−2q−2)(m,n )∑(q + 1)(2n − 2q − 1) F ,F = (2n + 1)(m,n′′ )F =(6.7.96)q=0∞ ∑∞(m+2p,n+2q)∑pq(2m + 2p + 1)(2n + 2q + 1)F== (2m + 1)(2n + 1)p=1 q=1(+,−) )(−,−) )]( (−,+)(2m + 1)(2n + 1) {[( (+,+)=∂1 ∂2 F − (−1)n ∂1 ∂2 F − (−1)m ∂1 ∂2 F − (−1)n ∂1 ∂2 F −4(+,−))(−,−))][((+,+)((−,+)− ∂1 F + (−1)n ∂1 F − (−1)m ∂1 F + (−1)n ∂1 F Pn′ (1)−(−,+))(−,−))][((+,+)((+,−)− ∂2 F + (−1)m ∂2 F − (−1)n ∂2 F + (−1)m ∂2 F Pm′ (1)+}(+,−))(−,−))][((+,+)((−,+)nmn′′+ F + (−1) F + (−1)F + (−1) F Pm (1)Pn (1) +′′ )′′ )(+,n(−,n(−,n′′ ))) ((+,n′′ )]2m + 1 [(+∂1 F − (−1)m ∂1 F − F + (−1)m F Pm′ (1) +2(m′′ ,−))(m′′ ,−))] (m′′ ,n′′ )((m′′ ,+)2n + 1 [((m′′ ,+)nn′+∂2 F − (−1) ∂2 F − F + (−1) F Pn (1) + F ,2[ m−2] [ n−2](m′′ ,n′′ )(m−2p−2,n−2q−2)22∑∑F = (2m+1)(2n+1)(p+1)(q+1)(2m−2p−1)(2n−2q−1)F,(m′′ ,n′′ )Fp=0(6.7.97)q=0(mIV ,n)F = (2m+1)(m,nIV )F = (2n+1)3∏s=13∏q=1s=13Cq+2F = (2m+1)F = (2n+1)3Cp+2p=1∞∑(mV I ,n)(m,nV I )∞∑∞∑5∏p=1∞∑s=15∏q=1s=1F,(6.7.98)(m,n+2q+2)(2n+2q+2s−1)5Cp+45Cq+4(m+2p+2,n)(2m+2p+2s−1)F,(m+2p+4,n)(2m+2p+2s−1)F,(m,n+2q+4)(2n+2q+2s−1)F,(6.7.99)336(mIV ,n′′ )F=∞ ∑∞3∏(2m+1)(2n+1) ∑3Cp+2(2m+2p+2s−1)·4p=1 q=ns=1(m+2p+2,q+2)·(q − n + 2)(q + n + 3)[1 + (−1)n+q ]F=IVIVIV ,+)IV ,−)IV ,n′′ )(m,−))(m,+)(m(m(m][(()2n + 1=∂2 F −(−1)n ∂2 F − F +(−1)n F Pn′ (1) + F =2∞3(,−) )(m+2p+2,)[( (,+)∏(2m+1)(2n+1) ∑3=Cp+2(2m+2p+2s−1) M∂2 F − (−1)n ∂2 F −2p=1s=1(,−))((,+)] (mIV ,n′′ )− F + (−1)n F Pn′ (1) + F ,(6.7.100)n−2]3∞[ ∑(m+2p+2,n−2q−2)2∏∑3(2m+2p+2s−1)(q+1)(2n−2q−1)F,Cp+2= (2m+1)(2n+1)(mIV ,n′′ )Fp=1 q=0s=1(6.7.101)(m′′ ,nIV )F=∞∞ ∑(2m+1)(2n+1) ∑(p − m + 2)(p + m + 3)[1 + (−1)m+p ]·4p=m q=13(p+2,n+2q+2)∏3·Cq+2(2n+2q+2s−1)F=s=1=(−,nIV ))(−,nIV ))((+,nIV )] (m′′ ,nIV )2m + 1 [((+,nIV )∂1 F −(−1)m ∂1 F − F +(−1)m F Pm′ (1) + F =2=∞3(−,) )(,n+2q+2)[( (+,)∏(2m+1)(2n+1) ∑3Cq+2(2n+2q+2s−1) M∂1 F − (−1)m ∂1 F −2q=1s=1(−,))((+,)] (m′′ ,nIV )− F + (−1)m F Pm′ (1) + F ,(m′′ ,nIV )F(6.7.102)[ m−2]∞2= (2m+1)(2n+1)3(m−2p−2,n+2q+2)∑∑∏3(p+1)(2m−2p−1)Cq+2(2n+2q+2s−1)F.p=0 q=1s=1(6.7.103)Учитывая (6.7.95) – (6.7.103), из (6.7.93) получим расщепленную системууравнений для теории однородных изотропных призматических тонких тел сдвумя малыми размерами постоянных толщин, имеющих поперечные сеченияв виде прямоугольника, в моментах векторов перемещений и вращений относительно системы полиномов Лежандра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
