Диссертация (786091), страница 69

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 69)

в случае редуцированной среды из (6.7.63)(или из (6.7.65)) получим следующие уравнения:∆2 u + G = 0,∆2φ + H = 0,(6.7.67)где введены обозначения1[E(λ + 2µ)∆ − (λ + µ)∇∇] · (ρF),µ(λ + 2µ) e1H=[E(γ + 2δ)∆ − (γ + δ − β)∇∇] · (ρm).(δ + β)(γ + 2δ) eG=(6.7.68)328Следует заметить, что первое из уравнений (6.7.67) — классическое уравнение, а второе уравнение имеет аналогичный вид.

Разница — только в коэффициентах. Значит, так как мы можем найти аналитическое решение классическогоуравнения (см. выше случаи призматических тел), то мы найдем аналитические решения и уравнений (6.7.67) для редуцированной среды, ибо в последнемслучае они выписываются по аналогии. С целью сокращения письма на этомостанавливаться не будем.

Однако, заметим, что при отсутствии объемных нагрузок уравнения редуцированной среды не зависят от свойств материала (хотя,и при присутствии объемных нагрузок они не сложно зависят от материальныхконстант). Этот факт наводит на мысль о том, что эти уравнения можно использовать для идентификации материальных констант редуцированной среды. Длярешения этой проблемы, скорее всего, достаточно выписать общие решения этихуравнений, а затем рассматривать подходящие простые краевые задачи. Болеетого, можно ставить эксперименты над подходящими образцами, сделаннымииз того или иного материала, удобного с точки зрения экспериментирования.6.7.5Статическая (квазистатическая) задача микрополярной теории призматических тел постоянной толщины в перемещенияхи вращениях и в моментах векторов перемещений и вращенийРассмотрим призматическое тело постоянной толщины 2h.

В качестве базовойплоскости, как и выше, возьмем серединную плоскость. Тогда, учитывая представление лапласиана (см. вторую формулу (6.6.18)), для ∆2 и ∆3 будем иметьвыражения¯ 2 + 2h−2 ∆∂¯ 2 + h−4 ∂ 4 , ∆¯ = g P Q ∂P ∂Q ,∆2 = ∆33¯ 3 + 3h−2 ∆¯ 2 ∂32 + 3h−4 ∆∂¯ 34 + h−6 ∂36 .∆3 = ∆В силу последних формул и представления лапласиана (см. вторую формулу(6.6.18)) уравнения (6.7.66) для теории призматических тел постоянной толщины в перемещениях и вращениях можно записать в виде¯ 3 + A∆¯ 2 + h−2 (3∆¯ + 2A)∆∂¯ 2 + h−4 (3∆¯ + A)∂ 4 + h−6 ∂ 6 ]u + S∗∗ = 0,[∆3333−22−4¯¯¯¯¯¯φ + H∗∗ = 0;[∆ +(B ∆+A)∆+h [(3∆+2B)∆+C]∂ 3 + h (3∆+B)∂34 + h−6 ∂36 ]φ(6.7.69)S∗H∗4αµ, H∗∗ =, A=−,(λ + 2µ)(µ + α)(δ + β)(γ + 2δ)(µ + α)(δ + β)(µ + α)(δ + β)16α2 µ4α[µ(γ + 2δ) + (µ + α)(δ + β)], C=.B=−(γ + 2δ)(µ + α)(δ + β)(γ + 2δ)(µ + α)(δ + β)(6.7.70)S∗∗ =Применяя к уравнениям (6.7.69) оператор моментов k-го порядка какойнибудь системы ортогональных полиномов (Лежандра, Чебышева), найдем длямикрополярной теории призматических тел постоянной толщины следующиеуравнения в моментах векторов перемещений и вращений:(k)(k)(k)(k)¯ 3 +(B ∆+A)¯¯ (k)¯¯¯[∆∆]φ +h−2 [(3∆+2B)∆+C]φ ′′ +h−4 (3∆+B)φ IV +h−6 φ V I + H∗∗ = 0,(k)(6.7.71)(k)(k)¯ 3 +A∆¯ 2 ](k)¯¯ (k)¯[∆u +h−2 (3∆+2A)∆u ′′ +h−4 (3∆+A)u IV +h−6 u V I + S ∗∗ = 0, k ∈ N0 .Имея уравнения (6.7.71), нетрудно получить системы уравнений различногоприближения.

В самом деле, считая, что моменты в (6.7.71) рассматриваются329относительно системы полиномов Лежандра, в силу (6.6.21), (6.6.23), а такжеформулы [304, 306](n)V Iu (x′ ) = (2n+1)∞∑5Ck+4k=15∏(n+2k+4)(2n + 2k + 2s − 1)u,(6.7.72)s=1где n ∈ N0 , будем иметь расщепленную на четыре системы следующую системууравнений приближения порядка N = 8:L(α) U(α) + Φ(α) = O(α) ,α = 1, 2, 3, 4,(6.7.73)где введены следующие обозначения: (0)  (0)  (1)  (1)  φu0φu (2)  (2)  (3) φ  (3) 0uu (4)  (4) φ      U(1) =  u , U(2) =  (5) , U(3) =  φ , U(4) =  (5) , O(1) = O(3) =  0 , (6)  (6) uφ 0uφ (7)(7)0uφ(8)(8)uφ (0)  (0)  (1)  (1) S ∗∗H∗∗∗∗ (2)  (2)SH∗∗ ∗∗  ∗∗ 0(3)(3)S H  ∗∗  ∗∗  (4)  (4) 0SHΦ (1) = , Φ (3) = , O(2) = O(4) = (5)(5) S ∗∗ , Φ (2) =  H∗∗ , Φ (4) =  0 ,∗∗∗∗ (6)  (6) S H  S ∗∗  H∗∗ 0(7)(7)∗∗∗∗(8)(8)SHS ∗∗H∗∗ 3¯ +A∆¯2∆00L(1) =00¯ 2 +a04 ∆¯ a05 ∆¯ 2 +a06 ∆+a¯a03 ∆07322¯¯¯¯∆ +A∆a26 ∆ +a27 ∆¯ 3 +A∆¯20∆¯ 2 +a09 ∆+a¯a08 ∆0102¯¯a28 ∆ +a29 ∆+a21000¯ 2 +a410 ∆¯a49 ∆¯ 3 +A∆¯2∆000¯ 2 +a012 ∆+a¯a011 ∆013¯ 2 +a212 ∆+a¯a211 ∆213 ¯ 2 +a412 ∆+a¯a411 ∆413  ,¯ 2 +a613 ∆¯ a612 ∆32¯¯∆ +A∆(6.7.74)a03 = 9h−2 , a04 = 6Ah−2 , a05 = 30h−2 , a06 = 20Ah−2 + 315h−4 , a07 = 105Ah−4 ,a08 = 63h−2 , a09 = 42Ah−2 + 3780h−4 , a010 = 1260Ah−4 + 10395h−6 , a011 = 108h−2 ,a012 = 72Ah−2 +20790h−4 , a013 = 6930Ah−4 +270270h−6 , a26 = 105h−2 , a27 = 70Ah−2 ,a28 = 270h−2 , a29 = 180Ah−2 + 10395h−4 , a210 = 3465Ah−4 , a211 = 495h−2 ,a212 = 330Ah−2 + 77220h−4 , a213 = 25740Ah−4 + 675675h−6 ,a49 = 297h−2 ,a410 = 198Ah−2 , a411 = 702h−2 , a412 = 468Ah−2 + 57915h−4 , a413 = 19305Ah−4 ,a612 = 585h−2 , a613 = 390Ah−2 ; ¯3¯ 2 a13 ∆¯ 2 +a14 ∆¯ a15 ∆¯ 2 +a16 ∆+a¯¯2¯∆ +A∆17 a18 ∆ +a19 ∆+a110¯¯¯ 2 +a37 ∆¯ 2 +a39 ∆+a¯ 3 +A∆¯20∆a36 ∆a38 ∆310 L(2) = (6.7.75)¯ ¯ 2 +a510 ∆¯ 3 +A∆¯200∆a59 ∆¯ 3 +A∆¯2000∆a13 = 45h−2 , a14 = 30Ah−2 , a15 = 126h−2 , a16 = 84Ah−2 + 2835h−4 , a17 = 945Ah−4 ,a18 = 243h−2 , a19 = 162Ah−2 + 24948h−4 , a110 = 8316Ah−4 + 135135h−6 , a36 = 189h−2 ,a37 = 126Ah−2 , a38 = 462h−2 , a39 = 308Ah−2 + 27027h−4 , a310 = 9009Ah−4 ,a59 = 429h−2 , a510 = 286Ah−2 ;330 3¯ +(B ∆+A)¯¯ b04 ∆¯ 2 +b05 ∆+b¯ 06 b07 ∆¯ 2 +b08 ∆+b¯ 09 b010 ∆¯ 2 +b011 ∆+b¯ 012 b013 ∆¯ 2 +b014 ∆+b¯ 015∆∆¯ 3 +(B ∆+A)¯¯ b27 ∆¯ 2 +b28 ∆+b¯ 29 b210 ∆¯ 2 +b211 ∆+b¯ 212 b213 ∆¯ 2 +b214 ∆+b¯ 215 0∆∆322¯ +(B ∆+A)¯¯ b410 ∆¯ +b411 ∆+b¯ 412 b413 ∆¯ +b414 ∆+b¯ 415 00∆∆L(3) =,32¯ +(B ∆+A)¯¯¯ +b614 ∆+b¯ 615 000∆∆b613 ∆¯ 3 +(B ∆+A)¯¯0000∆∆(6.7.76)b04 = 9h−2 , b05 = 6Bh−2 , b06 = 3Ch−2 , b07 = 30h−2 , b08 = 20Bh−2 + 315h−4 ,b09 = 10Ch−2 + 105Bh−4 , b010 = 63h−2 , b011 = 42Bh−2 + 3780h−4 , b012 = 21Ch−2 + 1260Bh−4 ,b013 = 108h−2 , b014 = 72Bh−2 +20790h−4 , b015 = 36Ch−2 + 6930Bh−4 +270270h−6 , b27 = 105h−2 ,b28 = 70Bh−2 , b29 = 35Ch−2 , b210 = 270h−2 , b211 = 180Bh−2 + 10395h−4 ,b212 = 90Ch−2 + 3465Bh−4 , b213 = 495h−2 , b214 = 330Bh−2 + 77220h−4 ,b215 = 165Ch−2 + 25740Bh−4 + 675675h−6 , b410 = 297h−2 , b411 = 198Bh−2 , b412 = 99Ch−2 ,b413 = 702h−2 , b414 = 468Bh−2 + 57915h−4 , b415 = 234Ch−2 + 19305Bh−4 ,b613 = 585h−2 , b614 = 390Bh−2 , b615 = 195Ch−2 ;¯ 3¯¯ b14 ∆¯ 2 +b15 ∆+b¯ 16 b17 ∆¯ 2 +b18 ∆+b¯ 19 b110 ∆¯ 2 +b111 ∆+b¯ 112∆ +(B ∆+A)∆¯ 3 +(B ∆+A)¯¯ b37 ∆¯ 2 +b38 ∆+b¯ 39 b310 ∆¯ 2 +b311 ∆+b¯ 3120∆∆, (6.7.77)L(4) =¯ 3 +(B ∆+A)¯¯ b510 ∆¯ 2 +b511 ∆+b¯ 51200∆∆¯ 3 +(B ∆+A)¯¯000∆∆b14 = 45h−2 , b15 = 30Bh−2 , b16 = 15Ch−2 , b17 = 126h−2 , b18 = 84Bh−2 + 2835h−4 ,b19 = 42Ch−2 +945Bh−4 , b110 = 243h−2 , b111 = 162Bh−2 + 24948h−4 ,b112 = 81Ch−2 + 8316Bh−4 + 135135h−6 , b37 = 189h−2 , b38 = 126Bh−2 , b39 = 63Ch−2 ,b310 = 462h−2 , b311 = 308Bh−2 + 27027h−4 , b312 = 154Ch−2 + 9009Bh−4 ,b510 = 429h−2 , b511 = 286Bh−2 , b512 = 143Ch−2 ,а 0 — трехкомпонентный нулевой вектор.Векторы перемещений и вращений имеют выражения(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)u ≈ u + uP1 (x3 )+ uP2 (x3 )+ uP3 (x3 )+ uP4 (x3 )+ uP5 (x3 )+ uP6 (x3 )+ uP7 (x3 )+ uP8 (x3 ),φ ≈ φ + φ P1 (x3 )+ φ P2 (x3 )+ φ P3 (x3 )+ φ P4 (x3 )+ φ P5 (x3 )+ φ P6 (x3 )+ φ P7 (x3 )+ φ P8 (x3 ).Из (6.7.74) — (6.7.77) видно, что L(α) , α = 1, 2, 3, 4, — верхние треугольные дифференциальные матричные операторы и для их определителей |L(α) |,α = 1, 2, 3, 4, будем иметь выражения¯ 10 (∆¯ 2 + A)5 , |L(2) | = ∆¯ 8 (∆¯ 2 + A)4 ,|L(1) | = ∆¯ 5 (∆¯ 2 + B∆¯ + A)5 , |L(4) | = ∆¯ 4 (∆¯ 2 + B∆¯ + A)4 .|L(3) | = ∆(6.7.78)Из (6.7.78) видно, что |L(α) |, α = 1, 2, 3, 4, отличны от нуля.

Поэтому длякаждой матрицы L(α) , α = 1, 2, 3, 4, в силу простых выкладок можно найти ихалгебраические дополнения L∗(α) , α = 1, 2, 3, 4. Тогда, очевидно, будут вернысоотношенияLT∗(α) L(α) = L(α) LT∗(α) = E(α) |L(α) |, α = 1, 2, 3, 4,(6.7.79)где E(1) = E(3) — единичная матрица пятого порядка, а E(2) = E(4) — единичнаяматрица четвертого порядка.331Применяя оператор LT∗(α) слева к уравнениям (6.7.73) и учитывая (6.7.79),будем иметь следующие расщепленные системы уравнений:|L(α) |U(α) + LT∗(α)Φ (α) = O(α) ,(k)α = 1, 2, 3, 4,(6.7.80)(k)а отсюда для каждого из моментов u и φ , k = 0, 8, векторов перемещенийи вращений по отдельности аналогично (6.6.38) получим уравнение эллиптического типа высокого порядка (уравнения с дифференциальными операторами|L(1) | и |L(3) | имеют 30-ый порядок, а уравнения с дифференциальными операторами |L(2) | и |L(4) | имеют 24-ый порядок).

Если операторы |L(α) | и L∗(α)имеют общий множитель, то на него уравнение можно сократить и этим порядок уравнения уменьшить. Для каждого из уравнений (6.7.80), используя методВекуа [62], можно выписать аналитическое решение. На выписывании аналитических решений останавливаться не будем.

При необходимости это сделатьнесложно.Следует особо отметить, что к аналитическому решению в зависимости отзаданных граничных условий как в классическом, так и в микрополярном случае надо прибавить соответствующее корректирующее слагаемое, обеспечивающее выполнение граничных условий на лицевых поверхностях. Они построеныв третьей главе, поэтому здесь на них останавливаться не будем.6.7.6Статическая (квазистатическая) задача микрополярной теории многослойных призматических тел постоянной толщиныв перемещениях и вращениях и в моментах векторов перемещений и вращений при новой параметризацииПользуясь правилом, описанном в седьмой главе, для получения искомого соотношения многослойного тонкого тела из соответствующего соотношения однослойного тонкого тела при новой параметризации, система уравнений микрополярной теории многослойных призматических тел постоянной толщины (каждый слой имеет постоянную толщину) в перемещениях и вращениях аналогично(6.7.69) можно представить в виде−2∗∗¯ 3 +(B ∆+A¯¯¯¯¯φ+ H= 0,[∆)∆+h[(3∆+2B)∆+C]∂ 23 + hs −4 (3∆+B)∂34 + hs −6 ∂36 ]φssssssss−4−2¯ + A)∂34 +¯ + 2A)∆∂¯ 32 + h (3∆¯ 2 + h (3∆¯ 3 + A∆[∆ssssshs −6 ∂36 ]us+ Ss∗∗= 0,s = 1, K,(6.7.81)−−¯ = g I J ∂I ∂J и введены обозначениягде hs = const — толщина слоя s (s = 1, K), ∆Ss ∗∗∗Ss =(λs + 2µ)(µ + αs )(δs + β )sB=−ss,∗Hs∗∗=Hss(γ + 2δs )(µ + αs )(δs + β )ssss(γ + 2δs )(µ + αs )(δs + β )sssA=−sss(µ + αs )(δs + β )ss16αs 2 µ4αs [µ(γ + 2δs ) + (µ + αs )(δs + β )]s s,4αs µ,Cs =s(γ + 2δs )(µ + αs )(δs + β )sss,s = 1, K.,332Следовательно, применяя к уравнениям (6.7.81) оператор моментов k-го порядка какой-нибудь системы ортогональных полиномов (Лежандра, Чебышева)(или на основании (6.7.71) указанным выше правилом), получим для микрополярной теории призматических тел постоянной толщины следующие уравненияв моментах векторов перемещений и вращений:(k)∗∗¯ 3 +(B ∆+A¯¯ φ +h−2 [(3∆+2B¯¯¯[∆)∆])∆+C] φ ′′ +hs −4 (3∆+B) φ IV +hs −6 φ V I + H= 0,sssssss(k)(k)(k)(k)ssss(k)¯ 3 +A∆¯ 2 ] u +h−2 (3∆+2A¯¯ u ′′ +h−4 (3∆+A¯[∆)∆) u IV +hs −6 us V I + Ss ∗∗ = 0, k ∈ N0 , s = 1, K.sssssss s(k)(k)(k)(k)(6.7.82)Наконец, в силу (6.7.80) будут иметь следующие расщепленные системыуравнений:,+ Ls T∗(k)Φs (k) = O|Ls (k) |Us (k)s (k)k = 1, 2, 3, 4,s = 1, K.(6.7.83)В приведенных выше соотношениях s — номер слоя, K — число слоев.

Характеристики

Список файлов диссертации