Диссертация (786091), страница 73
Текст из файла (страница 73)
6.17).Рис. 6.17: Двумерная область под действием касательных сосредоточенных силРис. 6.18 иллюстрирует совпадение графиков, полученных на основе МКЭдля двумерной задачи и предлагаемой теории на примере поперечного перемещения линии x1 = 0.Рис. 6.18: Поперечные перемещения6.9.5Задача для двухслойной двумерной областиРассмотрим двухслойную двумерную область (рис. 6.19). Каждый из слоевимеет толщину 2h = 1см и длину L = 10см. Модуль Юнга и коэффициентПуассона первого слоя равны E1 = 2.1E6 кГ/см2 и ϑ1 = 0.3, а второго слояE2 = 7E6 кГ/см2 и ϑ2 = 0.2 соответственно.
На лицевую линию второго слоядействует равномерно распределенная нагрузка 1000кГ/см2 . Перемещения наторцах равны нулю. Рассматривается случай идеального контакта.Рис. 6.19: Двухслойная двумерная областьПостановку задачи, например, пятого приближения рассматриваемой двухслойной конструкций можно получить из соответствующей постановки задачи349многослойной конструкций, приведенной в седьмой главе или из соответствующей постановки задач для однослойной области описанным в седьмой главеправилом.
В частности, искомую постановку задачи для двухслойной конструкций можно получить из (6.8.1) и (6.8.2) если входящие в эту постановку задачивеличины снабжать еще индексом (α), который обозначает номер слоя и придать этому индексу значения от 1 до N , где N — число слоев. В рассматриваемом случае N = 2, т.е. α = 1, 2. Кроме того, следует добавить межслойныеконтактные условия в зависимости от типа контакта. Таким образом, величины uI , pI , qI , fI и gI , I = 1, 2, входящие в (6.8.1) и (6.8.2), следует заменить наu(α)I , p(α)I , q(α)I , f(α)I и g(α)I , I = 1, 2, α = 1, 2, где, конечно, p(2)I — компонентызаданной нагрузки на внешней лицевой поверхности, q(1)I — компоненты заданной нагрузки на внутренней лицевой поверхности, а p(1)I и q(2)I — межслойныеконтактные силы.
Очевидно, в рассматриваемом случае условия полного (иде(+)(−)ального) контакта можно записать в виде p(1)I = −q(2)I и u (1)I = u (2)I , I = 1, 2.Задача была решена при следующих условиях:(k)(k)p(2)1 = 1000 кГ/см2 , p(2)2 = 0, q(1)1 = 0, q(1)2 = 0, f (α)I = 0, g (α)I = 0, I, α = 1, 2, k = 0, 5.На рис. 6.20 изображены поперечные перемещения линии x1 = h второгослоя, линии контакта и линии x1 = −h первого слоя.
Полученные с помощьюполиномов решения совпадают с решениями, полученными МКЭ двумернойзадачи.Рис. 6.20: Поперечные перемещенияНа рис. 6.21 приводятся графики нормальных и касательных напряженийна линии контакта, полученные при решении задачи с помощью предлагаемойтеории. Они нарисованы красным цветом. Кроме того, фиолетовым и синимцветом изображены графики нормальных и касательных напряжений на линиях, которые находятся на расстоянии 0.05 см сверху и снизу от линии контакта.Фиолетовый и синий графики получены путем решения МКЭ двумерной задачи.350Рис.
6.21: Нормальные и касательные напряжения на линии контактаНаблюдается хорошая корреляция между решениями предлагаемой теорией и решениями МКЭ. Графики, полученные при решении задачи посредствомпредлагаемой теории, расположены примерно посередине графиков, полученных путем решения МКЭ двумерной задачи.351ЗАКЛЮЧЕНИЕОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ СВОДЯТСЯ КСЛЕДУЮЩЕМУ:1. Предложены различные параметризации областей однослойного и многослойного тонких тел.
Создан новый тензорный аппарат для полного описанияпредложенных параметризаций и введен аппарат дифференциальных операторов для теорий тонких тел. Сформулированы фундаментальные теоремы дляобластей тонких тел при рассмотренных параметризациях;2. Получены некоторые рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра и Чебышева, применяемые при моделировании деформирования тонких тел;3.
Построена теория моментов относительно систем полиномов Лежандраи Чебышева. Даны представления уравнений движения и притока тепла и ОСфизического и теплового содержаний при рассматриваемых параметризациях,а также в моментах для теории тонких тел. Выведены граничные и начальныеусловия в моментах;4. На основании развитого метода ортогональных полиномов (Лежандра иЧебышева) построены новые варианты теорий упругих тонких тел (однослойных и многослойных тонких тел с одним малым размером, а также тонких телс двумя малыми размерами и тонких плоских областей с одним малым размером) при различных параметризациях областей этих тел, среди которых новаяпараметризация более доступная к экспериментальному изучению;5.
Из вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно, а также обобщенных вариационных принципов типа Рейсснера в рамках трехмерной микрополярной теории получены соответствующие вариационные принципы для теориитонких тел, а из последних выведены соответствующие вариационные принципы для теории тонких тел в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева. При этом для микрополярной теории многослойных тонких тел,как при полном контакте, так и при наличии зон ослабленной адгезии, получены только обобщенные вариационные принципы типа Рейсснера, так как изних легко выводятся остальные (Лагранжа, Кастильяно).
Доказаны теоремы оминимуме стационарной точки лагранжиана и максимуме стационарной точкикастильяниана, а также теорема о единственности обобщенного решения краевых задач;6. Даны постановки связанной и несвязанной динамических задач в моментах для тонких тел. Построены корректирующие слагаемые, позволяющие удовлетворять граничным условиям на лицевых поверхностях. По способу В.В.Понятовского найдены различные выражения для компонент тензора напряжений, которые удовлетворяют граничным условиям. Доказано, что способ В.В.Понятовского эквивалентен способу разложения всех компонент тензора напряжений в ряды по рассматриваемой системе ортогональных полиномов;3527. Исходя из трехмерных уравнений микрополярного деформируемого твердого тела, получены уравнения микрополярных и расширенных микрополярных теорий оболочек, оболочек класса TS и призматических оболочек в контравариантных компонентах тензоров напряжений и моментных напряжений.Выведены граничные условия.
Даны сравнения уравнений некоторых теорий.Сформулирована кинематическая гипотеза для теории тонких тел;8. Найдены обратные тензоры-операторы к тензору-оператору уравненийдвижения теории упругости в перемещениях изотропного однородного материала и оператору напряжения, позволяющие расщеплять уравнения и граничные условия. Построен обратный оператор к матричному дифференциальномутензору-оператору уравнений движения микрополярной теории упругости в перемещениях и вращениях как для изотропных однородных материалов с центром симметрии, так и для материалов, не обладающих центром симметрии.В этих случаях получены уравнения по отдельности векторов перемещений ивращений.
Расщепленные уравнения получены и для редуцированной среды(при этом уравнение относительно вектора перемещений совпадает с уравнением классической теории, а уравнение относительно вектора вращений имеетаналогичный вид. Кроме того, при отсутствии объемных нагрузок уравненияредуцированной среды не зависят от свойств материала, что наводит на мысль,что эти уравнения могут быть использованы для идентификации материальных констант этой среды). Построен также обратный оператор к матричномудифференциальному тензору-оператору напряжения и моментного напряженияв случае редуцированной среды с кусочно-гладкой плоской границей. Выявлены случаи, для которых легко обратить оператор напряжения и моментногонапряжения;9.
Из расщепленных уравнений классической и микрополярной теорий упругости получены соответствующие расщепленные уравнения статической (квазистатической) задачи теорий призматических тел постоянной толщины в перемещениях в классическом случае и в перемещениях и вращениях в микрополярномслучае. Из последних систем уравнений в свою очередь выведены уравненияв моментах неизвестных вектор-функций относительно любых систем ортогональных полиномов. Получены системы уравнений различных приближений (снулевого по восьмого порядка) в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева второго рода.
При этом эти уравнения выведены как безучета граничных условий на лицевых поверхностях, так и с учетом этих условий. Начиная с первого приближения, системы уравнений распадаются на двесистемы. Одна из них — система относительно моментов четных порядков неизвестной векторной функции, а другая относительно моментов нечетных порядков той же функций. На основании найденного обратного оператора к оператору любой из этих систем для каждого момента неизвестной векторной функцииполучается уравнение эллиптического типа высокого порядка (порядок системызависит от порядка приближения), характеристические корни которого легконаходятся. Используя метод И.Н.Векуа для решения таких уравнений, можнополучить их аналитическое решение;35310.
Расщепленные уравнения в моментах векторов перемещений и вращенийотносительно произвольной системы полиномов (Лежандра, Чебышева) получены для микрополярной теории призматических тонких тел с двумя малымиразмерами, имеющих поперечное сечение в виде прямоугольника. Аналогичные уравнения получены и для редуцированной среды, содержащие уравнениеклассической среды;11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
