Диссертация (786091), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Доказано, что такой способпредставления компонент тензора напряжений эквивалентен способу разложения всех компонент тензора напряжений в ряды по рассматриваемой системеклассических ортогональных полиномов.Рассмотрим призматическое тело постоянной толщины 2h. В качестве базовой плоскости возьмем серединную плоскость.
Плоскость x1 x2 декартовой системы координат x1 x2 x3 совместим со срединной плоскостью. Ось x3 направимвертикально вверх. Используем классическую параметризацию. Тогда, очевидно, −h ≤ x3 ≤ h.Уравнения равновесия для данного призматического тела можно записатьв видеPIJ,J + PI3,3 + ρFI = 0,P3J,J + P33,3 + ρF3 = 0.(3.8.1)Согласно предложенному выше способу представления компонент тензоранапряжений компоненты PIJ разлагаем в ряды, например, по системе полиномов ЛежандраPIJ =∞ (k)∑P IJ Pk (ω),k=0ω=x3,h(3.8.2)а выражения для компонент Pi3 находим из уравнений равновесия (3.8.1) спомощью моментов компонент PIJ и объемных сил.205Интегрируя первое соотношение (3.8.1) от −h до x3 , получим(−)PI3 = P I3 − ∂J∫x3−hPIJ dx −3∫x3ρFI dx3 .(3.8.3)−hИз (3.8.1) видно, что для нахождения выражения для PI3 надо найти выра∫x3жение для интеграла PIJ dx3 с учетом (3.8.2).−hУчитывая∫1−1P0 dω = ω + 1,∫1−1Pk dω =1[Pk+1 (ω) − Pk−1 (ω)],2k + 1k ≥ 1,(3.8.4)после простых выкладок получим∫x3(0)PIJ dx3 = hP IJ [P1 (ω) + 1] + h−h∞ (k)∑P IJk=11[Pk+1 (ω) − Pk−1 (ω)].2k + 1(3.8.5)Нетрудно заметить, что если объемные силы аналогично (3.8.2) представитьв видеρFi =∞ (k)∑Φ i Pk (ω),(3.8.6)k=0то подобно (3.8.5) будем иметь∫x3(0)Fi dx3 = h Φ i [P1 (ω) + 1] + h−h∞ (k)∑Φik=11[Pk+1 (ω) − Pk−1 (ω)].2k + 1(3.8.7)Учитывая (3.8.5) и (3.8.7) при i = I, из (3.8.3) получим(−)(0)(0)PI3 = P I3 −h(P IJ,J + Φ I )[P1 (ω) + 1]−h∞∑(k)(k)1(P IJ,J + Φ I )[Pk+1 (ω)−Pk−1 (ω)].k=1 2k + 1(3.8.8)С целью сокращения письма введем обозначения(k)(k)(k)T I = P IJ,J + Φ I ,(k)(k)(k)(k)(k)T = T I,I = P IJ,IJ + Φ I,I ,(k)(k)Q = P 3J,J + Φ 3(3.8.9)и приведем сумму в (3.8.8) к другому виду.
Нетрудно видеть, что для суммы,входящей в (3.8.8) имеем(k)∞∑(k)∞∞(k)(k)∑∑1TITI(P IJ,J + Φ I )[Pk+1 (ω)−Pk−1 (ω)] =Pk+1 −Pk−1 =k=1 2k + 1k=1 2k + 1k=1 2k + 1 (k−1)(k+1)(k+1)(k−1)∞∞∞(1)(0)∑∑∑TI1TI T I − T I Pk ,Pk −Pk = − T I − T I P1 +=32k − 1 2k + 3k=0 2k + 3k=1k=2 2k − 1т.е.∞∑∞∑(k−1)(k+1)11 T I − T I Pk (ω),(P IJ,J + Φ I )[Pk+1 −Pk−1 ] = − T I − T I P1 +32k − 1 2k + 3k=1k=1 2k + 1 (k−1)(k+1)∞∞(0)∑∑1 (k)1 (1) Φ i − Φ i Pk (ω),Φ i [Pk+1 (ω)−Pk−1 (ω)] = − Φ i − Φ i P1 +32k − 1 2k + 3k=1 2k + 1k=1(k)(k)(1)(0)(3.8.10)206где вторая формула написана по аналогии первой.Учитывая первое соотношение (3.8.10), из (3.8.8) получим еще одно следующее представление компонент PI3 :(k−1)(k+1)∞(−)(0)1 (1) ∑ T I − T I Pk .PI3 = P I3 −h T I + T I −32k − 1 2k + 3k=1(3.8.11)Применим теперь к уравнениям равновесия (3.8.1) оператор моментов kго порядка какой-либо системы ортогональных полиномов и представим их вмоментах. В силу обозначений (3.8.9) будем иметь(k)TI +1 (k)′P = 0,h I3(k)Q+1 (k)′P = 0,h 33k = 0, ∞.(3.8.12)Заметим, что система уравнений (3.8.12) верна для любой системы ортогональных полиномов.
При применении системы полиномов Лежандра в силупредставления "штрих" оператора система уравнений (3.8.12) можно представить в виде{}k(p)(−)) ∑1 (k)′2k + 1 ((+)kk+pP I3 − (−1) P I3 + [1 − (−1) }]P I3 ,TI = − P I3 = −h2hp=0{}k(k)(p)(−) )∑1 (k)′2k + 1 ((+)kk+pQ = − P 33 = −P 33 − (−1) P 33 + [1 − (−1) ]P 33 , k = 0, ∞.h2hp=0(k)(3.8.13)Нетрудно доказать, что в силу (3.8.13) имеют место соотношения(k+1)(k−1)(k+1)TITI1 (k)−= P I3 ,2k + 3 2k − 1h(k−1)QQ1 (k)−= P 33 ,2k + 3 2k − 1hk ≥ 1.(3.8.14)Выпишем теперь несколько первых уравнений на основании (3.8.13). Нетрудно заметить, что из первого уравнения (3.8.13) находим1 (0)′TI = − PI3h(1)1 (1)′TI = − PI3h(2)1 (2)′TI = − PI3h(3)1 (3)′TI = − PI3h(0)(−))1 ((+)P I3 − P I3 ,2h(−))3 ((+)=−P I3 + P I3 +2h(−))5 ((+)=−P I3 − P I3 +2h(−))7 ((+)=−P I3 + P I3 +2h=−3 (0)P I3 ,h5 (1)P I3 ,h(2))7 ((0)P I3 + P I3 .h(3.8.15)Видно, что подобные (3.8.15) соотношения из второго уравнения (3.8.13)получим, если TI и PI3 в (3.8.15) заменить на Q и P33 соответственно.
Будемиметь(0)(0)(0)(0)(+)(−)1 ′Q = PI3,I + Φ 3 = − P33h(1)(1)(1)1 (1)′Q = PI3,I + Φ 3 = − P33h(2)(2)(2)1 (2)′Q = PI3,I + Φ 3 = − P33h(3)(3)(3)1 (3)′Q = PI3,I + Φ 3 = − P33h)1(P 33 − P 33 ,2h(−) )3 ((+)=−P 33 + P 33 +2h(−))5 ((+)=−P 33 − P 33 +2h(−) )7 ((+)=−P 33 + P 33 +2h=−3 (0)P 33 ,h5 (1)P 33 ,h(2))7 ((0)P 33 + P 33 .h(3.8.16)207Далее на основании (3.8.15) дадим различные представления компонент PI3таким образом, чтобы были удовлетворены граничные условия. Например, всилу первого уравнения (3.8.15) из (3.8.8) имеем(−)PI3 = P I3 +∞(k)(k)(−))∑1 ((+)1P I3 − P I3 [P1 (ω) + 1]−h(P IJ,J + Φ I )[Pk+1 (ω)−Pk−1 (ω)].2k=1 2k + 1(3.8.17)Выделим теперь из суммы в (3.8.17) одно слагаемое и в полученном соотношении учтем второе уравнение (3.8.15). После простых выкладок получим(0)PI3 = [1 − P2 (ω)]P I3 +(−)(−)))1 ((+)1 ((+)P I3 − P I3 P1 (ω)+ P I3 + P I3 P2 (ω)−22∞(k)(k)∑1−h(P IJ,J + Φ I )[Pk+1 (ω)−Pk−1 (ω)].k=2 2k + 1(3.8.18)Легко проверить, что при представлениях PI3 в виде (3.8.17) и (3.8.18) удовлетворяются соответствующие граничные условия на лицевых поверхностях.Заменяя сумму в (3.8.18) на основании первого соотношения (3.8.10), а затемв полученном соотношении учитывая третье и четвертое уравнения из (3.8.15),будем иметь(0)(1)(2)PI3 = P I3 + P I3 P1 (ω)+ P I3 P2 (ω) + h∞∑k=3(k+1)(k−1)TITI Pk (ω).−2k + 3 2k − 1Отсюда в силу первого равенства (3.8.14) находимPI3 =∞ (k)∑P I3 Pk (ω).(3.8.19)k=0Очевидно, представляя PI3 в виде ряда (3.8.14), в силу первого равенства(3.8.14) и системы уравнений равновесия в моментах (см.
(3.8.13), а также(3.8.15)) можно получить различные выражения для PI3 , в том числе и выведенные выше, таким образом, чтобы были удовлетворены граничные условияна лицевых поверхностях.Таким образом, если PIJ представляем в виде ряда (3.8.2), то нахождение(k)(k)PI3 из уравнений равновесия с помощью моментов P IJ и ΦI эквивалентно представлению PI3 в виде ряда (3.8.19). Забегая вперед, скажем, что аналогичнаякартина имеет место и для P33 .Нетрудно заметить, что в силу первого равенства (3.8.10) соотношение (3.8.18)можно еще представить в виде(0)PI3 = [1 − P2 (ω)]P I3 +(−)(−)))1 ((+)1 ((+)P I3 − P I3 P1 (ω)+ P I3 + P I3 P2 (ω)+22(k+1)(k−1)∞∑h (2)h (3) T I − T I Pk (ω).+ TI P1 (ω)+ TI P2 (ω) + h572k + 3 2k − 1k=3(3.8.20)208(0)Учитывая выражения для P I3 , получаемое из второго равенства (3.8.15),формулу (3.8.20) можно записать в формеPI3 =(−)(−)) 1 ((+))1 ((+)h (1)P I3 + P I3 + P I3 − P I3 P1 (ω) + TI +223 (k+1)(k−1)∞(2)∑h T I − T I Pk (ω).+ TI P1 (ω) + h52k + 3 2k − 1k=2(3.8.21)Интегрируя теперь второе соотношение (3.8.1) от −h до x3 , аналогично(3.8.3) найдем(−)P33 = P 33 − ∂J∫x3−hPI3 dx3 −∫x3ρF3 dx3 .(3.8.22)−hДалее, учитывая (3.8.4) и (3.8.21), после простых выкладок будем иметь∫x3(−)(−)))h ((+)h ((+)h2 (1)P I3 + P I3 [P1 (ω) + 1] +P I3 − P I3 [P2 (ω) − 1] + TI (P1 + 1)+263 (k+1)(k−1)∞∑h2 (2)1 TITI [Pk+1 (ω) − Pk−1 (ω)].+ TI [P2 (ω) − 1] + h2−152k + 3 2k − 1k=2 2k + 1PI3 dx3 =−h(3.8.23)Приведем сумму в (3.8.23) к другому виду.
Осуществляя простые выкладки,будем иметь( 1 (1)1 TITI 1 (3) )[Pk+1 (ω) − Pk−1 (ω)] =−TI − TI P1 (ω)+2k + 3 2k − 11535k=2 2k + 1∞∑(k+1)(k−1)(k−2)(k)(k+2)( 1 (0) 1 (2) )]∞ [∑TI2 TITI+ TI − TI P2 −−+Pk =315(2k−1)(2k+3) (2k+3)(2k+5)k=2 (2k−3)(2k−1)1 (1)1 (2)= TI [P1 (ω) − P3 (ω)] + TI [1 − P2 (ω)]−1515]∞ (k) [∑Pk−2 (ω)2Pk (ω)Pk+2 (ω)−TI−+.(2k − 1)(2k + 1) (2k − 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3)k=2(3.8.24)На основании (3.8.24) из (3.8.23) получим∫x3(−)(−)))h ((+)h ((+)h2 (1)P I3 + P I3 (P1 +1)+ P I3 − P I3 (P2 −1)− TI (P3 −6P1 −5)−2615[]∞(k)∑Pk−2 (ω)2Pk (ω)Pk+2 (ω)−h2TI−+.(2k − 1)(2k + 1) (2k − 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3)k=2PI3 dx3 =−h(3.8.25)Учитывая (3.8.7) при i = 3 и (3.8.25), из (3.8.22) будем иметь(−)(−)(−)))h ((+)h ((+)h2 (1)P I3,I + P I3,I (P1 +1)− P I3,I − P I3,I (P2 −1)+ T (P3 −6P1 −5)+2615]∞ (k)[∑2P(ω)Pk+2 (ω)P(ω)kk−2+h2T−+−(2k − 1)(2k + 1) (2k − 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3)k=2∞ (k)(0)∑1−h Φ 3 [P1 (ω) + 1] − hΦ3[Pk+1 (ω) − Pk−1 (ω)].2k + 1k=1P33 = P 33 −(3.8.26)209Нетрудно заметить, что в силу вторых соотношений (3.8.15) и (3.8.16) находим[](1)T =−(−)(−) )) 3 (0)3 ((+)3 ((+)P I3,I + P I3,I + Φ 3 + 2 P 33 + P 33 .2hh2h(3.8.27)Обозначим сумму слагаемых в (3.8.26), за исключением сумм, через A.
Тогдав силу (3.8.27) ее можно представить в виде(−)(−)1 (+)1 (+)A = ( P 33 + P 33 ) + ( P 33 − P 33 )[6P1 (ω) − P3 (ω)]+210[ h ((+)(−)(−))) h (0) ]h ((+)P I3,I + P I3,I + Φ 3 [P1 (ω) − P3 (ω)].+ P I3,I − P I3,I [1 − P2 (ω)] +6105(3.8.28)Нетрудно заметить, что на основании формул (3.8.15) и (3.8.16) из (3.8.28)можно исключить касательные напряжения и представить его в различных ввидах.
В самом деле, например, из вторых и третьих соотношений (3.8.15) и(3.8.16) буде иметь(+)(−)(+)(−)2h (1)T−32h (2)=− T −5P I3,I + P I3,I = −P I3,I − P I3,I(−)(0)1 (+)( P 33 − P 33 ) − 2 Φ 3 ,h(−)(1)3 (+)6 (0)( P 33 + P 33 ) + P 33 − 2 Φ 3 .hh(3.8.29)Учитывая (3.8.29), соотношение (3.8.28) можно записать в форме(0)(−)(−)1 (+)1 (+)A = [1 − P2 (ω)]P 33 + ( P 33 − P 33 )P1 (ω) + ( P 33 + P 33 )P2 (ω)+22( h2 (2) h (1) )h2 (1)+T + Φ 3 [P2 (ω) − 1] + T [P3 (ω) − P1 (ω)].15315(3.8.30)На основании (3.8.28) и (3.8.30) соотношение (3.8.26) можно представить вследующих формах:(−)(−)1 (+)1 (+)P33 = ( P 33 + P 33 ) + ( P 33 − P 33 )[6P1 (ω) − P3 (ω)]+210[ h ((+)(−)(−))) h (0) ]h ((+)+ P I3,I − P I3,I [1 − P2 (ω)] +P I3,I + P I3,I + Φ 3 [P1 (ω) − P3 (ω)]+6105]∞ (k)[∑2Pk (ω)Pk+2 (ω)Pk−2 (ω)2−+−+hT(2k − 1)(2k + 1) (2k − 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3)k=2∞∑1 (k)Φ 3 [Pk+1 (ω) − Pk−1 (ω)] =−hk=1 2k + 1(3.8.31)(−)(−)(0)1 (+)1 (+)= [1 − P2 (ω)]P 33 + ( P 33 − P 33 )P1 (ω) + ( P 33 + P 33 )P2 (ω)+22h2 (2)h2 (1)+ T [P2 (ω) − 1] + T [P3 (ω) − P1 (ω)]+1515][∞ (k)∑2Pk (ω)Pk+2 (ω)Pk−2 (ω)−+−+h2T(2k − 1)(2k + 1) (2k − 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3)k=2∞∑1 (k)Φ 3 [Pk+1 (ω) − Pk−1 (ω)].−hk=2 2k + 1Следует заметить, что в силу (3.8.24) соотношения (3.8.31) можно представить еще в других видах.
С целью сокращения письма выписывать их не будем.210Важен тот факт, что существуют различные представления компонент Pi3 , удовлетворяющие граничным условиям на лицевых поверхностях.Заметим также, что И.Н.Векуа, представляя компоненты тензора напряжений и вектора перемещений в виде [69](0)(1)PIJ = P IJ + P IJ P1 (ω),(0)(1)(2)u = u + uP1 (ω) + uP2 (ω),(0)(−)(−)1 (+)1 (+)Pi3 = [1 − P2 (ω)]P i3 + ( P i3 − P i3 )P1 (ω) + ( P i3 + P i3 )P2 (ω),22(3.8.32)построил расширенную теорию оболочек и дал общее решение системы уравнений теории пластин, вытекающей из этой расширенной теории оболочек.
Видно,что представления компонент Pi3 с помощью соответствующих формул (3.8.32)являются частным случаем приведенных выше представлений. Кроме того, отметим, что приведенные выше представления компоненты P33 эквивалентныразложению этой компоненты в ряд по системе полиномов Лежандра (доказывается аналогично приведенному выше доказательству для компонент PI3 ),а также представления компонент в форме В.В.Понятовского получаются изприведенных выше представлений при отсутствии объемных сил и касательных напряжений на лицевых поверхностях.Зная представления компонент тензора напряжений, с помощью закона Гуканетрудно найти выражения для компонент тензора деформаций, посредствомкоторых в свою очередь можно определить вектор перемещений.Наконец, отметим, что приведенный выше способ легко обобщается на микрополярную теорию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
