Диссертация (786091), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Из этих постановок задач нетрудно получить постановки соответствующих статических и квазистатических задач, а также, придавая различные значения r и N , постановки задач в моментах желаемых приближений.Кроме того, можно получить постановки задач при изотермических процессах. Наконец, если во всех приведенных и упомянутых выше постановках задачпренебречь моментами моментных напряжений и вектора внутреннего вращения, то получатся соответствующие постановки задач в моментах приближения(r, N ) классических теорий ТУТТ и УТТ. Следует заметить, что постановкизадач микрополярной теории для произвольного анизотропного материала приклассической параметризации и параметризации посредством произвольной базовой поверхности области тонкого тела с применением полиномов Лежандрарассмотрены также в [265] и [285] соответственно (см. также [304–306]).3.7Построение корректирующего слагаемого, обеспечивающего выполнение граничных условий на лицевых поверхностях при упрощенном методе редукцииПри упрощенном методе постановка задач, например, постановка связаннойдинамической задачи в моментах приближения (r, N ) микрополярной теорииТУТТ включает в себя:1) систему уравнений движения в моментах приближения (r, N ) микрополярной ТМДТТТ (3.3.83),2) систему уравнений притока тепла в моментах приближения (r, N ) микрополярной ТМДТТТ (3.3.86),3) систему ОС в моментах приближения (r, N ) микрополярной теории ТУТТпри упрощенном методе редукции,4) систему законов теплопроводности Фурье (ОС теплового содержания) вмоментах приближения (r, N ) при упрощенном методе редукции,5) в зависимости от типа краевых задач одну из следующих систем граничных условий в моментах:5а) систему кинематических граничных условий в моментах приближенияN (3.5.25) для первой краевой задачи и какую-нибудь систему из трех родов193систем граничных условий теплового содержания в моментах (3.5.54), (3.5.56)или (3.5.59),5b) систему статических граничных условий в моментах приближения(r, N ) микрополярной МДТТТ (3.5.53) для второй краевой задачи и какуюнибудь систему из трех родов систем граничных условий теплового содержанияв моментах (3.5.54), (3.5.56) или (3.5.59),5c) систему кинематических граничных условий в моментах приближенияN (3.5.25) на одной части граничного контура и систему статических граничных условий в моментах приближения (r, N )микрополярной МДТТТ (3.5.53) наостальной части граничного контура для смешанной краевой задачи и какуюнибудь систему из трех родов систем граничных условий теплового содержанияв моментах (3.5.54), (3.5.56) или (3.5.59),6) системы начальных условий кинематического (3.5.62) и теплового (3.5.63)содержаний в моментах приближения N .Решение этой краевой задачи, которое позволяет построить приближенныевыражения для искомых полей температуры, векторов перемещения, вращенияи потока тепла, а также тензоров напряжений и моментных напряжений в видеu(N ) (x′ , x3 ) =N (k)∑u(x′ )Û ∗k (x3 ),k=0N∑φ(N ) (x′ , x3 ) =N (k)∑φ (x′ )Û ∗k (x3 ),k=0N (k)∑P(r,N ) (x′ )Û ∗k (x3 ), µ (r,N ) (x′ , x3 ) =P(r,N ) (x′ , x3 ) =µ (r,N ) (x′ )Û ∗k (x3 ),ek=0 ek=0eeN (k)N (k)∑∑T(N ) (x′ , x3 ) =T (x′ )Û ∗k (x3 ), q(r,N ) (x′ , x3 ) =q (r,N ) (x′ )Û ∗k (x3 )(k)k=0(3.7.1)k=0(−)(+)не согласованы с краевыми условиями на лицевых поверхностях S и S .

Следовательно, они могут оказаться весьма грубыми вблизи лицевых поверхностей.Поэтому возникает вопрос, нельзя ли к приближенному решению рассматриваемой краевой задачи добавить корректирующее слагаемое, удовлетворяющееследующим условиям:1) сумма найденного приближенного решения рассматриваемой краевой задачи и соответствующего корректирующего слагаемого согласована с краевыми(−)(+)условиями на лицевых поверхностях S и S ,2) моменты корректирующего (добавочного) слагаемого обращаются в нуль,если их порядок не превосходит N ,3) нормы корректирующего слагаемого и при необходимости определяемогопосредством него корректирующего слагаемого для поля другой искомой величины можно сделать сколь угодно малыми внутри области тонкого тела.Ниже рассмотрим способы построения корректирующих слагаемых при различных заданных условиях на лицевых поверхностях. При этом все необходимые соотношения выведем для классической теории, на основании которых всвою очередь выпишем подобные формулы для микрополярной теории.

Крометого, с целью сокращения письма, вначале рассмотрим изотермические процессы, а затем укажем способы нахождения корректирующих слагаемых и принеизотермических процессах.1943.7.1Способы определения корректирующих слагаемых при постановках изотермических задач в перемещениях и вращенияхВ этом случае для задач приближения (r, N ) вместо (3.7.1) будем иметь следующие приближенные решенияu(N ) (x′ , x3 ) =′N (k)∑u(x′ )Û ∗k (x3 ),k=0N∑3φ(N ) (x′ , x3 ) =N (k)∑φ (x′ )Û ∗k (x3 ),k=0(k)P(r,N ) (x , x ) =P(r,N ) (xek=0 e′)Û ∗k (x3 ),(3.7.2)N (k)∑µ (r,N ) (x , x ) =µ (r,N ) (x′ )Û ∗k (x3 ),k=0ee′3которые удовлетворяют соответствующим граничным условиям на боковой(−)(+)грани, но не удовлетворяют условиям на лицевых поверхностях S и S .1.

Нахождение корректирующих слагаемых в том случае, когда на лицевых поверхностях заданы векторы перемещений и вращений. Пусть на лицевых поверхностях заданы векторы перемещений и вращений(−)u(x′ , x3 )= u (x′ ),x3 =0 (−)= φ (x′ ),φ (x′ , x3 )3x =0(+)= u (x′ ),u(x′ , x3 )x3 =1 (+)φ (x′ , x3 )= φ (x′ ).3(3.7.3)x =1Так как приближенные решения u(N ) (x′ , x3 ) и φ (N ) (x′ , x3 ) из (3.7.2) не удовлетворяют условиям (3.7.3) на лицевых поверхностях, поэтому следует найтипоправочные слагаемые u0 (x′ , x3 ) и φ0 (x′ , x3 ), удовлетворяющие условиям:1) поля перемещения u = u(N ) + u0 и вращения φ = φ (N ) + φ 0 согласованыс краевыми условиями (3.7.3),(k)(k)2) моменты u 0 и φ 0 векторных полей u0 и φ 0 обращаются в нуль, еслиk ≤ N,3) абсолютные значения векторных полей u0 и φ 0 можно сделать сколь угодно малыми внутри области тонкого тела, т.е. для любого ε > 0 существуетδ(ε) > 0, что выполняются условия(−)φ0 (x′ , x3 )| < 0, 0 < δ < x3 < 1 − δ, x′ ∈ S .|u0 (x′ , x3 )| < ε, |φ(3.7.4)Докажем, что векторные поля u0 и φ 0 , удовлетворяющие указанным условиям,существуют.

Сперва построим векторное поле u0 . Ищем его в видеu0 (x′ , x3 ) = Am (x′ )Û ∗m (x3 ) + Am+1 (x′ )Û ∗m+1 (x3 ),m > N,(3.7.5)где m — любое фиксированное достаточно большое целое число больше N .Учитывая значения ортонормированных смещенных многочленов Чебышева второго рода на концах сегмента (2.5.16), из (3.7.5) находим√√ππ (+)m (−)(m + 1)Am −(m+2)Am+1 =(−1) u 0 , (m + 1)Am +(m+2)Am+1 =u 0,22гдеu 0 = u0 (−)x3 =0u (N ) = u(N ) (−)(−)(−)(+)(+)= u − u (N ) ,u 0 = u0 x3 =1.= u(N ) = u − u (N ) ,x3 =0,(+)u (N )(3.7.6)(+)(3.7.7)x3 =1Разрешая (3.7.6) относительно Am и Am+1 и учитывая (3.7.7), получим√′As (x ) =[(−)]}](−)π {[(+) ′ (+)u (x )− u (N ) (x′ ) +(−1)s u (x′ )− u (N ) (x′ ) , s = m, m + 1.4(s + 1)(3.7.8)195Подставляя выражения для Am и Am+1 из (3.7.8) в (3.7.5), будем иметь√][(−)]}(−)π {[(+) ′ (+)u0 (x , x ) =u (x )− u (N ) (x′ ) +(−1)m u (x′ )− u (N ) (x′ ) Û ∗m (x3 )+4(m + 1)√{[(+) ′ (+)[(−)]]}(−)π+u (x )− u (N ) (x′ ) +(−1)m+1 u (x′ )− u (N ) (x′ ) Û ∗m+1 (x3 ), m > N.4(m + 2)′3(3.7.9)Рассматривая вместо ортонормальных смещенных полиномов Чебышева второго рода стандартизованные смещенные полиномы Лежандра {Pk∗ }∞k=0 и осуществляя аналогичные выкладки, вместо (3.7.9) получим][(−)]}(+)(−)1 {[(+) ′u0 (x′ , x3 ) =u (x ) − u (N ) (x′ ) + (−1)m u (x′ ) − u (N ) (x′ ) Pm∗ (x3 )+2][]} ∗(+)(−)1 {[(+) ′′m+1 (−) ′′+u (x ) − u (N ) (x ) + (−1)u (x ) − u (N ) (x ) Pm+1 (x3 ), m > N.2(3.7.10)Теперь не представляет большого труда получить аналогичные (3.7.9) и (3.7.10)выражения для φ 0 .

В самом деле, произведя совершенно подобные выкладки,найдем√][(−)]}(−)π {[(+) ′ (+)φ 0 (x , x ) =φ (x )− φ (N ) (x′ ) +(−1)m φ (x′ )− φ (N ) (x′ ) Û ∗m (x3 )+4(m + 1)√{[(+) ′ (+)][]} ∗(−)π′m+1 (−) ′′+φ (x )− φ (N ) (x ) +(−1)φ (x )− φ (N ) (x ) Û m+1 (x3 ), m > N,4(m + 2)(3.7.11)][(−)]}(+)(−)1 {[(+) ′φ (x ) − φ (N ) (x′ ) + (−1)m φ (x′ ) − φ (N ) (x′ ) Pm∗ (x3 )+φ 0 (x′ , x3 ) =2][]} ∗(+)(−)1 {[(+) ′′m+1 (−) ′′+φ (x ) − φ (N ) (x ) + (−1)φ (x ) − φ (N ) (x ) Pm+1 (x3 ), m > N.2(3.7.12)′3Нетрудно заметить, что для ортонормированных смещенных полиномов Чебышева второго рода и стандартизованных смещенных полиномов Лежандра насегменте [0, 1] имеют место соотношения√212t(1 − t) |Û ∗n (t)| ≤ √ ,|Û ∗n (t)| ≤ √ ,n+1ππ√ √4∗∗|Pn (t)| ≤ 1,πn t(1 − t)|Pn (t)| ≤ 1, t ∈ [0, 1],2(3.7.13)которые получаются из аналогичных соотношений для этих полиномов [394]на сегменте [−1, 1], если в них x заменить на 2t−1.

Складывая почленно первыедва, а потом последние два из неравенств (3.7.13), получим важные соотношения41|Û ∗n (t)| ≤ √ √π2 t(1 − t) +1n+1,2|Pn∗ (t)| ≤ √ √,4πn t(1 − t) + 1t ∈ [0, 1],(3.7.14)из которых видно, каким образом оценка этих полиномов внутри интервала(0, 1) переходит в оценку на его концах.Легко проверить, что построенные функции (3.7.9)–(3.7.12) удовлетворяютвсем вышеперечисленным условиям, поэтому они — в рассматриваемом случаекорректирующие слагаемые, являющиеся в тоже время частными решениямиприближенной системы уравнений. Заметим, что при оценке абсолютных велиφ0 | следует использовать (3.7.14).чин |u0 | и |φ1962.

Определение корректирующих слагаемых тогда, когда на лицевых поверхностях заданы статические условия (условия физического содержания).В этом случае нужно определить корректирующие слагаемые U0 (x′ , x3 ) иΦ 0 (x′ , x3 ), которые удовлетворяют следующим условиям:1) поля тензоров напряжений P и моментных напряжений µ, соответствуюeΦ0 , согласованыщие полям векторов перемещенийeu(N ) + U0 и вращений φ (N ) +Φ(−)(+)с краевыми условиями на лицевых поверхностях S и S ,(k)(k)2) моменты U0 и φ 0 векторных полей U0 и φ 0 обращаются в нуль, еслиk ≤ N,Φ0 || = |ΦΦ0 |) и полей3) нормы векторных полей U0 (||U0 || = √|U0 |) и Φ 0 (||Φ2тензора напряжений P(r) (U0 , Φ 0 ) (||P(r) || = P(r) ⊗P(r) ) и моментных напря√eeee2µ(r) || = µ (r) ⊗µµ(r) ) приближения порядка r можно сдежений µ (r) (U0 , Φ 0 ) (||µeeeeлать сколь угодно малыми внутри областитонкого тела, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации