Диссертация (786091), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Назовем их ОС физического содержания в моментах приближения (r, M ) микрополярной теориинеоднородных упругих тонких тел. При упрощенной схеме редукции бесконечной системы уравнений к конечной в качестве ОС могут быть рассмотрены(3.4.20), которые назовем ОС физического содержания в моментах приближения (r, M, N ) микрополярной теории неоднородных упругих тонких тел.Заметить, что, исходя из (3.2.5), найдем ОС в моментах приближения (0, M )микрополярной теории неоднородных упругих тонких тел, которые также можно получить из (3.4.19) при r = 0.3.4.3Представления закона теплопроводности Фурье в моментахДля получения этих представлений нет надобности проводить их подробныйвывод.
Их можно выписать с помощью выведенных выше ОС в моментах. Всамом деле, например, из первых соотношений (3.4.3), (3.4.4), (3.4.6), (3.4.7),(3.4.13), (3.4.19) и (3.4.20), соответствующие искомые представления закона теплопроводности Фурье можно получить, если в них положить a = 0, A = 0,(+)(−)ee(+)(−)′′′Λ, T , T и T ′ соответственно. Приφ = 0 и P, C, u, u и u заменить на q, −Λe знаковeэтом числооднократного умножения eуменьшается на одно (там, где естьзнак двукратного умножения, заменяется одним знаком, а там, где — один знак,он опускается).Осуществляя указанную выше замену, например, из первого соотношения(3.4.3), найдем искомую систему законов теплопроводности Фурье в моментахдля однородного материала в виде(k)−(k)− (−)(+)33T ′,T ′ + Λ (k)q (0) = q (0,N ) + Λ (0,k)0 ≤ k ≤ N,(3.4.21)где введены следующие обозначения:−{N− [ (k)(k)(p)]}∑ΛM ∂m T (x′ ) − g +3 k T (x′ ) + 2(k + 1)q (0,N ) ≡ −ΛT (x′ ) −(k)m−Λ−2(k + 1)Λ3N∑p=k+1](p)[1 − (−1)k+p T (x′ ),(3.4.22)k ≥ 0,p=k(+)T ′ (x′ ) =∞∑(p)T (x′ ),T ′ (x′ ) =p=N +1−3Λ (0,k)∞∑(−)(p)(−1)p T (x′ ),p=N +1−−−Λ · (r − g + r ),= −2(k + 1)ΛMe33M−3Λ (k)= −2(k + 1)(−1)−Λ·r .ek+13(3.4.23)170Соотношения (3.4.21) назовем ОС теплового содержания в моментах нулевого приближения микрополярной теории однородных тонких тел.Заметим, что при упрощенной схеме приведения бесконечной системы уравнений к конечной в качестве ОС теплового содержания можно рассматриватьсистему первых N + 1 соотношений (3.4.22), которые назовем ОС теплового содержания в моментах приближения (0, N ) микрополярной теории однородныхтонких тел.Совершенно аналогично изложенному выше можно найти системы законовтеплопроводности Фурье и других приближений как для однородного, так идля неоднородного материала.
В самом деле, например, из (3.4.19) получим ОСтеплового содержания в моментах приближения (r, M ) микрополярной теориинеоднородных тонких тел в виде(k)−(k)(+)q (r,M ) = q (r,M,N ) + Λ (r,k) · u ′ + Λ (k)(M ) 3−(M ) 3(−)· u ′ , k ≥ 0,(3.4.24)где введены следующие обозначения:(k)− [ ∑M ∑k (k+s) { − ∑r2m(l)∑pΛ · rMA P+2−2m C2m∂P T −(m)M p=0n=0 s=0 em=0NN− 2m+2− ∑(p)}[](q)]∑ ∑p−g +32−(2m+1) C2m+2l 1+(−1)l+q T + 2(u + 1)r 3[1 − (−1)u+p ] T ,q (r,M,N ) =P p=0 q=l−1(3.4.25)p=u−−−]M ∑k (k+s) [M ∑k(k+s)−−−∑∑(M ) 333 (k) P MΛ · 2(u + 1)r − g + A(r) + r , Λ (k) ==2(u + 1)(−1)u Λ · r 3 ,PMen=0 s=0 en=0 s=0l = u − m + p = n + k − s − m + p, u = n + k − s, k = 0, N .−(M ) 3Λ (r,k)При упрощенной схеме приведения бесконечной системы уравнений к конечной в качестве ОС теплового содержания можно рассматривать систему первыхN + 1 соотношений (3.4.25), которые назовем ОС теплового содержания в моментах приближения (0, M, N ) микрополярной теории неоднородных тонкихтел.
Видно, что, имея ОС физического содержания, не доставляет труда принеобходимости выписать соответствующие ОС теплового содержания.Следует заметить, что в ОС физического содержания (3.4.3), (3.4.6), (3.4.13)(m)(m)(m)(m)(m)и (3.4.19) входят моменты u , ∂I u , φ , ∂I φ , ϑ , m = 0, N и векторные функции(+)(−)(+)(−)u ′ , u ′ , φ ′ и φ ′ .
При этом функции u ′ , u ′ , φ ′ и φ ′ определяются с помощью(+)(m)(−)(m)(m)(+)(−)(m)u , ∂I u , φ , ϑ , m = 0, N и соответствующих граничных условий на лицевыхповерхностях. Аналогично в ОС теплового содержания (3.4.21), (3.4.24), входят(m)(m)(+)(−)(+)(−)моменты T , ∂I T , m = 0, N и функции T ′ и T ′ . Функции T ′ и T ′ выражаются(m)(m)посредством T , ∂I T , m = 0, N и соответствующих граничных условий на лицевых поверхностях. Ниже будут получены системы для определения векторов(+)(−)(+)(−)функций u ′ , u ′ , φ ′ , φ ′ и функций T ′ , T ′ в зависимости от типа граничных(+)условий на лицевых поверхностях.
При этом способ определения функций u ′ ,(+)(−)171(+)(−)u ′ , φ ′ и φ ′ при граничных условиях физического содержания на лицевых по-(−)(+)(−)верхностях и способ определения функций T ′ , T ′ при граничных условиях второго рода (типа Неймана) и третьего рода (теплообмена с окружающей средойпо закону Ньютона) одинаковы. Определяя эти функции и учитывая их в соответствующих определяющих соотношениях, получим соотношения, которые,следуя Векуа И.Н.
[69], назовем ОС нормированных моментов k-го порядкатензоров напряжений и моментных напряжений и вектора потока тепла. Соотношения нормированных моментов при k = 0, N тензора напряжений содержат(m)(m)(m)(m)моменты u , ∂I u , φ , ϑ , m = 0, N , тензора моментных напряжений – только(m)(m)(m)(m)моменты φ , ∂I φ , m = 0, N , а вектора потока тепла – только моменты T , ∂I T ,m = 0, N . При этом эти соотношения представляют линейные формы от входящих в них величин и, конечно, они согласованы с граничными условиями налицевых поверхностях.Подставляя полученные соотношения нормированных моментов тензоровнапряжений и моментных напряжений в соответствующие уравнения движения в моментах (см.
(3.3.12), (3.3.15) и (3.3.19)) а соотношения нормированныхмоментов вектора потока тепла в уравнения притока тепла в моментах (см.(3.3.81) и (3.3.82)) получим систему 7N + 7 уравнений относительно 7N + 7(m)(m)(m)неизвестных u , φ , ϑ , m = 0, N . Порядок этой системы уравнений равняется14N + 14. При связанной задаче система уравнений притока тепла содержит(m)(m)(m)(m)(m)все неизвестные функции ϑ = T − T 0 , u и φ , m = 0, N . Поэтому системауравнений движения и система уравнений притока тепла в моментах решаютсясовместно.
При несвязанной задаче система уравнений притока тепла содержит(m)только неизвестные функции T , m = 0, N . В этом случае число уравнений всистеме уравнений притока тепла совпадает с числом неизвестных функций исистема уравнений притока тепла решается независимо от системы уравненийдвижений. После чего с учетом полученных решений системы уравнений притока тепла решается система уравнений движения из 6N + 6 уравнений с темже числом неизвестных. Порядок системы уравнений — 12N + 12.Заметим также, что ниже при упрощенной схеме [69] приведения бесконечных систем уравнений в моментах к конечным для любого приближенногорешения соответствующей системы уравнений во многих теоретически возможных случаях найдено корректирующее слагаемое, обеспечивающее выполнениеграничных условий любого содержания на лицевых поверхностях.3.53.5.1О граничных и начальных условияхГраничные условия на лицевых поверхностях.
Определениенормирующих функций кинематического и теплового содержанийСперва рассмотрим граничные условия физического содержания на лицевыхповерхностях и представим их при новой параметризации области тонкого тела.172(+)(−)(+)Пусть P и P — заданные векторы напряжений на лицевых поверхностях S(−)(+)(+)(−)(−)и S соответственно. Обозначим через n и n орты внешних нормалей к S и S(+)(−)соответственно. Тогда в силу последних двух формул (1.3.19) для n и n приновой параметризации будем иметь выражения√−−−n = −(1/ g 3 3 )r 3 ,(−)√√−)+− +++++ ( −3n = (1/ g 3 3 )r = (1/ g 3 3 ) r 3 − g +3 g P− rM .(+)(3.5.1)P MЗдесь в силу (1.1.19), первого соотношения (1.3.18), вторых соотношений первойи третьей строк (1.3.20) имеем√(∓)ϑ =+Kg−M(+)(−)−1g g= g K− 3(±)( −)= ϑ −1 = det g+J ,= ϑM x =1−1+KA− ,M+−g− = − ϑ= ϵKL ϵM N g+N ,L−1 3+++K33KM(∓)3−M x3 =1MI(∓)+AK− = AK− g+ A − ,Mg+=+−−g −3 g−3 g mnm n−−++− −= g 3 3 + g 3− g −3 g M N .M NС помощью (3.5.1) граничные условия на лицевых поверхностях тонкого теламожно представить в виде√√−(−)(−)−−−− (−)−3n · P = −(1/ g 3 3 )r · P = −(1/ g 3 3 ) P 3 = P,√√ee− ) (+)+− +(+)(+)++++ ( −(+) (+)n · P = (1/ g 3 3 )r 3 · P = (1/ g 3 3 ) r 3 − g +3 g P− rM · P = P.P Meee(−)(−)Отсюда, следовательно, получаем−(−)−(−)r ·P = P =−e33где√−− (−)g33P,(−−+r − g+ g − r33 P−MP MP = P,ee x3 =0(−))√++ (+)· P = P = g 3 3 P,e(+)(+)+3(3.5.2)P = P.ee x3 =1(+)(3.5.3)Соотношения (3.5.2) — граничные условия физического содержания на лицевых поверхностях классической теории упругости при новой параметризацииобласти тонкого тела.Рассмотрим теперь аналогичные граничные условия микрополярной теории(+)(−)упругости.
В этой связи обозначим через µ и µ заданные векторы моментных(+)(−)напряжений на лицевых поверхностях S и S соответственно. Тогда аналогично(3.5.2) будем иметь√−− (−)r3 · µ = − g 3 3 µ ,e−(−)() (+)r 3 − g +3 g P− rM · µ =P Me−−+−√++ (+)(3.5.4)g33 µ .Здесь аналогично (3.5.3)µ = µ,ee x3 =0(−)µ = µ.ee x3 =1(+)(3.5.5)Соотношения (3.5.2) и (3.5.4) — граничные условия физического содержаниямикрополярной теории упругости на лицевых поверхностях при новой параметризации области тонкого тела.(+)(−)При неизотермических процессах на лицевых поверхностях S и S соответ(+)(−)ственно могут быть заданы нормальные составляющие q и q вектора потока173тепла q. Тогда граничные условия (граничные условия второго рода или условия типа Неймана) на лицевых поверхностях представляются в форме [338]√−− (−)r · q = − g33 q ,−3(−)где(−−−+r − g+ g − r33 PM)P Mq = q(−)x3 =0√(+)·q =q = q(+),x3 =1++ (+)(−)g 3 3 q , x′ ∈ S ,(3.5.6).(3.5.7)Если заданы граничные условия, соответствующие теплообмену с окружающей средой по закону Ньютона (граничные условия третьего рода) [338].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
