Диссертация (786091), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Теперь, исходя из (3.3.59) и (3.3.60) получим искомые системы уравнений в моментах. Применяя к уравнениям (3.3.59) и (3.3.60)оператор моментов k-го порядка и используя (2.7.2), (2.7.3), (2.7.4), (2.7.10) и(2.7.12) получим соответственно−− (k) (−− (k) (−−−− [((k))))(k)M I J· M NI NJ u +2M I 3 · M NI ∇3 u +M 3 3· u ′′ +2α C I J φ′− − M(NI φ− ) r− +3JIfff−(k)(k)]( −I (k))(k)+M(NI φ− )r− − b r M(NI ϑ) + r 3 ϑ′ + ρ F = ρ ∂t2 u,3J−− (k) (−− (k) (−−−− [((k))))(k)L I J · M NI NJ φ +2L I 3 · M NI ∇3φ +L 3 3 · φ ′′ +2α C I J u′− − M(NI u− ) r− +3JIeee(k)](k)(k)(k)+M(NI φ− )r− − 4α φ + ρm = J · ∂t2 φ , k ∈ N0 ;3Je{−−− − (k) (− − (k) [(k) ())]}IJKL3KL3 2M · M NI NJ u +B ++ M x NK NL u + B ++ M (x ) NK NL u +(1)(2)IJIJf−− [ (k) (−−−(k))()](k)2M I 3· M NI ∇3 u +A+J M x3 NJ ∇3 u + M 3 3 · u ′′ +(1)Iff−− {[− (k)(k)][ (k)(k)3+2αC I J φ ′− − M(NI φ− ) − (1)AKM(xNφ)r+M(NI φ− )+−−+K3I3IJJ] }[ ()](k)3+AK− b r I M(NI ϑ) + A+J M(x3 NJ ϑ) + r 3 ϑ′ + ρ F = ρ ∂t2 u,+ M(x NK φ− ) r−(1)(1)3JII{ (k) (−−− − (k) (− − (k) [))]}IJKL3L3 2L · M NI NJ φ + B ++ M x NK NLφ + B KM(x)NNφ+++K L(1)(2)IJIJe−−−−− (k) ([ (k) ())](k)+2L I 3 · M NI ∇3φ + A+J M x3 NJ ∇3φ + L 3 3 · φ ′′ +(1)Iee−− {[− (k)(k)](k)3+2αC I J u ′− − M(NI u− ) − AK+ M(x NK u− ) r− +− (k)−− (k)(k)3I(1)I−3(3.3.61)(k)(3.3.62)J] }[(k)(k)(k)3− 4α φ + ρm = J · ∂t2 φ , k ∈ N0 .+ M(NI u− ) + AK+ M(x NK u− ) r−(1)3JJIe(k)− (k)Видно, что моменты всех выражений, входящих в (3.3.61) и (3.3.62) уже быливыше найдены и представлены соотношениями (3.3.5), (3.3.28), (3.3.32), (3.3.37),(3.3.38), (3.3.39), (3.3.43), (3.3.44) и (3.3.46).
Поэтому, используя эти соотношения, не представляет никакого труда найти искомые системы уравнений. В самом деле, осуществляя простые выкладки, систему уравнений в перемещенияхи вращениях нулевого приближения в моментах при неизотермических процессах можно записать в виде−− {N (p)−( −)[ (k)(∑(k)(k)(+) )]M I J· ∇I ∇J u − g+3 ∇J +g+3 ∇I k u +2(k + 1)u − u+ u′ +IJfp=kN− −[)(p)((+)∑((+) )]}(k)+(p−k)(p+k+2)−3 u +2(k+1) u ′′ −3 u ′+g+3 g+3 (k+2)(k+3) u +2(k+1)IJp=k155−−N{ ∑((+)(p)(−) )+2(k + 1)M I 3 · 2 (1 − (−1)k+p )∇I u + 2∇I u ′ − (−1)k u ′ −fp=kNN−[((+)∑∑(p)(p)(+)(−) )]}+−g+3 2 (p − k)(p + k + 2) u − 3 (1 − (−1)p+k ) u + 2 u ′′ − 3 u ′ − (−1)k u ′Ip=kp=k−−N((+)[∑(p)(−) )](p − k)(p + k + 2)(1 + (−1)k+p ) u + u ′′ + (−1)k u ′′ ++2(k + 1)M 3 3 ·fp=k−− {{N[∑((+)(k)(p)(−) )](1 − (−1)k+p ) φ − + φ ′− − (−1)k φ ′− − ∇I φ − ++2α C I J 2(k + 1)Ip=kI3IN (p)−[−[{ (k)(∑(k)(+) )]}(k)(k)r− + ∇I φ − − g+3 k φ − +φ − − φ − + φ ′−+g+3 k φ − + 2(k + 1)3I+2(k + 1)p=k33JJ3JIN (p) (k) (+) ))]N (p)} { − [ (k) − ( (k)(∑(∑(k)(+) )]}φ − − φ − + φ ′−r− −b r I ∂I ϑ −g+3 k ϑ + 2(k + 1)ϑ−ϑ+ ϑ′ +Jp=k−+2(k + 1)r 3JN[∑3JIp=k(p)(−) )]}(k)((+)(k)(1 − (−1)k+p ) ϑ + ϑ ′ − (−1)k ϑ ′+ ρ F = ρ ∂t2 u,p=k(3.3.63)N (p) (k) (+) )]−{( −)[ (k)(∑(k)L · ∇I ∇J φ − g+3 ∇J +g+3 ∇I k φ +2(k+1)φ −φ + φ ′ +IJep=k−−IJN (− −[)(p)((+)∑(k)(+) )]}+g+3 g+3 (k + 2)(k + 3) φ +2(k+1)(p−k)(p+k+2)−3 φ +2(k+1) φ ′′ −3 φ ′+IJp=k−−N{ ∑((+)(p)(−) )· 2 (1 − (−1)k+p )∇I φ + 2∇I φ ′ − (−1)k φ ′ −+2(k + 1)L I 3ep=kNN−[((+)∑∑(p)(p)(+)(−) )]}−g+3 2 (p − k)(p + k + 2) φ − 3 (1 − (−1)p+k ) φ + 2 φ ′′ − 3 φ ′ − (−1)k φ ′+Ip=kp=k−−+2(k + 1)M 3 3 ·f−−+2α C I J[((+)(p)(−) )](p − k)(p + k + 2)(1 + (−1)k+p ) φ + φ ′′ + (−1)k φ ′′ +N∑p=k{{N[∑((+)(p)(−) )](k)2(k + 1)(1 − (−1)k+p ) u − + u ′− − (−1)k u ′− − ∇I u − +Ip=kI3IN (p)−[−[(∑{ (k)(k)(k)(+) )]}(k)+g+3 k u − + 2(k + 1)u − − u − + u ′− r− + ∇I u − − g+3 k u − +I3+2(k + 1)p=k(N∑p=k(p)(k)3(+)33JJIJ)]} }(k)(k)(k)r− − 4α φ + ρm = J · ∂t2 φ , k ∈ N0 .3Jeu − − u − + u ′−JJАналогично (3.3.63) при необходимости можно выписать систему уравнений вперемещениях и вращениях первого приближения в моментах при неизотермических процессах.
С целью сокращения письма их выписывать не будем.3.3.3.4Системы уравнений в перемещениях нулевого и первого приближений в моментах для однородного упругого анизотропного материала при неизотермических процессахНетрудно заметить, что уравнения движения нулевого и первого приближенийна основании (3.2.26) представляются соответственно в видеL(0) · u + T(0) ϑ + ρF = ρ ∂t2 u,eL(1) · u + T(1) ϑ + ρF = ρ ∂t2 u,e(3.3.64)156где в силу (3.2.27) имеем−−−−−−−−L(0) = C I ·J · NI NJ + (C 3· I · ∇3 NI + C I · 3· NI ∇3 ) + C 3· 3· ∂3 ∂3 ,eeeee−−−− − ∑−− −2− −PQM ·N ·3 sP[ B + + (x ) ]NP NQ + (g − − g P+ )x3 (C 3·M · ∇3 NP + CM · 3· NP ∇3 ),L(1) = L(0) + C(s)MMeeeees=1 M N−−T(0) = −(b I NI + b 3 ∂3 ),−−−−−−−−MNMMNMNN−−−MMA P+ = g P− − g P+ ,(1)M−MM−−B P+Q+ = (g P− − g P+ )g Q− + g P− (g Q− − g Q+ ),(1)−−T(1) = T(0) − (g P− − g P+ )x3 bM NP ,−−−−(3.3.65)−−−B P+Q+ = A P+ g Q− + A P+ A Q+ + g P− A Q+ ,(2)(2)M NMN−−−−NNMM(1)M (1)NM (2)NA P+ = (g P− − g P+ )(g N− − g N+ ).(2)MДалее ограничимся рассмотрением тонкого тела постоянной толщины.
То−гда, учитывая, что в этом случае g +3 = 0, соотношения второй, третьей и четIвертой строк (3.3.65) будут иметь форму−−−−−−−−L(0) = C I ·J · ∇I ∇J + (C 3· I · ∇3 ∇I + C I · 3· ∇I ∇3 ) + C 3· 3· ∂3 ∂3 ,eeee−−−− − ∑−− −2e− −PQM ·N ·3 sPM · 3·P33·M ·L(1) = L(0) + C[ B∇P ∇3 ), (3.3.66)∇3 ∇P + C+ + (x ) ]∇P ∇Q + (g − − g + )x (C(s)MMeeeees=1 M N−−T(0) = −(b I ∇I + b 3 ∂3 ),−−MM−T(1) = T(0) − (g P− − g P+ )x3 bM ∇P .Теперь нетрудно получить искомые системы уравнений в моментах. В самомделе, применяя к первому уравнению (3.3.64) оператор моментов k-го порядкакакой-либо системы полиномов (Лежандра, Чебышева) и учитывая формулымоментов k-го порядка первых (2.2.5), (2.7.10) и вторых производных (2.2.7),(2.7.12) вектора (компонент вектора) относительно этих систем полиномов (см.также (2.7.14), (2.8.13), (2.8.14)), получим систему уравнений нулевого приближения в моментах−−−−(k)−−−−(k)(k)C I ·J · · ∇I ∇J u + (C 3· I · + C I · 3· ) · ∇I u ′ + C 3· 3· · u ′′ −eeee(k)(k)−− (k)(k)I−(b ∇I ϑ + b 3 ϑ ′ ) + ρ F = ρ ∂t2 u ,(3.3.67)k ∈ N0 .Чтобы получить, систему уравнений первого приближения в моментах, оче(k) () (k) ()видно, нужно найти выражения для M (L(1) − L(0) ) · u и M (T(1) − T(0) )ϑ .eeВ силу (3.3.66) будем иметь−−(k)(k)(k) (− −[ −−)]M(δL(0) · u) = CM ·N · · B P+Q+ ∇P ∇Q M(x3 u) + B P+Q+ ∇P ∇Q M (x3 )2 u +(1)(2)eeMNMN−(k)−− −− −(k)+(g P− − g P+ )(C 3·M · + CM · 3· ) · ∇P M′ (x3 u),MMee−−MM−(k)M(δT(0) ϑ) = −(g P− − g P+ )bM ∇P M(x3 ϑ),δL(0) = L(1) − L(0) ,eee(3.3.68)δT(0) = T(1) − T(0) .Применяя ко второму уравнению (3.3.64) оператор моментов k-го порядка какой-либо системы полиномов (Лежандра, Чебышева) и учитывая (3.3.68),157получим−−(k)(k) (− −{ − −[ −−)]}(k)CM ·N · · g P− g Q− ∇P ∇Q u + B P+Q+ ∇P ∇Q M(x3 u) + B P+Q+ ∇P ∇Q M (x3 )2 u +(1)(2)M NeMNMN(k)− −−−−− −−−[](k)(k)+(C 3·M · + CM · 3· ) · g P− ∇P u ′ + (g P− − g P+ )∇P M′ (x3 u) + C 3· 3· · u ′′ +MMMeee(k)(k)(k)−[ −−−− (k)](k)−bM g P− ∇P ϑ + (g P− − g P+ )∇P M(x3 ϑ) − b 3 ϑ ′ ) + ρ F = ρ ∂t2 u .MM(3.3.69)MДалее, учитывая (2.2.8), (2.2.11) при i = j = 3, первые два соотношения(3.3.20) и (3.3.21), из (3.3.69) получим различные представления уравнений движения первого приближения в моментах вектора перемещений относительно системы полиномов Лежандра, а на основании (2.7.11), (2.7.13), (2.7.27) при s = 1и s = 2 и (2.7.29) при s = 1 из (3.3.69) найдем искомые уравнения движенияпервого приближения в моментах вектора перемещений относительно системыполиномов Чебышева второго рода.
При необходимости, легко также выводитьуравнения движения в моментах вектора перемещений относительно системыполиномов Чебышева первого рода. С целью сокращения письма на выписывании упомянутых в этом абзаце уравнений в моментах останавливаться небудем.3.3.4Системы уравнений притока тепла нулевого и первого приближений в моментахВ силу (1.5.37) и (1.5.68) из (3.2.59) или из (3.2.60) для неоднородного произвольно анизотропного материала получим следующие уравнения притока тепланулевого и первого приближений микрополярной МДТТ:−−−−−−−−NI (Λ I J NJ T ) + NI (Λ I 3 ∂3 T ) + ∇3 (Λ 3 I NI T ) + ∂3 (Λ 3 3 ∂3 T ) + ρ q−−−22d −−dT· φ − b ⊗aϑ) + W ∗ = ρ cp ,−T (b I q NI u−q + b 3 q ∂3 u−q − b ⊗C≃dtdtee e[ − −−−−− ]−−− )−−( −I J3 IJ3 2 IJg − g− + x B + + + (x ) B + + NI (ΛK L NI T ) + g −I + x3 A I+ NI (ΛK 3 ∂3 T )+K L(1)KL(2)KLK(1)(3.3.70)K− )− ) −−−−−−( −d [( −I+ g −I + x3 A I+ ∇3 (Λ 3 K NI T ) + ∂3 (Λ 3 3 ∂3 T ) + ρ q − Tg − + x3 A I+ bK q NI u−q +(1)(1)dt KKKK−−]22dT+b 3 q ∂3 u−q − b ⊗C· φ − b ⊗aϑ + W ∗ = ρ cp .dte ≃e e(3.3.71)Не представляет труда получить уравнения притока тепла нулевого и первого приближений и для однородного произвольно анизотропного материала.
Всамом деле, из (3.3.70) находим искомое уравнение притока тепла в виде−−−−−−−−Λ I J NI NJ T + Λ I 3 NI ∂3 T + Λ 3 I ∇3 NI T + Λ 3 3 ∂32 T + ρ q−−−22d −−dT−T (b I q NI u−q + b 3 q ∂3 u−q − b ⊗C· φ − b ⊗aϑ) + W ∗ = ρ cp ,≃dtdtee e(3.3.72)158а из (3.3.71) искомое уравнение притока тепла первого приближения в форме[]−−− )−−( −g − g− + x B + + + (x ) B + + ΛK L NI NJ T + g −I + x3 A I+ ΛK 3 NI ∂3 T +−I−JK L(−−3IJ(1)IJ(2)KLKLK(1)K− ) −−d [( −I+ g −I + x3 A I+ Λ 3 K ∇3 NI T + Λ 3 3 ∂32 T + ρ q − Tg − + x3 A I+ bK q NI u−q +(1)(1)dt KKKK−−]22dT+b 3 q ∂3 u−q − b ⊗C· φ − b ⊗aϑ + W ∗ = ρ cp .dte ≃e e−−)−−3 2−−−−(3.3.73)Заметим, что уравнения (3.3.72) и (3.3.73) можно получить и из (3.2.62).Нетрудно заметить, что из (3.2.63) и (3.2.64) аналогично (3.1.33) можно получить уравнение притока тепла приближения порядка r в следующей формесоответственно:−−− g P− NP q M − ∂3 q 3 + ρ q − T(r)M−−− g P− NP q M − ∂3 q 3 + ρ q − T(r)Md 2dT(a ⊗P) + W ∗ = ρ cp ,dt e edt−−−−d[ Mb q g P− NP u−q + b 3 q ∂3 u−q −dt(r)M]22dT−b ⊗C·φ−b⊗aϑ+ W ∗ = ρ cp .≃dtee e(3.3.74)(3.3.75)В более общей форме уравнение притока тепла приближения порядка r длямикрополярной МДТТТ можно получить из (3.2.43).
Оно будет иметь вид−−g P− NP q M − ∂3 q 3 + ρ q − T(r)M2dTd 2µ(r) ) + W ∗ = ρ cp .(a ⊗P(r) + d ⊗µdt e edte(3.3.76)Теперь не представляет труда из (3.3.74)–(3.3.76) получить уравнения притокатепла нулевого и первого приближений. В самом деле, например, из (3.3.76)находим уравнение притока тепла нулевого приближения в виде−−−NI q I − ∂3 q 3 + ρ q − T)2 (k)dTd ( 2 (k)a ⊗ P(0) + d ⊗ µ (0) + W ∗ = ρ cp ,dt e edte e(3.3.77)а уравнение притока тепла первого приближения в форме−)−−( −)2 (k)dTd ( 2 (k)− g−I + x3 (1)a ⊗ P(1) + d ⊗ µ (1) + W ∗ = ρ cp ,A+I NI q J − ∂3 q 3 + ρ q − Tdt e edtJJe e(3.3.78)где P(0) и P(1) — тензоры напряжений нулевого и первого приближений, котоeeрые определяютсяс помощью физического закона, представленного при новойпараметризации области тонкого тела.Уравнения притока тепла нулевого и первого приближений, которые можнополучить из (3.3.75) с целью сокращения письма выписывать не будем.
Принеобходимости их нетрудно выписать.Следует отметить, что, имея представления уравнения притока тепла (3.3.70)–(3.3.78), с помощью подходящих приведенных выше рекуррентных соотношенийне представляет труда при необходимости получить соответствующие им системы уравнений притока тепла в моментах. Следовательно, эти уравнения можно вывести также, например на основании полученных выше соответствующихуравнений движения в моментах тензора напряжений, осуществляя подходящиепереобозначения букв, входящих в них. В этой связи, считая их известными, наполучении всех этих уравнений останавливаться не будем. Ограничимся получением систем уравнений нулевого и первого приближений в моментах, исходя159из (3.3.77) и (3.3.78) соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
