Диссертация (786091), страница 31
Текст из файла (страница 31)
При r = 1 из (3.3.4) имеем{ (k)−−−−− (k) [−]− (k)−(k)(k)− }∇I P I + (1)AP+ ∇P M(x3 PM ) − g+3 M′ (x3 P I ) − g +3 AP+ M′ (x3 )2 PM + P 3 ′ +MIP (1)M{}(k)2 (k)(k)(k)2 (k)φ , k ∈ N0 .P ⇒ µ +C⊗P+ρm=J·∂+ρ F = ρ ∂t2 u,t≃ee(3.3.16)В силу первых двух соотношений (2.9.7) при s = 1 получим(k)−∇P M(x3 PM ) =−(k+1)− )(k) −1 ( (k−1)M∇P P + 2∇P PM + ∇P P I ,4k ≥ 0.(3.3.17)С помощью (2.9.8) при s = 1, (3.3.10) и (3.3.11) находим−]∞ (p) − ](k) [(k−1) −(k) −(k+1) −∑1[M′ (x3 )2 PM = (k − 1) P M −4(k + 2)PM −(k + 3) P M +8(k + 1)PM =4p=k−−−−−N(k−1)(k)(k+1)(p)(+)[()]∑ M1= (k − 1) P M −4(k + 2)PM −(k + 3) P M +8(k + 1)P + P M ′ , k ≥ 0.4p=k(3.3.18)143На основании (3.3.14), (3.3.17), (3.3.18) и аналогичных соотношений, получаемых из них заменой буквы P на µ , а также с учетом второго соотношения(1.5.63) и (3.3.10) из (3.3.16) получим искомую форму записи системы уравнений первого приближения в моментах микрополярной МДТТТ{ (k)− 1 ( −−)(k)−(k+1)− )((k−1)−∇I P I + g −J − g +J ∇J P I + 2P I + P I −4 II− )[N (p)−− { − [ (k)−(k)−(+)− )](k−1)−(∑1( −P J − P J + P J ′ + g −I − g +I (k − 1) P J −−g +3 g −I k P J + 2(k + 1)4 JJIJp=k−−N(k)−(k+1)−(p)(+))]}(∑ JP + PJ′+−4(k + 2)P J − (k + 3) P J + 8(k + 1)(3.3.19)p=k+2(k + 1)N[∑(1 − (−1)k+p(−)− )]}(k)((+)−3 ′(k)k)P + P − (−1) P J ′+ ρ F = ρ ∂t2 u,(p)−3p=k{}2 (k)(k)(k)P ⇒ µ +C⊗PT + ρm = J · ∂t2 φ , k ∈ N0 .≃eeЗаметим, что в приведенных выше уравнениях в силу (3.1.13) имеем−−−)−( −M3∇P PM = ∇P0 PM − g M− − g+ P ,PP−−−−∇P0 PM = ∂P PM + PN ΓM−−NPи аналогичные соотношения, получающиеся из этих соотношений, если в нихбукву P заменить на µ .
Заметим также, что при необходимости не представляетбольшого труда получить системы уравнений второго, третьего и т.д. приближений. С целью сокращения письма на этом останавливаться не будем.Отметим, что выше одновременно получены соответствующие системы уравнений и классической МДТТТ. В рассматриваемых выше случаях ими являются первые соотношения (3.3.1), (3.3.2), (3.3.3), (3.3.4), (3.3.12), (3.3.13), (3.3.15),(3.3.16) и (3.3.19) соответственно.
Если ρ и J зависят от x3 , то во всех рассматek-го порядка объемных силриваемых выше случаях при нахождении моментови инерционных сил нужно пользоваться первым соотношением (3.2.33). Принеобходимости их выписать нетрудно, поэтому и на этом останавливаться небудем. Отметим также, что все приведенные выше уравнения выведены с учетом переменности толщины тонкого тела.
Из них соответствующие уравнения−для тел постоянной толщины получаются, если в них положить g+3 = 0. СледоIвательно, в этом случае уравнения будут иметь сравнительно простой вид.3.3.2Системы уравнений в моментах относительно системы полиномов Лежандра микрополярной МДТТТНетрудно доказать, что аналогичные (3.3.5), (3.3.14), (3.3.17) и (3.3.18) (см.(2.1.17), (2.1.18), (2.2.6)) соотношения для полиномов Лежандра представляются в виде(k)(k)M (∂3 F ) = M ′ (F ) = (2k + 1)∞∑(p)[1 − (−1)k+p ] F =p=k+1(+)(−)= (2k + 1)[ F − (−1)k F ] − (2k + 1)k∑(p)[1 − (−1)k+p ] F ,p=0144(k)(k)∞∑(k)M (x3 ∂3 F ) = M ′ (x3 F ) = k F + (2k + 1)(p)F =p=k+1k (p)(+)∑= k F − (2k + 1)F + (2k + 1) F ,(k)(3.3.20)p=0(k)(k)∞ (p)∑(k − 1)k (k−1)(k + 1)(k + 2) (k+1)F + kF −F + (2k + 1)F =2(2k − 1)2(2k + 3)p=k+1(k)k (p)(+)∑(k − 1)k (k−1)(k + 1)(k + 2) (k+1)=F + kF −F − (2k + 1)F + (2k + 1) F .2(2k − 1)2(2k + 3)p=0M [(x3 )2 ∂3 F ] =В силу (2.1.17), (2.1.18) и (2.2.3) легко доказать также, что имеют местосоотношения(k)(k−1)k1 (k)k + 1 (k+1)F + F +F ,2(2k − 1)22(2k + 3)(k)(k−2)(k−1)(k − 1)kkM [(x3 )2 F ] =F +F +4(2k − 3)(2k − 1)2(2k − 1)3k 2 + 3k − 2 (k)k + 1 (k+1)(k + 1)(k + 2) (k+2)F +F +F .+2(2k − 1)(2k + 3)2(2k + 3)4(2k + 3)(2k + 5)M (x3 F ) =(3.3.21)(−)Следует заметить, что те части соотношений (3.3.20), которые содержат F и(+)F , применяются в тех случаях, когда на лицевых поверхностях заданы значениявеличины F .Применяя оператор моментов k-го порядка относительно систем полиномов Лежандра к уравнениям (3.1.27) и учитывая первое соотношение (3.3.20) сучетом значений величины на лицевых поверхностях, после простых выкладокполучим вариант бесконечной системы уравнений движения теории тонких телв моментах в виде{( √(−)) (√(−) (k) −(k)− }(k)(−)− ][(+)+(k)1/ g ∂Pg P P ) + (2k + 1) P 3 − (−1)k P 3 − 2(2k + 1) P 3 + ρ F = ρ∂t2 u ,−{}2 (k)(k)(k)P ⇒ µ +C⊗P + ρm = J · ∂t2 ω , k ∈ N0 ,≃ee(3.3.22)где введены обозначения(k)−pP = (2k + 1)∫1−01∫(k)(k)P = (2k + 1) PPk (x3 )dx3 ,−e0 e∫1(k)m = (2k + 1) mPk (x3 )dx3 ,0∫1(k)−(−)−(−)F = (2k + 1)∫10(k)u = (2k + 1)∫10 −FPk (x3 )dx3 ,−uPk (x3 )dx3 ,0ω = (2k + 1) ω Pk (x3 )dx3 ,0∫1µ = (2k + 1) µ p Pk (x3 )dx3 ,(k)−pPp Pk (x3 )dx3 ,−k ∈ N0 ,(−)(−)(−)(−)(−)Pp = ϑ Pp , µ p = ϑ µ p , P = ϑ P, F = ϑ F, m = ϑ m, u = ϑ u, ω = ϑ ω ,−−−−−−ee −(k)−P3−(k−1)−3= PP 3 = P3 x3 =1 ,(+)+−(k−3)−3+ P(k−5)−3+ P+ ...,P 3 = P3 x3 =0 ,(−)−−(k)−3(k−1)−3µ = µ−µ 3 = µ3 x3 =1 ,(+)+−(k−3)−3+ µ(k−5)−3+ µµ 3 = µ3 x3 =0 .(−)−−+ ...,145Систему уравнений (3.3.22) можно еще записать в виде{ (k) −(k)− }(k)(−)− ][(+)+(k)∇P P P + (2k + 1) P 3 − (−1)k P 3 − 2(2k + 1) P 3 + ρ F = ρ∂t2 u ,{}2 (k)(k)(k)P ⇒ µ +C⊗P + ρm = J · ∂t2 ω ,≃ee−(3.3.23)k ∈ N0 ,где ∇P – пространственный оператор ковариантного дифференцирования вбазисе, связанном с внутренней базовой поверхностью [252].Следует заметить, если исходить из уравнений классической теории упругости, то получается только первое соотношение (3.3.23).
В случае тел класса TS(−)(тонких и пологих) имеем ϑ ≈ 1. Тогда система уравнений (3.3.23) представляется в более простой форме. Заметим также, что выражения в квадратныхскобках в правых частях уравнений (3.3.23) определяются с помощью граничных условий [69] на лицевых поверхностях (см. ниже раздел "О граничных иначальных условиях"). В этой связи (3.3.23) можно называть системой уравнений в моментах с учетом граничных условий на лицевых поверхностях. Преимущество этой системы заключается в том, что каждое уравнение системысодержит конечное число слагаемых.
Ниже, исходя из представления (3.1.33),получим системы уравнений движения нулевого (r = 0) и первого (r = 1)приближений в моментах относительно систем полиномов Лежандра без учетаи с учетом граничных условий на лицевых поверхностях. При этом, так какпри применении системы полиномов Чебышева были даны подробные выводы систем уравнений движения в моментах, то в рассматриваемом случае наподробных выводах этих систем уравнений останавливаться не будем.3.3.2.1Системы уравнений движения нулевого и первого приближений в моментах относительно системы полиномов Лежандра без учета граничных условий физического содержанияна лицевых поверхностяхЭти системы уравнений движения получаются из (3.1.33) при r = 0 и r = 1 сприменением (3.3.20) без учета значений величины на лицевых поверхностях.Они представляются соответственно в виде{(k)−−(k)−∇I P I − g+3 [k P I + (2k + 1)I∞∑(p)−IP ] + (2k + 1)p=k+1(p)− }[1 − (−1)k+p ] P 3 +∞∑p=k{}2(k)(k)P⇒µ +C⊗ P + ρm = J · ∂t2 ω , k ∈ N0 ;+ρ F = ρ∂t2 u ,≃ee{ (k)− 1 −(k)(k)(k+1) − )− (−−k+1k∇I P I + (g P− − g P+ )∇P P M + ∇P P M +∇P P M +2 M2k − 12k + 3M[(k)(p)−−∞ (p) − ]∞−−[∑∑PM ++(2k + 1) [1 − (−1)k+p ] P 3 − g +3 g P− k P M + (2k + 1)(k)(k)p=kPMp=k+1(k) −−−[ (k − 1)k (k−1)M(k + 1)(k + 2) (k+1)MP+ k PM −P ++(g P− − g P+ )2(2k − 1)2(2k + 3)MM{}]}(k)(p)−∞]2 (k)∑(k)(k)(k)2M⊗P +ρm = J · ∂t2 ω , k ∈ N0 .+ρ F = ρ∂t u , P ⇒ µ +C+(2k+1)P≃eep=k+1−−(3.3.24)(k)(3.3.25)146{}Напоминаем, что запись вида P ⇒ µ означает, что выражения в этихфигурных скобках получается из выражения в фигурных скобках предыдущего соотношения, если букву P заменить на букву µ .
Аналогичная записьприменяется и в дальнейшем.3.3.2.2Системы уравнений движения первого приближения в моментах относительно системы полиномов Лежандра с учетомграничных условий физического содержания на лицевых поверхностяхИскомые системы уравнений движения получаются аналогично (3.3.24) и (3.3.25)из (3.1.33) при r = 0 и r = 1 с использованием (3.3.20) с учетом значений величины на лицевых поверхностях. Они имеют соответственно вид{ (k)−(p)−(k)−k (p)−k−∑∑P I ](2k + 1) [1 − (−1)k+p ] P 3 +∇I P I − g+3 [k P I − (2k + 1)Ip=0p=0√√(k)++ (+)−− (−) }(k)+(2k + 1)[ g 3 3 P + (−1)k g 3 3 P] + ρ F = ρ∂t2 u ,{}2 (k)(k)(k)P⇒µ +C⊗P + ρm = J · ∂t2 ω , k ∈ N0 ;≃ee(3.3.26){ (k)− 1 −(k) −(k) −(k+1) − )− (k+1k∇I P I + (g P− − g P+ )∇P P M + ∇P P M +∇P P M −2 M2k − 12k + 3M[(p)(k)−−kk (p) − ]−−[∑∑−(2k + 1) [1 − (−1)k+p ] P 3 − g +3 g P− k P M − (2k + 1)PM +Pp=0Mp=0(k) −−−−− [k (p) − ]]∑(k + 1)(k + 2) (k+1)M(k − 1)k (k−1)MPM +P +k P M −P −(2k + 1)+(g P− −g P+ )2(2k−1)2(2k+3)MMp=0√√(k)++ (+)−− (−) }(k)+(2k + 1)[ g 3 3 P + (−1)k g 3 3 P] + ρ F = ρ∂t2 u ,{}2 (k)(k)(k)P⇒µ +C⊗P + ρm = J · ∂t2 ω , k ∈ N0 .≃ee(3.3.27)При получении (3.3.26) были учтены граничные условия физического содержания на лицевых поверхностях√(−)−− (−)−n · P = −(1/ g 3 3 ) P 3 = P,e√−− (−)−(−)(−) (−)n · µ = −(1/ g 3 3 ) µ 3 = µ ,e(−)(−)√− (+)−(+)(+)−++n · P ≈ (1/ g 3 3 )( P 3 − g+3 P I ) = P,Ie√− (+)−++(+)(+)−(+) (+)n · µ ≈ (1/ g 3 3 )( µ 3 − g+3 µ I ) = µ ,Ie(+)(+)а при выводе (3.3.27) были использованы следующие граничные условия:√(−)−− (−)−n · P = −(1/ g 3 3 ) P 3 = P,e√−− (−)−(−)(−) (−)n · µ = −(1/ g 3 3 ) µ 3 = µ ,e(−)(−)√−− (+) −−(+)++ (+)−n · P ≈ (1/ g 3 3 )[ P 3 − g +3 (2g P− − g P+ ) P M ] = P,PMMe√−−−−−++(+)(+)(+)(+) (+)n · µ ≈ (1/ g 3 3 )[ µ 3 − g +3 (2g P− − g P+ ) µ M ] = µ .PMMe(+)(+)1473.3.3Системы уравнений движения в перемещениях и вращенияхв моментахПрежде чем получить эти уравнения, найдем моменты k-го порядка некоторыхвходящих в эти уравнения выражений.
Пусть F достаточно число раз дифференцируемое тензорное поле. Тогда на основании первого соотношения (2.9.6)при s = 0 и (3.3.14) имеем− (k)(k)(k)(k)(k+1) )(k) ()1 − ((k−1)M NI F = ∇I F − g+3 M′ (x3 F) = ∇I F − g+3 F ′ + 2 F ′ + F ′ =4 IIN (p)∞− [ (k)(k)(+) )](+)(k)(p)(∑∑F − F + F′ , F′ ≡F, k ≥ 0.= ∇I F − g+3 k F + 2(k + 1)I(3.3.28)p=N +1p=kДалее в силу (2.9.23) и второго соотношения (2.9.29) при s = 0 получаем− − (k) [−(k)(k) (]) (k))( −M NI NJ F = ∇I ∇J F − g+3 ∇I + g+3 ∇J M′ (x3 F) + g+3 g+3 M′′ (x3 )2 F ,I JfJIff− (k)(k)(k) () (k) ′ ()M NI ∇3 F = M NI F = ∇I F ′ − g+3 M′′ (x3 F).Ifff(3.3.29)С помощью (2.7.15) и (2.7.16) (см. еще (2.7.17)) и (3.3.14) будем иметь(k)(k+1) )(k)(k+1) )(k)( (k))1 ((k−1)′1 ((k−1)′′M′′ (x3 F) = M′ (x3 F) ′ =F + 2F′ + F ′ ′ =F + 2 F ′′ + F ′′ .44f(3.3.30)Посредством (2.7.15) и (2.7.16) из (3.3.18) получаем∞ (p) ](k−1)(k)(k+1)(k) [] 1[∑M′′ (x3 )2 F = (k − 1) F ′ − 4(k + 2) F ′ − (k + 3) F ′ + 8(k + 1)F′ .4fp=k(3.3.31)Заметим, что в силу (2.7.13) имеем(k)F ′′ (x′ ) = 2(k + 1)[](p)(p − k)(p + k + 2) 1 + (−1)k+p F =∞∑p=k= 2(k + 1)N[∑(3.3.32)(−)[](p) (+)(p − k)(p + k + 2) 1 + (−1)k+p F + F ′′ + (−1)k F ′′ ,p=kгде введены обозначения(+)F ′′ =∞∑(p)(p − k)(p + k + 2) F,(−)F ′′ =p=N +1∞∑(p)(−1)p (p − k)(p + k + 2) F.p=N +1Учитывая (3.3.32), из (3.3.30) найдем∞∞ ((p)(k))(p)]∑∑M′′ (x3 F) = 2(k + 1) (p − k)(p + k + 2) F − 3(k + 1)1 − (−1)k+p F =fp=kp=kN∞(p)(p)(p)∑∑3= 2(k + 1) (p − k)(p + k + 2) F − F ′ = 2(k + 1) (p − k)(p + k + 2) F−2p=kp=kN ((−) )(p)(+)((+))∑−3(k + 1)1 − (−1)k+p F + 2(k + 1) F ′′ − 3(k + 1) F ′ − (−1)k F ′ , k ≥ 0.p=kЗдесь в силу первых двух соотношений (3.3.11) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
