Диссертация (786091), страница 34
Текст из файла (страница 34)
При этом воспользуемся принятым допущением [338], что в четвертых слагаемых в левых частях (3.3.77) и (3.3.78)температуру T можно заменить на T0 = const. Кроме того, материал будемсчитать однородным относительно x3 . При этих предположениях, применяяк уравнениям (3.3.77) и (3.3.78) оператор моментов k-го порядка и учитывая(2.7.2), (2.7.3), (2.7.4) и (2.7.12), получим соответственно(k)−(k)(k)−M(NI q ) − q(k)I−−3′− (k)) (k)2 (k)d ( 2 (k)dT+ ρ q − T0a ⊗ P(0) + d ⊗ µ (0) + W ∗ = ρ cp, k ∈ N0 ,dt e edte e(k)−−(k)(3.3.79)(k)−M(NI q I )−A+I M(x3 NI q J )− q 3 ′ +ρ q −(1)J(k)) (k)2 (k)dTd ( 2 (k)a ⊗ P(1) + d ⊗ µ (1) + W ∗ = ρ cp−T0, k ∈ N0 .dt e edte e(3.3.80)В силу (3.3.5) и (3.3.28) из (3.3.79) находим систему уравнений притока тепланулевого приближения в моментах в виде−− )]−−N (p)−−[(∑(k)(+)(k)(k)q I − q I + q I′ −−∇I q I + g+3 k q I + 2(k + 1)I−2(k + 1)N∑p=k(− ))(p)((+)−(−)(k)1 − (−1)k+p q 3 − 2(k + 1) q 3 ′ − (−1)k q 3 ′ + ρ q −−(3.3.81)p=k(k)) (k)2 (k)dTd ( 2 (k)−T0a ⊗ P(0) + d ⊗ µ (0) + W ∗ = ρ cp, k ∈ N0 .dt e edte eАналогично (3.3.81) с помощью (3.3.5), (3.3.28) и (3.3.39) из (3.3.80) будем иметьсистему уравнений притока тепла первого приближения в моментах в форме−−−−−{ −[1 − ((k−1)−(k)(k)(k+1) )(k)−∇I q I − A+J NJ q I + 2 q I + q I + g+3 g−I k q J +4 (1) IIJ−− )]−[−−N (p)−(∑1(k)(+)(k−1)(k)+2(k + 1)q J − q J + q J ′ + A+I (k − 1) q J − 4(k + 2) q J −4 (1)Jp=k−− )]}N (p)−N−(∑[∑(k+1)(+)(p)−(k + 3) q J + 8(k + 1)q J + q J′− 2(k + 1)(1 − (−1)k+p ) q 3 +p=k(3.3.82)p=k(k)− )((+)−) (k)2 (k)dTd ( 2 (k)(−)(k)+ q 3 ′ − (−1)k q 3 ′ + ρ q − T0a ⊗ P(1) + d ⊗ µ (1) + W ∗ = ρ cp, k ∈ N0 .dt e edte eДалее следует отметить, что при необходимости, пользуясь соотношениями(3.2.32) и (3.2.33), нетрудно получить системы уравнений движения и притокатепла в моментах и для неоднородного относительно x3 материала.
В этой связис целью сокращения письма на этом останавливаться не будем.3.3.5Системы уравнений движения и притока тепла в моментахприближений (0,N) и (1,N)Выведенные выше системы уравнений движения и притока тепла МДТТТ вмоментах произвольного (нулевого и первого и т.д.) приближения являютсябесконечными системами уравнений.
При этом каждое уравнение этих системсодержит бесконечное множество слагаемых. Поэтому следует их редуцировать160к конечным системам, каждое уравнение которых будет содержать конечноечисло слагаемых. Редукция осуществляется следующим образом: наряду с r(порядком приближения) фиксируется некоторое неотрицательное целое числоN и вместо данной бесконечной системы рассматривается система, состоящаятолько из первых N +1 уравнений. Каждое ее уравнение содержит моменты искомых величин, максимальное значение порядка которых не превышает числоN . Другими словами, в каждом уравнении рассматриваемой системы моментами искомых величин, порядок которых больше числа N , пренебрегаем.
В этойсвязи введем определение.Определение 3.3.1. Совокупность уравнений, которая состоит из первых N +1 уравнений соответствующей бесконечной системы уравнений (движения, равновесия, притока тепла и др.) в моментах приближения порядка r и каждоеуравнение которой не содержит моментов искомых величин, порядок которыхбольше N , назовем системой уравнений (движения, равновесия, притока теплаи др.) в моментах приближения (r, N ).3.3.6Системы уравнений движения и притока тепла в моментах относительно системы полиномов Чебышева приближений (0,N)и (1,N)В силу определения 3.3.1 система уравнений движения микрополярной МДТТТв моментах тензоров напряжений и моментных напряжений приближения (r, N )из (3.3.12) представляется в виде{ ∑r ∑2m−m=0 p=0−−g +3r∑(l) −pA P+ 2−2m C2m∇P PM + 2(k + 1)(m)−MA P+2m+2∑N [](p)−∑1 − (−1)k+p P 3 −p=kN∑−}(k)[](q)M(k)−(2m+1) pl+q2C2m+2 l 1 + (−1)P+ ρ F = ρ ∂t2 u,(3.3.83)P m=0(m)M p=0 q=l−1{}2 (k)(k)(k)P⇒µ +C⊗P + ρm = J · ∂t2 ω ,≃eel = k − m + p, ∀ k, r ∈ N0 .Отсюда при r = 0 и r = 1 или из (3.3.15) и (3.3.19) системы уравненийдвижения микрополярной МДТТТ в моментах тензоров напряжений и моментных напряжений приближений (0, N ) и (1, N ) можно записать соответственнов форме(∑](p)− }{ (k)− − [ (k)−N (p)− (k)− )]N[∑P I − P I + 2(k + 1) 1− (−1)k+p P 3 +∇I P I − g +3 k P I + 2(k + 1)Pp=kp=k{}2 (k)(k)(k)P⇒µ +C⊗ P + ρm = J ·∂t2 φ , k = 0, N ;+ρ F = ρ∂t2 u,≃ee{ (k)− 1 ( − − ) ((k−1)− (k)− (k+1)− ) − { − [ (k)−∇I P I + g −J −g +J ∇J P I +2P I + P I −g +3 g −I k P J +4 IJII− )[N (p)− (k)− )] 1 ( −(k−1)−(k)−(k+1)−(∑+2(k+1)P J − P J + g −I −g +I (k−1) P J −4(k+2)P J −(k+3) P J +4 JJp=kN (p)− )]}N(k)(p)− ]}(∑[∑(k)Jk+p+8(k + 1)P+ 2(k + 1)(1 − (−1) )P 3 + ρ F = ρ ∂t2 u,(k)(3.3.84)(k)p=kp=k{}2 (k)(k)(k)P⇒µ +C⊗P + ρm = J · ∂t2 φ ,≃eek = 0, N .(3.3.85)161Аналогично (3.3.83) в силу определения 3.3.1 на основании (3.3.76) системауравнений притока тепла микрополярной МДТТТ в моментах приближения(r, N ) будет иметь вид−r ∑2m∑m=0 p=0−+g +3−(l)−pA P+ 2−2m C2m∇P q M − 2(k + 1)(m)Mr∑−A P+2m+2∑N∑P m=0(m)M p=0 s=l−1N [](p)−∑1 − (−1)k+p q 3 +p=k[](s) −(k)p2−(2m+1) C2m+2l 1 + (−1)l+s q M + ρ q −(3.3.86)) (k)(k)2 (k)d ( 2 (k)−T0a ⊗ P + d ⊗ µ + W ∗ = ρcp ∂t T , l = k − m + p, k = 0, N .dt e e e eОтсюда при r = 0 и r = 1 или из (3.3.81) и (3.3.82) аналогично (3.3.84) и(3.3.85) системы уравнений притока тепла микрополярной МДТТТ в моментахприближений (0, N ) и (1, N ) можно представить соответственно в форме(∑](p)−−−N[N (p)− (k)− )]−[∑(k)(k)q I − q I − 2(k + 1) 1− (−1)k+p q 3 +−∇I q I + g+3 k q I + 2(k + 1)Ip=kp=k) (k)(k)2 (k)d ( 2 (k)+ρ q − T0a ⊗ P(0) +d ⊗ µ (0) + W ∗ = ρcp ∂t T ,dt e ee e(k)(3.3.87)k = 0, N ;−N (p)− (k)− )](∑1 − ((k−1)− (k)− (k+1)− ) − { − [ (k)−(k)−∇I q I − A+J NJ q I +2 q I + q I +g+3 g−I k q J +2(k + 1)qJ− qJ +4 (1) IIJp=k−−−N (p)− )]}(∑1 −[(k−1)(k)(k+1)+ A+I (k − 1) q J −4(k + 2) q J −(k + 3) q J + 8(k + 1)qJ−(1)4 Jp=k(3.3.88)(k)N [](p)− (k)) (k)2 (k)∑dTd ( 2 (k)−2(k + 1)1−(−1)k+p q 3 +ρ q −T0a ⊗ P(1) + d ⊗ µ (1) + W ∗ = ρcp, k = 0, N .dt e edte ep=k3.3.7Системы уравнений движения и притока тепла в моментах относительно системы полиномов Лежандра приближений (0,N)и (1,N)3.3.7.1Системы уравнений движения в моментах относительно системы полиномов Лежандра без учета граничных условий налицевых поверхностях приближений (0,N) и (1,N)Искомые системы уравнений имеют аналогичный (3.3.84) и (3.3.85) вид и наосновании (3.3.24) и (3.3.25) представляются в форме{(k)−−(k)−∇I P I − g+3 [k P I + (2k + 1)IN∑(p)−IP ] + (2k + 1)p=k+1N∑(p)− }[1 − (−1)k+p ] P 3 +p=k{}2(k)(k)P⇒µ +C⊗ P + ρm = J · ∂t2 ω , k = 0, N ;+ρ F = ρ∂t2 u ,≃ee{ (k)− 1 −(k) −(k)(k+1) − )−− (k+1k∇I P I + (g P− − g P+ )∇P P M + ∇P P M +∇P P M +2 M2k − 12k + 3M(p) − ](p)−NN− [ − [ (k) −∑∑PM ++(2k + 1) [1 − (−1)k+p ] P 3 − g +3 g P− k P M + (2k + 1)(k)(k)p=k(3.3.89)(k)PMp=k+1(k) −−−−− [(k + 1)(k + 2) (k+1)M(k − 1)k (k−1)MP+ k PM −P ++(g P− − g P+ )2(2k − 1)2(2k + 3)MM(3.3.90)162+(2k+1)N∑(p) − ]]}MP(k)+ρ F(k)= ρ∂t2 u ,p=k+13.3.7.2{}2 (k)(k)(k)2µω , k = 0, N .P⇒+C⊗P+ρm=J·∂t≃eeСистемы уравнений движения в моментах относительно системы полиномов Лежандра с учетом граничных условий налицевых поверхностях приближений (0,N) и (1,N)Эти системы уравнений аналогично (3.3.89) и (3.3.90) в силу (3.3.26) и (3.3.27)имеют форму{(k)−−(k)−(p)−k (p)−k∑∑P I ] − (2k + 1) [1 − (−1)k+p ] P 3 +p=0p=0√√(k)++ (+)−− (−) }(k)k33+(2k + 1)[ g P + (−1) g 3 3 P] + ρ F = ρ∂t2 u ,∇I P I − g+3 [k P I − (2k + 1)I{(3.3.91)}2 (k)(k)(k)P⇒µ +C⊗P + ρm = J · ∂t2 ω , k = 0, N ;≃ee{ (k)− 1 −(k) −(k) −(k+1) − )− (kk+1∇I P I + (g P− − g P+ )∇P P M + ∇P P M +∇P P M −2 M2k − 12k + 3M(p)−kk (p) − ]− [ − [ (k) −∑∑−(2k + 1) [1 − (−1)k+p ] P 3 − g +3 g P− k P M − (2k + 1)PM +Pp=0Mp=0(k) −−−k (p) − ]][ (k−1)k (k−1)M∑(k+1)(k+2) (k+1)MMPM +P +k P −P −(2k+1)+(g − −g + )2(2k−1)2(2k+3)MMp=0√√(k)++ (+)−− (−) }(k)k33+(2k + 1)[ g P + (−1) g 3 3 P] + ρ F = ρ∂t2 u ,{}2 (k)(k)(k)P⇒µ +C⊗P + ρm = J · ∂t2 ω , k = 0, N .≃ee−P−P(3.3.92)Заметим, что системы уравнений притока тепла без учета и с учетом граничных условий теплового содержания на лицевых поверхностях приближений(0,N) и (1,N) получаются совершенно аналогично системам уравнений (3.3.89),(3.3.90), (3.3.89) и (3.3.90).
Поэтому с целью сокращения письма на этом останавливаться не будем.3.43.4.1Определяющие соотношения в моментах.Определяющие соотношения микрополярной теории упругости в моментах относительно системы ортонормированных полиномов Чебышева второго рода.Получим эти соотношения сперва для однородного относительно x3 материала,исходя из ОС (3.2.4). Заметим, что из рассмотренных выше ОС видно, чтодля представления в моментах этих соотношений достаточно найти момент kго порядка основного выражения g P− NP F в подходящей форме, т.е. надо найти(r)M(k)выражение для M( g P− NP F), которое легко можно получить из (2.9.10), заменяя(r)Mв нем предварительно предел знака суммы ∞ на r и g P− на g P− и используяM(r)M163(2.9.7) и (3.3.8).
Осуществляя простые выкладки, найдемr∑(k)M( g P− NP F) =(r)M−−g +32m+2∑N∑m=02{∑2m−A P+(m)M−(2m+1)p=0(l)p2−2m C2m∂P F−pC2m+2lP p=0 q=l−1−−r∑(k)A(r) P+ =A P+ a(m,k) ,(m)MMm=0− (+)−[](q) ′ }(k)l+q1+(−1)F(x ) − g +3 A(r) P+ F ′ ,P(3.4.1)Ml ≡ k − m + p, k ≥ 0, r ≥ 0.Отсюда при r = 0 и r = 1 будем иметь(k)(k)(k)−M( g − NJ F) =M(NI F) =∇I F − g+3J[I(0) I(∑N (p)(k)(+) )]k F + 2(k + 1)F − F + F ′ , k ≥ 0,(k)p=k(k)(k+1))((k−1)1M( g J− NJ F) =M[(g−J + x3 A+J )NP F] =∇I F + A+J ∇J F + 2 F + F −(1)4 (1) I(1) III(∑N (p)− { − [ (k)(k)(+) )]−g+3 g−J k F + 2(k + 1)F − F + F′ +−−(k)(k)−(k)JI(3.4.2)p=k(∑N (p)(+) )]}(k−1)(k)(k+1)1 J[+ A+ (k − 1) F − 4(k + 2) F − (k + 3) F + 8(k + 1)F + F′, k ≥ 0.4 (1) Ip=k−Применяя оператор моментов k-го порядка к (3.2.5) и учитывая первое соотношение (3.4.2), получим ОС нулевого приближения в моментах в виде(k)−(k)−(+)(−)−(+)−(−)3·3·3·3·P(0) = P(0,N ) + C· u′ + C· u′ + A·φ′ + A·φ′≃ (0,k)≃ (k)≃ (0,k)≃ (k)ee−−−−(k)(k)(+)(+)3·′3· (−)′3·′3· (−)′µ (0) = µ (0,N ) + B·u+B·u+D·φ+D· φ , k ∈ N0 ,≃ (0,k)≃ (k)≃ (0,k)≃ (k)ee(3.4.3)где введены следующие обозначения:(∑)]}− {N (p)− [(k)(k)(k)M·′3′′′P(0,N ) = C·∇u(x)−gku(x)+2(k+1)u(x)−u(x)++M≃Mep=k]− ∑N [3·k+p (p) ′+2(k + 1)C·1−(−1)u(x )+≃(k)p=k{ (k)(∑)]}N (p)− [ (k)(k)M·′3′′′+A·∇φ(x)−gkφ(x)+2(k+1)φ(x)−φ(x)++M≃−M](p)(k)2(k)′′+2(k + 1)A·1−(−1)φ(x)−C⊗C·φ(x)−bϑ,≃e ≃ep=k)]}(∑− {N (p)− [ (k)(k)(k)(k)M·′′′′3φ(x)−φ(x)+kφ(x)+2(k+1)φ(x)−g·∇µ (0,N ) = D+M≃Mp=ke]− ∑N [3·k+p (p) ′+2(k + 1)D·1 − (−1)φ (x )+≃−3·N [∑p=kk+pp=k(∑)]}{ (k)N (p)− [(k)(k)′′′′3u(x ) − u(x )+· ∇M u(x ) − g + k u(x ) + 2(k + 1)+B≃−M·Mp=k]N [(k)2∑(k)k+p (p) ′′φβ+2(k + 1)B·1−(−1)u(x)−B⊗C·(x)−ϑ (x′ ), k ∈ N0 ;≃≃ep=ke−3·(3.4.4)164−−2−−−2−3·C= 2(k + 1)C ⊗(r 3 − g 3+ rM )E,≃ (0,k)Mee−−−−23·A= 2(k + 1)A ⊗(r 3 − g 3+ rM )E,≃ (0,k)Mee−−−−23·D= 2(k + 1)D ⊗(r 3 − g 3+ rM )E,≃ (0,k)Mee3·C= 2(k + 1)(−1)k+1 C ⊗r 3 E,≃ (k)ee−−23·A= 2(k + 1)(−1)k+1 A ⊗r 3 E,≃ (k)ee−−23·D= 2(k + 1)(−1)k+1 D ⊗r 3 E,≃ (k)ee3·B= 2(k + 1)B ⊗(r 3 − g 3+ rM )E,≃ (0,k)Mee3·B= 2(k + 1)(−1)k+1 A ⊗r 3 E,≃ (k)ee−−2−−−2−(3.4.5)k ∈ N0 .Аналогично (3.4.3), исходя из (3.2.4) при r = 1 и используя второе соотношение(3.4.2), можно получить ОС первого приближения в моментах.
В силу (3.4.1) из(3.2.4) можно вывести ОС физического содержания в моментах приближенияr. В самом деле, осуществляя простые выкладки, будем иметь−(k)(k)−(+)−(−)(+)−(−)3·3·3·3·· u′ + C· u′ + A·φ′ + A·φ′P(r) = P(r,N ) + C≃ (r,k)≃ (k)≃ (r,k)≃ (k)ee−−−−(k)(k)(+)(+)3·′3· (−)′3·′3· (−)′·u+·u+·φ+· φ , k, r ∈ N0 ,µ (r) = µ (r,N ) + BBDD≃ (r,k)≃ (k)≃ (r,k)≃ (k)ee(3.4.6)где введены следующие обозначения:{ ∑−− [ ∑r2m(l)M·P−2m pP(r,N ) = CA·2C∂u−+P≃2m(m)M p=0em=0−NN− 2m+2[] ]}]∑ ∑3· ∑3−(2m+1) pl+q (q)k+p (p)−g +2C2m+2 l 1+(−1)u + 2(k + 1)C·[1−(−1)u+≃(k)P p=0 q=l−1−M·+A·≃{ ∑r−A P+(m)m=0[∑2mMp=0p=k−(l)p2−2m C2m∂P φ − g +3−−µ (r,N ) = D≃e−−g +3M·2m+2∑·{ ∑rm=0−{ ∑rm=0−−A P+M2−2mp=0(k)](p)2(k)′[1−(−1)k+p φ − C ⊗Cbϑ,·φ(x)−ee ≃p=kN∑(3.4.7)(l)pC2m∂P φ −p=k[∑2m(m)3·+2(k + 1)B·≃A+[∑2m[](q)]}p2−(2m+1) C2m+2l 1+(−1)l+q φ +−N[](q)]}](p)p3· ∑2−(2m+1) C2m+2l 1+(−1)l+q φ + 2(k + 1)D·[1 − (−1)k+p φ +≃N∑P p=0 q=l−1M·+B·≃−P(m)N∑P p=0 q=l−13·+2(k + 1)A·≃(k)2m+2∑Mp=0(l)−p2−2m C2m∂P u − g +32m+2∑N∑P p=0 q=l−1[](q)]}p2−(2m+1) C2m+2l 1+(−1)l+q u +(k)](p)2(k)′[1 − (−1)k+p u − B ⊗C·φ(x)−βϑ (x′ ), l ≡ k − m + p, k ≥ 0, r ≥ 0.≃ep=keN∑Кроме того, имеем− ]− ]−−− −−−− −2 [2 [3·33 M (k) P3·33 M (k) PE,C=C⊗2(k+1)r−grAA=A⊗2(k+1)r−grA++(r) +(r) + E,≃ (r,k)≃ (r,k)PM ePM eee− ]− ]−−− −−−− −2 [2 [(k)(k)3·33 MP3·33 MPE,D=D⊗2(k+1)r−grAB=B⊗2(k+1)r−grA++(r) +(r) + E, k, r ≥ 0.≃ (r,k)≃ (r,k)PM ePM eeeСоотношения (3.4.6) назовем ОС физического содержания в моментах приближения r микрополярной теории однородных тонких тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
