Диссертация (786091), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

В(+)(−)этом случае граничные условия на S и S будут иметь вид соответственно√(−))−− (−)((−)r · q = − g 3 3 β Tc − T ,−3(−)(−−+r − g+ g − r3−M3 P)P M√(+))++ (+)((+)· q = g 3 3 β Tc − T ,(+)(3.5.8)где Tc — заданная температура окружающей среды, β — коэффициент теплоотдачи,β = β(−)x3 =0(+), β = βx3 =1(−), T =Tx3 =0(+), T =Tx3 =1Tc = Tc (−)x3 =0(+), Tc = Tc x3 =1.(3.5.9)Итак, при неизотермических процессах граничные условия физического содержания микрополярной теории упругости на лицевых поверхностях задаются соотношениями (3.5.2) и (3.5.4), а теплового содержания или соотношениями(3.5.6), или соотношениями (3.5.8).Получим теперь уравнения [274] для определения нормирующих векторов(+)(−)(+)(−)функций кинематического содержания u ′ , u ′ , φ ′ , φ ′ , а также нормирующих(+)(−)функций теплового содержания T ′ , T ′ .

Из (3.4.3), (3.4.6), (3.4.13), (3.4.19) и(3.4.21), (3.4.24) видно, что формы представлений ОС физического и тепловогосодержаний во всех рассмотренных выше случаях одинаковы. Различие состоит(+)(+)(−)только в обозначениях. При этом способы определения функций u ′ , u ′ и φ ′ ,(−)(+)(−)φ ′ , а также T ′ , T ′ одинаковы и аналогичны способу нахождения подобныхфункций, рассмотренному в [69]. Поэтому ниже получим системы уравненийдля определения этих функций при ОС физического и теплового содержанийнулевого приближения в моментах для однородного материала.

В остальныхслучаях как для однородного, так и для неоднородного материала искомыефункции определяются аналогично.3.5.1.1Определение нормирующих векторов-функций кинематического содержания для ОС физического содержания нулевогоприближенияПусть тензоры напряжений и моментных напряжений представляются соответственно приближенными формуламиN (k)∑P(0) (x′ , x3 ) =P(0) (x′ )Ûk∗ (x3 ),ek=0 eN (k)∑µ (0) (x′ )Ûk∗ (x3 ).µ (0) (x′ , x3 ) =k=0 ee(3.5.10)174Заметим, что индексы у тензоров в (3.5.10) выбраны в соответствии с данным случаем.Граничные условия (3.5.2) и (3.5.4) можно записать в виде−(−)r 3 · P (0)e−(−)r · µ (0)e3√−− (−)= − g 3 3 P,√−− (−)= − g33 µ ,((−−+r 3 − g+ g − r3 P−)−)MP M−−+r − g+ g − r33 PP MM(+)· P (0)e(+)· µ (0)e√++ (+)= g 3 3 P,√++ (+)= g33 µ .(3.5.11)Учитывая значения на концах сегмента [0, 1] ортонормированных смещенныхполиномов Чебышева второго рода (2.5.16), из (3.5.10) получим(−)P (0)e(−)µ (0)eN(k)2 ∑=√= P(0) (−1)k (k + 1)P(0) ,π k=0e x3 =0eN∑(k)2= µ (0) =√(−1)k (k + 1) µ (0) ,3π k=0ee x =0N(k)2 ∑=√P (0) = P(0) (k + 1)P(0) ,π k=0e x3 =1eeN∑(+)(k)2µ (0) = µ (0) =√(k + 1) µ (0) .3π k=0ee x =1e(+)Отсюда в силу (3.4.3) при A = 0 и B = 0 (материал обладает центром симметeeрии) имеем[ 2 ∑] (+)NN−(k)2 ∑kk3·P (0) = √(−1) (k + 1)P(0,N ) + √(−1) (k + 1)C· u ′+≃ (0,k)π k=0π k=0ee[ 2 ∑N− ](−)k3·+ √(−1) (k + 1)C· u ′,≃ (k)π k=0[ 2 ∑] (+) [ 2 ∑NNN−− ](+)(k)(−)2 ∑3·′3·√P (0) = √(k+1)P(0,N ) + √(k+1)C·u+(k+1)C· u ′,≃ (0,k)≃ (k)π k=0π k=0π k=0ee(3.5.12)[] (+)NN−(−)(k)2 ∑2 ∑3·′kkµ (0) = √·φ +(−1) (k + 1) µ (0,N ) + √(−1) (k + 1)D≃ (0,k)π k=0π k=0ee[ 2 ∑N− ] (−)3·+ √(−1)k (k + 1)D· φ ′,≃ (k)π k=0] (+) [ 2 ∑[ 2 ∑NNN−− ] (−)(+)(k)2 ∑3·′3·√·φ+· φ ′.µ (0) = √(k+1) µ (0,N ) + √(k+1)D(k+1)D≃ (0,k)≃ (k)πππk=0k=0k=0ee(−)Нетрудно заметить, что в силу (3.4.5) имеем−)N−−2 ( −∑3·33 M(−1)k (k + 1)C=2C⊗r−grE(−1)k (k + 1)2 ,+≃ (0,k)Mee k=0k=0NNN−−−22∑∑∑32k+1233·⊗rE(−1)(k+1)=−2C⊗rE(k + 1)2 ,(−1)k (k + 1)C=2C≃ (k)ee k=0ee k=0k=0−)NN−−2 ( −∑∑33 M3⊗r−grE(k + 1)2 ,(k + 1)C=2C+≃ (0,k)Mee k=0k=0NNN−−−22∑∑∑3k+1233·⊗rE(−1)(k+1)=−2C⊗rE(−1)k (k + 1)2 ,(k + 1)C=2C≃ (k)ee k=0ee k=0k=0(3.5.13)−)NN−−2 ( −∑∑k2k3·33 M(−1) (k + 1)D= 2D ⊗ r − g + r E (−1) (k + 1) ,≃ (0,k)Me k=0ek=0NNN−−−22∑∑∑32k+1233·⊗rE(−1)(k+1)=−2D⊗rE(k + 1)2 ,(−1)k (k + 1)D=2D≃ (k)eeeek=0k=0k=0−)NN−−2 ( −∑∑3·(k + 1)D= 2D ⊗ r 3 − g 3+ rM E (k + 1)2 ,≃ (0,k)Mee k=0k=0NNN−−−22∑∑∑3k+1233·⊗rE(−1)(k+1)=−2D⊗rE(−1)k (k + 1)2 .(k + 1)D=2D≃ (k)ee k=0ee k=0k=0N∑175Вводя обозначенияa(N ) = 2N∑1(k + 1)2 = (N + 1)(N + 2)(2N + 3),3k=0b(N ) = 2N∑(−1)k (k + 1)2(3.5.14)k=0и учитывая (3.5.13), из (3.5.12) найдем√ (−)N−(k))(+)′2∑π3 (−)′b(N ) C ⊗ r − g + r u − a(N ) C ⊗r u =P (0) −(−1)k (k + 1)P(0,N ) ,2 eMeeek=0√−)N−−(k)(+)2 ( −2∑(+)(−)π(k + 1)P(0,N ) ,a(N ) C ⊗ r 3 − g 3+ rM u ′ − b(N ) C ⊗r 3 u ′ =P (0) −2 eMeeek=0√−)N− (−)−22 ( −∑(k)(+)(−)π(−1)k (k + 1) µ (0,N ) ,b(N ) D ⊗ r 3 − g 3+ rM φ ′ − a(N ) D ⊗r 3 φ ′ =µ (0) −2Meek=0e√ e−)N−− (−)2 ( −2∑(+)(+)(k)πµ (0) −a(N ) D ⊗ r 3 − g 3+ rM φ ′ − b(N ) D ⊗r 3 φ ′ =(k + 1) µ (0,N ) .2 eMk=0eee2(−−33−M(3.5.15)−Умножая первое и третье соотношения (3.5.15) слева на r 3 скалярно, а второе−−−+и четвертое на r 3 −g +3 g P− rK и учитывая (3.5.11), придем к искомым уравнениям:P K(+)(−)(+)(−)(−)′′′′C(0,N) · u + C(0,N ) · u = A (0,N ) ,ee(−)(−)(+)(−)(+)′′′′·φ+DD(0,N(0,N ) · φ = B (0,N ) ,)ee(+)(+)(−)(+)(−)′′′′′′C(0,N) · u + C(0,N ) · u = A (0,N ) ;e (−)e (+)(+)(−)(+)′′′′′′·φ+D(0,ND(0,N) · φ = B (0,N ) ,)ee(3.5.16)где введены следующие обозначения:( − − − − − ) (−)−−3· 3·3· 3·3·M ·′3′=bCC(0,N−g=−aC,C,C(N )(N )+)(0,N )Meeeee[( − − − − − ) − + ( − − − − − )](+)′′C(0,N )= a(N ) C 3· 3·−g 3+ C 3·M · −g +3 g P− CK· 3·−g 3+ CK·M · ,MeP K eMeee( −− − + − −)(−)− −−−23· 3·′′C(0,N−g +3 g P− CK· 3· , Cm·n· = rm · C ⊗rn E,)= −b(N ) CP Keeeeee( − − − − − ) (−)−−(+)3· 3·3· 3·′′D(0,N−g 3+ C 3·M · , D(0,N,) = b(N ) D) = −a(N ) DMeeeee[( − − − − − ) − + ( − − − − − )](+)′′D(0,N=aD 3· 3·−g 3+ D 3·M · −g +3 g P− DK· 3·−g 3+ DK·M · ,(N ))MeP K eMeee( −− − + − −)(−)− −−−2K· 3·3· 3·m· n·′′3 Pm, DD(0,N )= −b(N ) D −g + g − D= r · D ⊗rn E,P Keeeeee[ √π √ −− (−) ∑]N(−)(k)−3·A (0,N ) = −g33 P +(−1)k (k + 1)P(0,N) ,2k=0√ √)((k)−N− + (k) −(+)++ (+)∑πK·3·3 P33A (0,N ) =g P−(k + 1) P(0,N ) − g + g − P(0,N ) ,2P Kk=0√√][ πN−(−)−− (−)∑(k)k3·33B (0,N ) = −g µ +(−1) (k + 1) µ (0,N ) ,2k=0√√)((k)−N− + (k) −(+)++ (+)∑πK·3·3 P33B (0,N ) =g µ −(k + 1) µ (0,N ) − g + g − µ (0,N ) ,2P Kk=0(+)(k) −−(k)m·mP(0,N) = r · P(0,N ) ,e(k) −−(k)m·mµ(0,N) = r · µ (0,N ) ,e++KK(g P− ≈ g P− ).(3.5.17)176Первые два соотношения (3.5.16) представляют собой алгебраическую си(+)(−)стему из шести уравнений относительно шести неизвестных u ′ и u ′ (двух век(+)(−)торов).

Разрешая эту систему, получим векторы u ′ и u ′ , выраженные при по(m)(m)(m)(m)мощи моментов u , ∂I u , φ , ϑ , m = 0, N . Если учтем полученные выражениядля u ′ и u ′ в первом соотношении (3.4.3) при A = 0 и B = 0, найдем определя(k)ee(m)(m) (m)ющие соотношения в моментах, связывающие между собой P(0) и u , ∂I u , φ ,e(m)(m)ϑ , m = 0, N . При этом они представляют линейные формы относительно u ,(+)(m)(−)(m)(m)(k)∂I u , φ , ϑ , m = 0, N .

Подставляя выражение для P(0) в первое соотношение(3.5.10), получим приближенное выражение тензораe напряжений, удовлетворяющее граничным условиям на лицевых поверхностях для любых векторных(m)(m)(m)полей u , φ , m = 0, N , и скалярных полей ϑ , m = 0, N , являющихся моментами искомых векторных полей u, φ и скалярного поля ϑ. Следуя Векуа И.Н.,(k)выражение для P(0) , согласованное с краевыми условиями на лицевых поверхeностях, назовем нормированныммоментом k-го порядка поля тензора напряжений нулевого приближения (аналогично определяется нормированный моментk-го порядка поля тензора напряжений любого приближения). Аналогично сказанному выше третье и четвертое соотношения (3.4.8) представляют систему из(+)(−)шести уравнений относительно шести неизвестных φ ′ и φ ′ (двух векторов).

Ре(+)(−)(m)шив эту систему, найдем выражения для векторов φ ′ и φ ′ через моменты φ ,(+)(−)(m)∂I φ , m = 0, N . Учитывая полученные выражения для φ ′ и φ ′ , из второго соотношения (3.4.3) при A = 0 и B = 0 получим определяющие соотношения в(k)(m)(m)eeмоментах, связывающие между собой µ (0) и φ , ∂I φ , m = 0, N , и представляю(m)e(m)щие линейные формы относительно φ , ∂I φ , m = 0, N . Подставляя выражение(m)для µ (0) во второе соотношение (3.5.10), найдем приближенное выражение тензора eмоментных напряжений, обеспечивающее выполнение граничных условий(m)на лицевых поверхностях для любых векторных полей φ , m = 0, N , являющиеся моментами искомого векторного поля φ .

Следуя Векуа И.Н., выражение для(m)µ (0) , согласованное с краевыми условиями на лицевых поверхностях, назовемeнормированныммоментом k-го порядка поля тензора моментных напряженийнулевого приближения (аналогично определяется нормированный момент k-гопорядка поля тензора моментных напряжений любого приближения).Если бы использовали ОС (3.4.3) при A ̸= 0 и B ̸= 0, то получили следуюeeщие уравнения:(+)(+)(−)(−)(+)(+)(−)(−)′′′′′′′′C(0,N) · u + C(0,N ) · u + A(0,N ) · φ + A(0,N ) · φeeee(+)(−)(+)(−)(+)(−)(+)(−)′′′′′′′′′′′′C(0,N·u+C·u+A·φ+A(0,N)(0,N )(0,N ))· φeeee(+)(−)(+)(−)(+)(−)(+)(−)′′′′′′′′B(0,N·u+B·u+D·φ+D)(0,N )(0,N )(0,N ) · φeeee(+)(−)(+)(−)(+)(−)(+)(−)′′′′′′′′′′′′B(0,N ) · u + B(0,N ) · u + D(0,N ) · φ + D(0,N)· φeeee(−)= A (0,N ) ,(+)= A (0,N ) ,(−)= B (0,N ) ,(+)= B (0,N ) ,(3.5.18)177где помимо (3.5.17) введены следующие обозначения:( − − − − − ) (−)−−3·M ·3· 3·3· 3·′3′,A=−aA,A(0,N=bA−gA(N)(N)+)(0,N )Meeeee[( − − − − − ) − + ( − − − − − )](+)′′A(0,N=aA 3· 3·−g 3+ A 3·M · −g +3 g P− AK· 3·−g 3+ AK·M · ,(N ))MeMeP K eee( −− − + − −)(−)− −−−23· 3·K· 3·m· n·3 P′′mA(0,N )= −b(N ) A −g + g − A, A= r · A ⊗rn E,P Keeeeee( − − − − − ) (−)−−(+)3· 3·3· 3·′′,−g 3+ C 3·M · , B(0,NB(0,N) = −a(N ) B) = b(N ) BMeeeee[( − − − − − ) − + ( − − − − − )](+)′′=aB(0,NB 3· 3·−g 3+ B 3·M · −g +3 g P− BK· 3·−g 3+ BK·M · ,(N ))MeP K eMeee( −− − + − −)(−)− −−−2K· 3·3· 3·m·· n′′3 Pm, BB(0,N )= −b(N ) B −g + g − B= r · B ⊗rn E.P Keeeeee(+)Соотношения (3.5.18) представляют собой алгебраическую систему из две(+)(−)(+)(−)надцати уравнений относительно двенадцати неизвестных u ′ , u ′ , φ ′ и φ ′ (че(+)(−)(+)(−)тырех векторов).

Характеристики

Список файлов диссертации