Диссертация (786091), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

При упрощеннойсхеме редукции бесконечной системы уравнений к конечной в качестве ОС могут быть рассмотрены (3.4.7), которые назовем ОС физического содержания вмоментах приближения (r, N ) микрополярной теории однородных тонких тел.165Следовательно, с помощью (3.4.1) и (3.4.2) можно получить и уравнениядвижения в тензорах напряжений и моментных напряжений и притока тепла,а также ОС теплового содержания (см. ниже) соответствующих приближенийв моментах.ОС можно представить и в другом виде. В самом деле, учитывая g P− =M(−)ϑ −1 AP− , из (3.2.3) получимM−(−)M·ϑP = C≃e−(−)3·· AP− NP u + C· ϑ ∂3 u+≃M−−(−)2(−)(−)M· P3·+A·A − NP φ + A· ϑ ∂3φ − C ⊗C· ϑ φ − b ϑ ϑ,≃≃Me ≃e−−(−)(−)3·M·· ϑ ∂3φ +ϑµ = D· AP− NP φ + D≃≃Me−− (−)(−)(−)2M· P3·Nφ++B·AB· ϑ ∂3 u − B ⊗C· ϑ φ − β ϑ ϑ.−P≃≃≃Mee(3.4.8)С помощью (2.7.3) из (3.4.8) для однородного относительно x3 материаланаходим−−−(k) ((−)(k) ((k) ((−)(k) ())))M·3·M·PPM ϑP = C·MACNu+·Mϑ∂u+A·MANφ+3−−PP≃≃≃MMef−(k) ((−)(k) ((−) )(k) ((−) ))23·+A· M ϑ ∂3φ − C ⊗C· M ϑ φ − bM ϑ ϑ ,≃≃e)−−−(k) ((−) )(k) ((−)(k) ((k) ()e M)3·M··PPM ϑµ = DD·Mϑ∂µ+B·MA·MANµ+N3−−PPu +≃≃≃MMf e−(k) ((−) )(k) ((−)(k) ((−) ))23·Mϑϑ .+B·Mϑ∂u−B⊗C·Mϑφ−β3≃e ≃e−−(3.4.9)В силу (3.3.28), (3.3.39) и равенства AP− = g P− + x3 aP+ имеемM(k)MM− (k)(k)M(AP− NP u) = M(NM u) + aP+ M(x3 NP u) =MMN (p)[ (k)(∑(k)(+) )](k)(k+1))1 − { ((k−1)= ∇M u − g 3+ k u + 2(k + 1)u − u + u ′ + aP+ ∇P u + 2 u + u −4 MMp=k}N (p)−[(∑(k−1)(k)(k+1)(+) )]−g +3 (k − 1) u − 4(k + 2) u − (k + 3) u + 8(k + 1)u + u′, k ≥ 0.(k)−P(3.4.10)p=kДалее с помощью (1.5.26), (2.7.3) и (2.7.4) и (2.7.27) при s = 0, 1, 2 находим(k) ((−) )(k)(k)(k)M ϑ φ = φ − 2bM(x3φ ) + aM[(x3 )2φ ] =(k)(k+1)(k−1)(k)(k+1)(k+2)(k)a (k−2)b (k−1)= φ − ( φ + 2 φ + φ ) + ( φ + 4 φ + 6 φ + 4 φ + φ ), k ≥ 0.216(3.4.11)На основании (1.5.26), (2.7.3) и (2.7.4), (2.7.29) при m = 1, s = 0, 1, 2 (см.

также(3.3.14) и (3.3.18)) и (3.3.5) имеем(k)(k)(k) ((−)) (k) ((−) ) (k)M ϑ ∂3 u = M′ ϑ u = u ′ − 2bM′ (x3 u) + aM′ [(x3 )2 u] =N{∑[(+)(p)(−) ]}= 2(k + 1)[1 − (−1)k+p ] u + u ′ − (−1)k u ′ −p=kN (p)[ (k)(∑(k)(+) )]−2b k u + 2(k + 1)u − u + u′ +p=kN (p)(∑(k−1)(k)(k+1)(+) )]a[+ (k − 1) u − 4(k + 2) u − (k + 3) u + 8(k + 1)u + u ′ , k ∈ N0 .4p=k(3.4.12)166(k) ((k) ((−) ))Выражение для M ϑ ϑ получается из (3.4.11) заменой φ на ϑ, а для M AP− NP φM(k) ((−))и M ϑ ∂3φ можно найти на основании (3.4.10) и (3.4.12), если в них производить замену u на φ .

Учитывая (3.4.10)–(3.4.12) и получаемые из них упомянутые выше для ϑ и φ соотношения, из (3.4.9) найдем искомые ОС в виде{1 −−((−) )( P−(k−1)(k+1)1 P− ) (k) 1 P−M·P·M ϑP = Ca∇u+g+a + ∇P u + a + ∇P u −+−P≃4 M2 M4 MMf [e−−− )−− )−(((k−1)(k)(k+1)11−g +3 (k − 1)aP+ u + k g P− + aP+ u + 2(k + 1)g P− + (7k + 5)aP+ u +4P 4MMMMM]}[a−− ) ∑N( P−((p)(k−1)(k)3·u +C+2(k + 1) g − + aP+·(k − 1) u + k(a − 2b) u + 2(k + 1)(2 − 2b)+≃4M p=k+2MN)(k+1)() ]∑ak+p (p)+ (7k + 5) u + 2(k + 1)a − 2b + 1 − (−1)u +4p=k+2{1 −−( P−(k−1)(k+1)1 P− ) (k) 1 P−M·P+A·a∇φ+g+a + ∇P φ + a + ∇P φ −+−P≃4 M2 M4 MM−−−− )− )−[(((k)(k+1)(k−1)11−g +3 (k − 1)aP+ φ + k g P− + aP+ φ + 2(k + 1)g P− + (7k + 5)aP+ φ +4MMMMMP 4[a]}−− ) ∑N( P−((k−1)(k)(p)3·φφφ +A+2(k + 1) g − + aP+(k−1)+k(a−2b)+2(k + 1)(2 − 2b)+·≃4MM p=k+2N)(k+1)()(p)]∑a+ (7k + 5) φ + 2(k + 1)a − 2b + 1 − (−1)k+p φ −4p=k+2[ 1 (k−2) 12(k−1)(k)(k+1)111 (k+2)]−C ⊗C·aφ+(a−2b)φ+(8−8b+3a)φ+(a−2b)φ+a φ −48416e[ ≃ 16(k−1)(k)(k+1)1 (k−2) 1111 (k+2)]−ba ϑ + (a − 2b) ϑ + (8 − 8b + 3a) ϑ + (a − 2b) ϑ +a ϑ +48416e 16{[}− ) −]−−( −−2(+)(−)+C ⊗ 2(k+1)(a−2b+1)r 3 −2(k+1)g +3 g P− +aP+ rM u ′ +2(k+1)(−1)k+1 r 3 u ′ +PMMe{[− ) −]−−( −− (−) }2(+)+A ⊗ 2(k+1)(a−2b+1)r 3 −2(k+1)g +3 g P− +aP+ rM φ ′ +2(k + 1)(−1)k+1 r 3 φ ′ ,PMMe{1 −−− )−(k) ((−) )((k−1)(k)(k+1)1 P−1M·PPPM ϑµ = D·aaa + ∇P φ −∇φ+g+∇φ+++−PP≃4 M2 M4 MMf e−− )−− )−−[(((k−1)(k+1)(k)11−g +3 (k − 1)aP+ φ + k g P− + aP+ φ + 2(k + 1)g P− + (7k + 5)aP+ φ +(3.4.13)4P 4MMMMM]}[−−−N) ∑((p)(k−1)(k)a3·φ +D+2(k + 1) g P− + aP+· (k − 1) φ + k(a − 2b) φ +≃4MM p=k+2N()(p)]()(k+1)∑aa − 2b + 1 − (−1)k+p φ ++ 2(k + 1)(2 − 2b) + (7k + 5) φ + 2(k + 1)4p=k+2(k){1 −−( P−(k−1)(k+1)1 P− ) (k) 1 P−M·P·a∇u+g+a + ∇P u + a + ∇P u −+B+−P≃4 M2 M4 MM−−− )−− )−[(((k)(k−1)(k+1)11−g +3 (k − 1)aP+ u + k g P− + aP+ u + 2(k + 1)g P− + (7k + 5)aP+ u +4MMMP 4MM]}[−− ) ∑N( P−(k−1)(k)(p)a3·+2(k + 1) g − + aP+u +B· (k − 1) u + k(a − 2b) u+≃4MM p=k+2N)(p)](()(k+1)∑aa − 2b + 1 − (−1)k+p u −+ 2(k + 1)(2 − 2b) + (7k + 5) u + 2(k + 1)4p=k+2167[ 1 (k−2) 1(k−1)(k)(k+1)111 (k+2)]−B ⊗C·a φ + (a−2b) φ + (8−8b+3a) φ + (a−2b) φ + a φ −48416e[ ≃ 16(k−1)(k)(k+1)1 (k−2) 1111 (k+2)]β−βa ϑ + (a − 2b) ϑ + (8 − 8b + 3a) ϑ + (a − 2b) ϑ +a ϑ +48416e 16{[− ) −]− (−) }−−( −2(+)+D ⊗ 2(k+1)(a−2b+1)r 3 −2(k+1)g +3 g P− +aP+ rM φ ′ +2(k + 1)(−1)k+1 r 3 φ ′ +MMPe {[}− ) −]−−−( −2(+)(−)+B ⊗ 2(k+1)(a−2b+1)r 3 −2(k+1)g +3 g P− +aP+ rM u ′ +2(k+1)(−1)k+1 r 3 u ′ , k ≥ 0.MMPe2Следует заметить, что при h = const соответствующие ОС можно получить−из приведенных выше ОС, если в них учитывать g+3 = 0.

При A = 0 и B = 0 изIeeних также получим ОС для материала с центром симметрии. Кроме того, еслив приведенных выше соотношениях для моментов тензора напряжений учесть(k)φ = 0, ∀ k ∈ N0 , то найдем соответствующие ОС классической теории. Выписатьэти соотношения не представляет труда, поэтому на этом останавливаться небудем.Заметим также, что вывести аналогичные (3.4.3) и (3.4.13) ОС в моментахотносительно системы полиномов Лежандра не представляет труда, однако ихполучение в общем виде подобно (3.4.6) требует дополнительных усилий.3.4.2ОС микрополярной теории в моментах для неоднородных телСчитаем, что материальные тензоры C, A, D и B участвующие в определяюe e e eщих соотношениях (3.2.3)–(3.2.5), в достаточнойстепени гладки. В частности,они принадлежат классу Cm (V ∪ ∂V ), m ≥ 1. Тогда относительно координаты′(−)x ∈ [0, 1] для каждой фиксированной точки x ∈ S аналогично (2.7.1) можно их разлагать в ряд по системе смещенных ортонормированных полиномовЧебышева второго рода [202, 394].Применяя оператор моментов k-го порядка, например, к (3.2.4) и учитываяего линейность, получим3(k)(k)−(k)−(k)−(k)−3·M·3·M··∂3φ )−·∂3 u) + M(A· g P− NP φ ) + M(AP(r) = M(C· g P− NP u) + M(C≃≃≃≃(r)(r)MMeffff(k)2(k)φ) − M(bϑ),−M(C ⊗C·φ≃eff e (k) −−−−(k)(k)(k)(k)M·M·3·3·PP··gNu)+M(B·∂3 u)−µ (r) = M(DgNφ)+M(D·∂φ)+M(B−−3PP≃≃≃≃(r)M(r)Mffffe(k)2(3.4.14)(k)φ) − M(ββ ϑ).−M(B ⊗C·φf e ≃f eВ силу (3.2.32) находим−∞ ∑k (k+s) − (n+k−s)(k)∑M·M·PC· M ( g P− NP u).·gNu)=M(C−P≃(r)Mf (r)Mf ≃n=0 s=0Конечно, вместо последнего равенства следует рассматривать приближенноесоотношение−k ∑M (k+s) − (n+k−s)(k)∑M·M·PC· M ( g P− NP u),·gNu)≈M(C−P≃≃(r)Mf (r)Mfs=0 n=0(3.4.15)168где выбор числа M зависит от N .

В частности, M выбирается так, что моментывеличин, входящие в соотношения, не превосходили N .С помощью (3.4.1) из (3.4.15) получаем−− [ ∑2mk ∑M (k+s) − { ∑r(k)∑(l)pM·PM·PM(C·gNu)≈C·A2−2m C2m∂P u−−+P≃≃(m)(r)MM p=0fs=0 n=0m=0}]−N−− 2m+2[](q)∑ ∑(k) (+)p−g +32−(2m+1) C2m+2l 1+(−1)l+q u(x′ ) − g +3 A(r) P+ u ′ ,P p=0 q=l−1P(3.4.16)Ml = n + k − s − m + p.На основании (3.2.32), второго соотношения (2.9.6) и (3.3.5) будем иметь−NM (k+s)−k ∑(k)∑∑(p)3·3·[1 − (−1)n+k−s+p ] u+C·2(n + k − s + 1)M(C·∂3 u) ≈≃≃fs=0 n=0p=n+k−sMk ∑(k+s)−∑(+)(−)3·2(n + k − s + 1) C· [ u ′ + (−1)n+k−s+p u ′ ].+≃(3.4.17)s=0 n=0Далее, очевидно, имеемM (k+s)(n+k−s)k ∑(k)∑b ϑ .M(bϑ) =f es=0 n=0 ek ∑M (k+s) 2(k)2∑(n+k−s)C⊗C· φ ,M(C ⊗C·φ)=≃≃≃f es=0 n=0(3.4.18)Учитывая (3.4.15)–(3.4.18), из (3.4.14) найдем(k)(k)−(+)′−(−)(M ) 3·C≃ (k)′−(+)(M ) 3·A≃ (r,k)′−(−)P(r,M ) = P(r,M,N ) +·u +·u +·φ +· φ ′,ee−−−−(k)(k)(M ) 3· (+)′(M ) 3· (−)′(M ) 3· (+)′(M ) 3· (−)′µ (r,M ) = µ (r,M,N ) + D·φ+D·φ+B·u+B·u ,≃ (r,k)≃ (k)≃ (r,k)≃ (k)ee(M ) 3·C≃ (r,k)(M ) 3·A≃ (k)(3.4.19)где введены следующие обозначения:− [ ∑k ∑M (k+s) 2 { − ∑r2m∑(l)pC ⊗ rMA P+P(r,M,N ) =2−2m C2m∂P u−(m)M p=0es=0 n=0 em=0}NN− 2m+2− ∑[](q)]∑ ∑ −(2m+1) p(p)−g +32C2m+2 l 1+(−1)l+q u + 2(u + 1)r 3[1 − (−1)u+p ] u +(k)P p=0 q=l−1p=uP p=0 q=l−1p=u− [ ∑M ∑k (k+s) 2 { − ∑r2m∑(l)pMPA ⊗ rA++2−2m C2m∂P φ −(m)M p=0n=0 s=0 em=0}NN− 2m+2− ∑[](q)]∑ ∑ −(2m+1) p(p)−g +32C2m+2 l 1+(−1)l+q φ + 2(u + 1)r 3[1 − (−1)u+p ] φ −−k ∑M∑(k+s) 2(C⊗C·≃≃s=0 n=0− [ ∑2m−2mP(n+k−s)φ(k+s)(n+k−s)+ beϑ ),(3.4.20)rk ∑M (k+s) 2 { − ∑∑(l)p2C2mD ⊗ rMA+∂P φ −µ (r,M,N ) =(m)M p=0m=0s=0 n=0 ee}NN− 2m+2− ∑](q)][∑ ∑(p)p−g +32−(2m+1) C2m+2[1 − (−1)u+p ] φ +l 1+(−1)l+q φ + 2(u + 1)r 3(k)P p=0 q=l−1p=u− [ ∑2mrM ∑k (k+s) 2 { − ∑∑(l)p2−2m C2mB ⊗ rMA P+∂P u−+(m)M p=0m=0n=0 s=0 e}NN− ∑− 2m+2] ][∑ ∑ −(2m+1) p3u+p (p)3l+q (q)u + 2(u + 1)r[1 − (−1) ] u −−g +2C2m+2 l 1+(−1)P p=0 q=l−1−k ∑M∑(k+s) 2(B⊗C·≃≃s=0 n=0p=u(n+k−s)φ(k+s)(n+k−s)+ beϑ );169[−−−]k ∑M−−−(k+s) 2∑(M ) 3·(k)u3=C ⊗ 2(u + 1)r 3 − g +3 A(r) P+ rM E, C2(u+1)(−1)C⊗rE,(k)≃PMeees=0 n=0 es=0 n=0−−−−]k ∑M (k+s) 2 [k ∑M−−−(k+s) 2∑∑(M ) 3·(k)(M ) 3·A=A ⊗ 2(u + 1)r 3 − g +3 A(r) P+ rM E, A=2(u + 1)(−1)u C ⊗r 3 E,≃ (r,k)≃ (k)PMeees=0 n=0 es=0 n=0−−−−]k ∑M (k+s) 2 [k ∑M−−−(k+s) 2∑∑(M ) 3·(k)(M ) 3·D=D ⊗ 2(u + 1)r 3 − g +3 A(r) P+ rM E, D=2(u + 1)(−1)u C ⊗r 3 E,≃ (r,k)≃ (k)PMeees=0 n=0 es=0 n=0−−−−]k ∑M (k+s) 2 [k ∑M−−−(k+s) 2∑∑(M ) 3·(k)(M ) 3·B=B ⊗ 2(u + 1)r 3 − g +3 A(r) P+ rM E, B=2(u + 1)(−1)u C ⊗r 3 E,≃ (r,k)≃ (k)PMeees=0 n=0 es=0 n=0l = u − m + p = n + k − s − m + p, u = n + k − s, k ≥ 0.−(M ) 3·C=≃ (r,k)k ∑M∑(k+s) 2Соотношения (3.4.19) представляют искомые ОС.

Характеристики

Список файлов диссертации