Диссертация (786091), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

В самом деле, учитывая, что ∂3Λ = 0, из (3.2.59)eполучим− −−−−− −−−−−[]QMNPM3M3 3 23N33 2g P− NP (g QΛNT)+g∇(Λ∂T)−Λg∂T+Λ∂(gNT)+Λ∂3 T +−−33 − QQPP 3MMNN−−−−)22d( P MdT∗+ρ q − Tg − b q NP u−q + b 3 q ∂3 u−q − b ⊗C·φ−b⊗aϑ+W=ρc.pdt Mdte ≃e e(3.2.61)Аналогично (3.2.61) для однородного материала из (3.2.59) находим− −−−−−−−P M333 2g P− ΛM N NP (g QNP ∂3 T +Λ 3 N ∂3 (g Q∂3 T +− NQ T )+g − Λ− NQ T )+ΛMMNN−−−−)22d( P MdT∗+ρ q − Tg − b q NP u−q + b 3 q ∂3 u−q − b ⊗C·φ−b⊗aϑ+W=ρc.pdt Mdte ≃e e(3.2.62)В силу (3.2.56) из (3.2.38), (3.2.42) и (3.2.43) получим соответственно следующие представления уравнения притока тепла:−−−g P− NP q M − ∂3 q 3 + ρ q − TM−−−g P− NP q M − ∂3 q 3 + ρ q − TM−dTd( 2 )a ⊗P + W ∗ = ρ cp,dt e edt)]d 2 [(dT∗b ⊗ ∇u − C·φ−aϑ+W=ρc,p≃dt edte−−g P− NP q M − ∂3 q 3 + ρ q − TM)2d( 2dTµ + W ∗ = ρ cpa ⊗P + a ⊗µ.dt e e e edt(3.2.63)(3.2.64)(3.2.65)Нетрудно заметить, что уравнение притока тепла приближения порядка r,например, исходя из (3.2.65), представится в виде−−− g P− NP q M − ∂3 q 3 + ρ q − T(r)M)2d( 2dTµ(r) + W ∗ = ρ cp.a ⊗P(r) + a ⊗µdt e edte e(3.2.66)Аналогично (3.2.66) можно получить из приведенных выше представлений соответствующие уравнения притока тепла приближения порядка r.

С целью сокращения письма их выписывать не будем.139Следует отметить, что для классической теории упругости соответствующиеварианты представления притока тепла получим, если в (3.2.59)– (3.2.65) харакφ = 0, µ = 0). Притеристики микрополярной теории считать равными нулю (φTэтом в классическом случае следует учесть, что Λ = Λ и b = bT .

Следовательe ee eэтих уравненийно, имея (3.2.59)– (3.2.65) и соответствующие представлениядля классической теории, не представляет труда из них получить аналогичныепредставления уравнения притока тепла для частных случаев анизотропии. Поэтому на этом останавливаться не будем. Следовательно, в рассматриваемомслучае аналогично (3.2.25) можно ввести дифференциальный оператор и представить уравнение притока тепла подобно (3.2.26) и (3.2.27) в операторном виде,а также можно рассматривать аналогичные (3.2.28) соотношения. При необходимости это сделать нетрудно, поэтому с целью сокращения письма и на этомостанавливаться не будем.3.2.5.4Представления закона теплопроводности Фурье при НПОТТВ силу определения градиента и (2.9.2) из (3.2.36) получим−−−( −)−−Λ ·∇T = −ΛΛ · rM g P− NP T + r 3 ∂3 T = −ΛΛM g P− NP T − Λ 3 ∂3 T, −ΛΛm = Λ · rm ,q = −ΛMMeee(3.2.67)или отсюда, учитывая выражение для g P− (1.5.37), будем иметьM−ΛMq = −Λ∞∑s=0−−AP+ NP T − Λ 3 ∂3 T.(s)(3.2.68)MСледовательно, закон теплопроводности Фурье приближения порядка r представится в виде−−ΛM g P− NP T − Λ 3 ∂3 T.q(r) = −Λ(3.2.69)(r)MСоотношения (3.2.67) – (3.2.69) — искомые формы представления законатеплопроводности Фурье.

Заметим, что с помощью (3.2.67) – (3.2.69) граничныеусловия (3.2.53) и (3.2.54) можно представить при НПОТТ. С целью сокращенияписьма их приводить не будем.3.3 Системы уравнений МДТТТ в моментахПолучены системы уравнений МДТТТ в моментах относительно систем полиномов Чебышева второго рода и Лежандра при НПОТТ.3.3.1Системы уравнений микрополярной МДТТТ в моментах контравариантных составляющих тензоров напряжений и моментных напряжений относительно системы полиномов Чебышевавторого родаЭти системы уравнений можно получить, исходя из (3.1.27) – (3.1.29). Однако,в рассматриваемом случае получим их из (3.1.33) и (3.1.29).

Представлениями (3.1.27) целесообразно пользоваться при использовании системы полиномов140Лежандра аналогично тому, как это делается в случае классической теории в[69].Считая материал однородным относительно x3 и применяя к уравнениям(3.1.33) оператор моментов k-го порядка, в силу (2.7.2), (2.7.3), (2.7.4) и (2.7.10)получим(k)− (k) [−]r(k)−(k)∑∂2 uP3mM3′,A + M (x ) NP P + P + ρ F = ρ(m)∂ t2Mm=0(k)− (k) [−]r2 (k)∑(k)−(k)∂2 φP3mM3′,A + M (x ) NP µ + µ + C⊗ P + ρm = J ·≃(m)Mee ∂ t2m=0(3.3.1)k ∈ N0 .Для нахождения выражений для первых слагаемых в левых частях (3.3.1)можно воспользоваться (2.9.10).

В самом деле, заменяя в (2.9.10) s и ∞ на m−и r соответственно, а F на P , получим выражения для первого слагаемогов левой части первого соотношения (3.3.1). Далее, заменяя в (2.9.10) s и ∞M−соответственно на m и r, а F на µ M , найдем выражение для первого слагаемогов левой части второго соотношения (3.3.1). Учитывая полученные выражениядля этих слагаемых, из (3.3.1) найдем искомые уравнения в виде{ ∑r ( ∑2mm=0(k)−+P3′}p=0−(k−m+p) −pA P+ 2−2m C2m∇P P(m)M(k)+ ρF =(k)ρ ∂t2 u,M−− g +3P2(m+1)∑p=0−pA P+ 2−2(m+1) C2m+2(m)(k−m−1+p) −PM′)+M{}2 (k)(k)2 (k)µφ , ∀r ∈ N0 , k ∈ N0 ,P⇒+C⊗P+ρm=J·∂t≃ee(3.3.2)где в силу (2.7.11)(n) −P m′ = 4(n + 1)(n) −µ m′ = 4(n + 1){∞ [∞ (n+2p+1) −](p) −∑∑1 − (−1)n+p Pm ,P m = 2(n + 1)p=0∞ (n+2p+1) −∑mµp=0= 2(n + 1)p=n∞ [∑](p) −1 − (−1)n+p µ m ,(3.3.3)p=n}а запись вида P ⇒ µ означает, что выражения в этих фигурных скобкахполучается из выражения в фигурных скобках предыдущего соотношения, еслибукву P заменить на букву µ . Аналогичная запись применяется и в дальнейшем.Заметим, что, исходя из (3.1.28), найдем уравнения, которые получатся из(3.3.2), если r заменить на ∞.

Уравнения (3.3.2) назовем уравнениями движения в моментах приближения порядка r микрополярной МДТТТ. Нетруднозаметить, что с помощью первого соотношения (2.9.6) уравнения (3.3.1) можнозаписать в форме− ]}−]− (k) [−−(k)−(k)(k) [3′2 (k)′3 m+1 M3 m M3PPu,+P+ρF=ρ∂M(x)PM(x)P−gAA∇+++tP(m)P (m)MMm=0− ]}− (k) [−]−r {−(k) [2 (k)∑(k)−(k)(k)⊗P +ρm = J · ∂t2 φ .A P+ ∇P M (x3 )mµ M − g +3 A P+ M′ (x3 )m+1µ M + µ 3 ′ +C≃(m)(m)PMMeem=0r {∑(3.3.4)Видно, что в силу (2.9.7) из (3.3.4) получим (3.3.2). Заметим, что представления(3.3.4) удобны для того, чтобы уравнения движения в моментах приближенияпорядка r микрополярной МДТТТ записать в другой форме. С целью получения этой формы записи представим (2.7.11) в удобном виде. Назначая N ≥ k,из (2.7.11) получим(k)F ′ = 2(k + 1)N [(−)]](p)[(+)∑1 − (−1)k+p F + 2(k + 1) F ′ (x′ ) − (−1)k F ′ (x′ ) , N ≥ k ≥ 0,p=k(3.3.5)141где введены обозначения∞∑(+)F ′ (x′ ) =(p)∞∑(−)F ′ (x′ ) =F,p=N +1(p)(−1)p F.(3.3.6)p=N +1Теперь (2.9.8) представим в аналогичной (3.3.5) форме.

В силу (3.3.5) находим(k−s−1+p)F{= 2(k − s + p)′(−) ]}](q) [(+)[1 + (−1)k−s+p+q F + F ′ + (−1)k−s+p F ′ , s, k ≥ 0.N∑q=k−s−1+p(3.3.7)Учитывая (3.3.7), из (2.9.8) после простых выкладок получим искомое соотношениеN(k) [(+)[](q)] 2s+2∑ ∑pM ′ (x3 )s+1 F =l 2−(2s+1) C2s+21 − (−1)l+q F + a(s,k) F ′ ,p=0 q=l−1(3.3.8)l = k − s + p, s ≥ 0, k ≥ 0.Здесь введено следующее обозначение:a(s,k) = 2−(2s+1)2s+2∑p(k − s + p)C2s+2, s ≥ 0, k ≥ 0.(3.3.9)p=0На основании (3.3.5), (3.3.6) и (3.3.8) легко получить искомую форму записиуравнений (3.3.4). В самом деле, учитывая, что в силу (3.3.3), (3.3.5) и (3.3.6)имеемN [(−) − ][(+) −](p) −∑1 − (−1)k+p Pm + 2(k + 1) P m′ − (−1)k P m′ ,(k) −Pm′ = 2(k + 1)p=k(k) −µm′N [[(+) −](p) −∑(−) − ]= 2(k + 1)1−(−1)k+p µ m +2(k + 1) µ m′ −(−1)k µ m′ , N ≥ k ≥ 0,(3.3.10)p=k(+) −P m′ (x′ ) =(+) −µm′′(x ) =∞∑(p) −Pm (x′ ),p=N +1∞∑(p) −m′µ (x ),(−) −∞∑(−) −p=N +1∞∑P m′ (x′ ) =µm′′(x ) =(p) −(−1)p Pm (x′ ),−p (p)m(3.3.11)′(−1) µ (x )p=N +1p=N +1и осуществляя простые выкладки, найдем{ ∑r ∑2mm=0 p=0−−g +3r∑−(m)M−A P+(m)P m=0(l) −pA P+ 2−2m C2m∇P PM + 2(k + 1)2m+2∑N∑N [](p)−∑1 − (−1)k+p P 3 −p=k[](q) −p2−(2m+1) C2m+2l 1 + (−1)l+q PM −M p=0 q=l−1− ) −r− ] (−) }− ] (+)[[ −3 ( ∑′kM3P− g+a(m,k) A + r − 2(k + 1)r · P − (−1) 2(k + 1)r 3 · P ′ +(m)P m=0Mee{}(k)2 (k)(k)(k)(k)P ⇒ µ +C⊗ P + ρm = J · ∂t2 φ , l = k − m + p, ∀ k, r ∈ N0 .+ρ F = ρ ∂t2 u,≃ee(3.3.12)1423.3.1.1Система уравнений нулевого приближения (r = 0) в моментах микрополярной МДТТТЭту систему уравнений можно получить исходя из (3.3.1) или (3.3.2), а такжеиз (3.3.4) или (3.3.12).

Получим ее исходя, например, из (3.3.4). При r = 0 из(3.3.4) получим(k)−− (k)−(k)− (k)−(k)−(k)(k)∇I P I − g+3 M′ (x3 P I ) + P 3 ′ + ρ F = ρ ∂t2 u,I′−2 (k)(3.3.13)(k)∇I µ − g+ M (x µ ) + C⊗ P + ρm = J ·≃IeeI33I(k)∂t2 φ ,k ∈ N0 .В силу соответствующих соотношений (2.9.7) при s = 0, (3.3.10) и (3.3.11)нетрудно доказать, что имеет место соотношение−(k)M′ (x3 P I ) =N (p)− (k)− (+)− )(k)−(∑1 ((k−1)−I ′ (k)−I ′ (k+1)−I ′ )P +2P + P= k P I +2(k + 1)P I − P I + P I ′ , k ∈ N0 .4p=k(3.3.14)На основании (3.3.14) и аналогичного соотношения, которое получается из(3.3.14) заменой буквы P на µ , система уравнений (3.3.13) можно представитьв виде{ (k)− 1 − [ (k)−N (p)− (k)− (+)− )]N(p)−(∑∑∇I P I − g+3 k P I +2(k+1)P I − P I + P I ′ +2(k+1) [1−(−1)k+p ]P 3 +4 Ip=kp=k}{}−−(+)(−)(k)(k)[]2(k)(k)(k)µ +C+2(k+1) P 3 ′ −(−1)k P 3 ′ +ρ F = ρ∂t2 u, P ⇒µ⊗ P + ρm = J · ∂t2 φ , k ∈ N0 .≃ee(3.3.15)Соотношения (3.3.15) представляют систему уравнений нулевого приближенияв моментах микрополярной МДТТТ для однородного относительно x3 материала.3.3.1.2Система уравнений первого приближения (r = 1) в моментахмикрополярной МДТТТЭту систему аналогично системе уравнений нулевого приближения в моментахполучим из (3.3.4).

Характеристики

Список файлов диссертации