Диссертация (786091), страница 26
Текст из файла (страница 26)
То же самое относится и к первомусоотношению (2.9.42).117Теперь не представляет большого труда найти искомые выражения для мо(k)(k)Θ). В самом деле, с помощью (2.7.2), (2.7.3) и (2.7.12),ментов M(∇θ) и M(∇Θf(2.9.21) из (2.9.42) получим−(k)−(k)−(k)−− (k)−N′ P33′ QN3 ′′M(∇θ) = rM [M (g P− g Q)],− NP NQ u )+ M (g − NP u )]+r [M (g − NQ u ) + uM N−(k)M−(k)(2.9.43)N−(k)−− (k)−N′ P33′ QN3 ′′M(∇θθ ) = rM [M(g P− g Q)].− NP NQ P )+ M (g − NP P )]+r [M (g − NQ P ) + PMMNNf(2.9.44)Видно, что в правые части (2.9.43) и (2.9.44) входят моменты, выражениядля которых нетрудно найти на основании (2.9.28) и (2.9.30).
Однако заметим,что те же самые соотношения проще получить из (2.9.32) посредством указанной выше в рассматриваемом случае заменой. Очевидно, выражения дляискомых моментов будут громоздкими, в связи с чем их выписывать не будем.2.9.5Представления и момент k-го порядка оператора Лапласа оттензораПредставления лапласиана от какого-нибудь тензора можно легко получить из(2.9.17) и (2.9.19). С этой целью достаточно в каждом члене этих соотношенийпервый знак тензорного умножения (слева направо) заменить на знак однократ(−)ного умножения. Если при этом h ⊥ S , то gиз второго соотношения (2.9.17) получим−−M3−−= r ·r 3 = 0 и тогда, например,M− −−−−−33 2∆F = ∇·∇F = ∇2 F = g P Q NP NQ + g 3 3 ∇32 F = g M N g P− g Q∇3 F.− NP NQ + g(2.9.45)M NАналогично (2.9.45) из второго соотношения (2.9.19) находим−−−PQP Q−−−∆F = g pq ∇p ∇q F = g P Q [∇P ∇Q − x3 (g +3 ∇3 ∇Q + g +3 ∇P ∇3 ) + (x3 )2 g +3 g +3 ∇32 ]F + g 3 3 ∇32 F.(2.9.46)Нетрудно получить выражения и для момента k-го порядка лапласиана оттензора.
Его можно найти как из (2.9.45), так и из (2.9.46). С целью нахождениявыражения указанного выше момента, учитывая (1.5.65), перепишем (2.9.46) ввиде∆F =∞∑−−−−−P MQ(s + 1)A[(x3 )s ∇P ∇Q − (x3 )s+1 (g +3 ∇3 ∇Q + g +3 ∇P ∇3 )++g(s)Ms=0PQ−−−−(2.9.47)+(x3 )s+2 g +3 g +3 ∇32 ]F + g 3 3 ∇32 F.P QТеперь, применяя оператор момента k-го порядка к (2.9.47), в силу (2.7.2),(2.7.3), (2.7.12) и (2.9.21) получим(k)M(∆F) =∞∑−P(s + 1)A + gs=0(s)M−−MQ{ (k)− (k)M[(x3 )s ∇P ∇Q F] − g +3 M′ [(x3 )s+1 ∇Q F]+P}−−− − (k)+g +3 g +3 M′′ [(x3 )s+2 F] + g 3 3 F′′ , k ≥ 0.P Q118Отсюда с помощью (2.8.34) имеем(k)M(∆F) =−− −{−(k)(k)P MQ3 s3′(s + 1)Ag∇∇M[(x)F]−g∇M[(x3 )s+1 F]+PQQ++(s)MPs=0}− − (k)−−3 3′′3 s+2+g + g + M [(x ) F] + g 3 3 F′′ , k ≥ 0.∞∑(2.9.48)P QУчитывая (2.9.25), (2.9.26) и (2.9.27), из (2.9.48) найдем искомое соотношение в виде−−(k)M(∆F) = g M Q∞ [ ∑2s∑s=0−(p−u)p(s + 1)2−2s AP+ C2s∇P ∇Q F −(s)p=0−−g +3M2s+2∑P p=0−(p−v)p(s + 1)2−2(s+1) C2s+2AP+ ∇Q F ′ +(s)M−−+g +3 g +32s+4∑P Q p=0−(p−w)P −2(s+2) p(s + 1)AC2s+4 F+2(s)′′M](2.9.49)−−+ g 3 3 F′′ ,u = s−k, v = u+1 = s+1−k, w = u+1 = s+2−k, k ≥ 0.Заметим, что выражения (2.9.49) для лапласиана, конечно, можно было получить и из (2.9.32) с помощью указанной выше заменой и равенства−−− −gMN−−PQB++ = g(s)QNMN−A+ = g(s)−−−PQPNA+,(s)MNдоказательства которого не представляет труда.2.9.6Представления и момент k-го порядка повторной дивергенциитензораОграничимся рассмотрением тензора второго ранга P.
Хотя, можно рассматривать любой тензор, ранг которого не меньше двух. eПредставления повторной дивергенции от произвольного тензора, ранг которого не меньше двух, можно найти с помощью представлений повторногоградиента того же тензора (2.9.17) и (2.9.19). Для этого достаточно в левых частях соотношений (2.9.17) и (2.9.19) знак тензорного умножения между вторымнабла-оператором (слева направо) и тензором заменить на знак двукратногоумножения, а в правых частях в каждом члене после второго базисного вектора(слева направо) вместо знака тензорного умножения поставить знак двукратного умножения.
Рассматривая тензор второго ранга P и производя указаннуюeи (2.9.19) находимвыше замену, например, из вторых представлений (2.9.17)представления−−2p qnmdivdivP = ∇∇· ·P = ∇∇ ⊗PT = ∇·(∇ · P) = ∇p ∇q P qp· · = g − g− ∇P ∇q P · · =m neeee−−− −−−−−Q2 33N3P3MNM= g P− g Q− NP NQ P · · + g − NP ∇3 P · · + g − ∇3 NQ P · · + ∇3 P · · =MM NN−−−(2.9.50)− −−= g P− g − [∇P ∇Q − (gP3 ∇3 ∇Q + gQ3 ∇P ∇3 ) + gP3 gQ3 ∇32 ]P N· M· +QM N−−−−−−Q2 33N3+g P− NP ∇3 P 3· M· + g − ∇3 NQ P · · + ∇3 P · · .MNНа основании определения (2.7.2), (2.7.3), (2.7.12) и (2.9.21) из (2.9.50) получаем(k)(k)− −(k)−−−−−−3 3 ′′N3′ P3MNMM (∇∇· ·P) = M (g P− g Q− NP NQ P · · ) + M [g − NP (P · · + P · · )] + P · · , k ≥ 0.MM Ne(2.9.51)119Окончательное выражение для момента k-го порядка повторной дивергенциитензора второго ранга найдем из (2.9.51), учитывая (2.9.28) и (2.9.30).
Прощевсего искомое выражение можно получить из (2.9.32) с помощью указанной выше заменой знаков умножения. Видно, что получается громоздкое выражение.Поэтому выписывать его не будем. При необходимости это сделать нетрудно.Следует заметить, что посредством (2.9.17) и (2.9.19) легко получить представления операторов повторного ротора тензора и ротора транспонированного ротора тензора второго ранга (тензора несовместности), а моменты же k-гопорядка этих операторов можно найти с помощью (2.9.32), заменяя знаки тензорного умножения на знаки векторного умножения соответствующим образом.Заметим также, что материал этой главы изложен в [304, 306].1203Глава. Представления основных уравнений и определяющих соотношений для теории тонких тел.
Граничные и начальные условия.Постановки задач3.1Различные представления уравнений движения механики деформируемого твердого тела при НПОТТДаны различные формы записи уравнений движения классической и микрополярной механики деформируемого твердого тела (МДТТ) при НПОТТ.3.1.1Представления уравнений движения классической МДТТ приНПОТТКак известно [210, 425, 427], уравнения движения классической МДТТ в тензорах напряжений в актуальной и отсчетной конфигурациях представляются ввиде1∂ 2u∇ · P + ρF = ρ 2 ,∂te◦2◦◦◦◦ ∂ u∇ · P + ρF = ρ 2 ,∂te√(3.1.1)◦◦где P – тензор напряжений Коши, P = g g −1 ∇rT · P — тензор напряженийeee◦Пиолы, ρ (ρ) — плотность материала в актуальной (отсчетной) конфигурации,F — плотность массовой силы, u — вектор перемещения, ∇ = ri ∂i — набла◦◦оператор в актуальной конфигурации, ∇ = ri ∂i — набла оператор в отсчетной конфигурации.
В дальнейшем нам понадобятся представления уравнений(3.1.1) в удобных для нас формах. Прежде чем получить эти представления, заметим, что нет надобности в отдельности заниматься уравнениями (3.1.1). Таккак, если получим нужные представления для первого векторного уравнения(3.1.1), то из них аналогичные представления для второго векторного уравнения получаются, снабжая соответствующие величины в этих представленияхкружком сверху.Итак, получим различные представления для первого векторного уравнения(3.1.1) при новой параметризации (1.1.1) области тонкого тела. В силу первогосоотношения (1.1.27), очевидно, для тензора напряжений P имеем представлеeнияP = P p̃q̆ rp̃ rq̆ = rp̃ Pp̃ ,ePp̃ = P p̃q̆ rq̆ ,∼, `∈ {−, ∅, +},(3.1.2)где Pp̃ , p = 1, 2, 3, называются контравариантными составляющими тензоранапряжений.
Нетрудно заметить, что в силу (1.1.35), (1.2.6) и (3.1.2) дивергенция тензора напряжений можно представить в виде1√pp∇ · P = ∇p (gm̃Pm̃ ) = gm̃∇p Pm̃ = ∇p Pp = √ ∂( g Pp ),geОтсюда при∼∼∈ {−, ∅, +}.= − имеем−−−11√√∇ · P = ∇p (g p− Pm ) = g p− ∇p Pm = ∇p Pp = √ ∂( g Pp ) = √ ∂( g g p− Pm ).mmmgge1(3.1.3)Величины, относящиеся к отсчетной (недеформированной) конфигурации снабжаются сверху кружком,а к актуальной (деформируемой) конфигурации используются без кружка.121Не представляет большого труда убедиться в том, что из (3.1.3) получаемследующие выражения для дивергенции тензора напряжений:−−−∇ · P = ∇P (g P− PM ) + ∂3 (g 3− PM ) + ∂3 P 3 ,MMe−−(3.1.4)−∇ · P = g P− ∇P PM + g 3− ∂3 PM + ∂3 P 3 ,MMe√ (−)(−)1(−)∇ · P = √ (−) ∂P ( g ϑ PP ) + ∂3 ( ϑ P3 ).(−)eg ϑ(3.1.5)(3.1.6)При написании (3.1.6) было учтено (1.1.16), когда ∼ = −. В силу (3.1.4)–(3.1.6)первое уравнение (3.1.1) представится в следующих формах:∂ 2u∇P (g − P ) + ∂3 (g − P ) + ∂3 P + ρF = ρ 2 ,∂tMM−MP−−M33−−−g P− ∇P PM + g 3− ∂3 PM + ∂3 P 3 + ρF = ρM1√M√∂P ((−)(−)(−)(−)(3.1.7)∂2u,∂t2(−)g ϑ PP ) + ∂3 ( ϑ P3 ) + ρ ϑ F = ρ ϑ(−)g(3.1.8)∂2u.∂t2(3.1.9)С помощью вторых соотношений первой и третьей строк (1.3.20), напримеруравнение (3.1.8) можно представить в виде−−)−−(∂ 2ug P− ∇P PM − gP3 ∂3 PM + ∂3 P 3 + ρF = ρ 2 .∂tM(3.1.10)Отсюда, очевидно, в свою очередь получаем−−)−−(−)(−)(−)(∂ 2uAP− ∇P PM − gP3 ∂3 PM + ϑ ∂3 P 3 + ρ ϑ F = ρ ϑ.∂t2M(3.1.11)Теперь заметить, что посредством введенного дифференциального оператора (2.9.2) уравнения (3.1.10) и (3.1.11) можно представить следующим образом:−−g P− NP PM + ∂3 P 3 + ρF = ρM∂ 2u,∂t2−−(−)(−)(−)AP− NP PM + ϑ ∂3 P 3 + ρ ϑ F = ρ ϑM∂ 2u.∂t2(3.1.12)Заметим, что представления (3.1.12) сразу можно было получить, учитываявторое соотношение (2.9.35).−Приведем (3.1.8) еще к другому виду.
В этой связи преобразуем ∇P PM . Наосновании второго соотношения (1.4.7) при ` = − имеем−−−)−( −MP3 ,∇P PM = ∇0P PM + g M+ − g−PP−−−−где ∇0P PM = ∂P PM + PN ΓM− −.(3.1.13)NPЗдесь ∇0P – поверхностный оператор ковариантного дифференцирования или(−)оператор ковариантного дифференцирования относительно S -семейства базисов.122Учитывая первое соотношение (3.1.13) в (3.1.8), получим искомый вид этогоуравнения−)−−−]−[( −M33M3g P− ∇0P PM + g M−gP+g∂P+∂P+ ρF = ρa,3−− 3+MPP∂ 2u,∂t2a=M(3.1.14)Аналогично (3.1.14) из (3.1.11) получаем−−)−]−−−(−)(−)(−)[( −MAP− ∇0P PM + g MP 3 − gP3 ∂3 PM + ϑ ∂3 P 3 + ρ ϑ F = ρ ϑ a.+ − g−MP(3.1.15)PНе представляет большого труда представить в компонентах, например, (3.1.8)и (3.1.14). В самом деле, из (3.1.8) легко находим−−−−−−−−g P− ∇P P M n + g 3− ∂3 P M n + ∂3 P 3 n + ρ F n = ρ an .M(3.1.16)MДля того, чтобы представить (3.1.14) в компонентах необходимо преобразовать−∇0P PM .В силу (1.4.7) при ` = − имеем−− −−)− −]−−−−− −)−−[( −(NM3∇0P PM = ∇0P P M N + g Nr − + ∇0P P M 3 + Γ−3 − P M L + g +3 P M 3 r− ,+ − g− PPгде− −− −NP−−−LP−−−−−ML N∇0P P M N = ∂P P M N + P LN ΓMΓ− − ,−− + PLP(3.1.17)3P−−−−−∇0P P M 3 = ∂P P M 3 + P L 3 ΓM−− ,LPLP−а Γ−3 − определяется по первому соотношению (1.4.7) при ` = −.LPС помощью (3.1.17) из (3.1.14) получим искомые представления в виде− −−)−−−−)− −−− ][( −( MNM3M3N3MNg P− ∇0P P M N + g N−gP+g−gP+g∂P++−+−− 3MPPPPM−−−−−−−−−−[( −g − ∇0P P M 3 + Γ−3 − P M L + g +3 P M 3 + g M+PMLPPP−−+∂3 P 3 N + ρ F N = ρ aN ,−)−−−− ]− g −M P 3 3 g 3− ∂3 P M 3 +P(3.1.18)M−−−−+∂3 P 3 3 + ρ F 3 = ρ a 3 .(−)(−)Если вектор h перпендикулярен к базовой поверхности S (h⊥ S ), то из первогосоотношения (1.4.7), как легко усмотреть, при ` = − имеем−−− (−− ())()Γ−3 − = g 3 3 g− − − g+ − = g 3 3 g − − − g + − = h−2 g − − − g + − .LPLPLPPLPLPL(3.1.19)PLУчитывая (3.1.19), уравнения (3.1.18), можно записать в форме− −−)−−−−)− −−− ][( −( MNM3M3N3MNg P− ∇0P P M N + g N−gP+g−gP+g∂P++−+−− 3MPPPPM−−−−+∂3 P 3 N + ρ F N = ρ aN ,−−−−−)−−−− ]−−− () −−( −[3M333M+g∂P+P−gg P− ∇0P P M 3 + g 3 3 g − − − g + − P M L + g +3 P M 3 + g M3−+−MPLPLPPMP−−(3.1.20)−−+∂3 P 3 3 + ρ F 3 = ρ a 3 ,(−)h⊥ S .123(−)Заметим, что в рассматриваемом случае (h ⊥ S ) в силу (1.3.10) и вторыхсоотношений второй строки (1.3.26) и третьей строки (1.3.27) имеют место соотношения−g +3 = h−1 ∂P h,P−−−gP3 = x3 g +3 = x3 h−1 ∂P h,−g 3− = −gP3 g P− = −x3 g +3 g P− ,PMM(3.1.21)P Mкоторые следует учесть в уравнениях (3.1.20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
