Диссертация (786091), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Кроме того, из (2.7.30) и (2.7.31) нетрудно получить соответствующиевыражения для моментов в том случае, когда Ps (x3 ) =∑s(1 − x3 )s = n=0 (−1)n Csn (x3 )n . Действительно, для этого достаточно в соотношениях (2.7.30) и (2.7.31) Ps (x3 ) заменить на (1−x3 )s , а cn на (−1)n Csn . С цельюсокращения письма их выписывать не будем.На основании определения (2.7.2) для любой функции f (x3 ) и ∀m ∈ N0имеем(k)(k)[][]M f (x3 )∂Im F = ∂Im M f (x3 )F , ∀ f (x3 ), ∀ k, m ∈ N0 .(2.7.33)В частности, (2.7.33), очевидно, имеет место, если f (x3 ) = (x3 )s или f (x3 ) =(1 − x3 )s , или f (x3 ) = Ps (x3 ), где Ps (x3 ) — полином степени s, ∀s ∈ N0 .Теперь на основании (2.7.32) и (2.7.33) можно сформулировать следующуютеорему:Теорема 2.7.12.(k) []m3[]∂MP(x)F,i = I,sIM Ps (x3 )∂im F = { (k) []}(q)M Ps (x3 )F, i = 3,(k)k, m, s ∈ N0 .(2.7.34)Нетрудно усмотреть, что имеет место более общая теорема, чем (2.7.14) и(2.7.34).Теорема 2.7.13.(k) [] M Ps (x3 )∂ip ∂jq F = (k) []∂Ip ∂Jq M Ps (x3 )F ,i = I, j = J,(k)]}(q){ [, i = I, j = 3,∂Ip M Ps (x3 )F(k){ []}(p+q)M Ps (x3 )F, i = j = 3,(2.7.35)где Ps (x3 ) — полином степени s; k, s, p, q ∈ N0 .В частности, (2.7.34), (2.7.35), конечно, справедливы и в тех случаях, когдаPs (x3 ) = (x3 )s или Ps (x3 ) = (1 − x3 )s .103Следует заметить, что приведенные выше соотношения справедливы при(−n)(n−2)выполнении равенства F = − F , n ∈ N0 , что следует из того, что определениесистемы полиномов Чебышева распространено на все множество целых чисел∗∗и, как было выше сказано, имеет место соотношение U−n= −Un−2, n ∈ N0 ,которое полагаем выполненным и в дальнейшем.2.8Моменты компонент тензоров и их производныхРассмотрены различные семейства компонент тензоров при НПОТТ и на основании приведенных выше рекуррентных соотношений и формул моментов некоторых выражений найдены их моменты и моменты их производных.
В частности, определены моменты компонент вектора и тензора второго ранга, а такжеих производных. Эти вопросы довольно подробно изложены в [282,304,306]. Поэтому здесь на них подробно останавливаться не будем. Ниже выпишем некоторые формулы и те соотношения, которые сформулированы в виде теорем. Принеобходимости нужные формулы приведем из указанных выше работ.2.8.1Моменты компонент вектораПусть u(x′ , x3 ) — некий вектор. Тогда его представления при новой параметризации области тонкого тела имеют вид (1.1.54)u = up̃ rp̃ = uq̆ rq̆ ,∼, `∈ {−, ∅, +},(2.8.1)а связь между различными семействами компонент осуществляется с помощьюкомпонент единичного тензора второго ранга (1.1.36)up̃ = gp̃q̆ uq̆ ,∼, `∈ {−, ∅, +}.(2.8.2)Нетрудно найти выражения для моментов компонент вектора u(x′ , x3 ).
Всамом деле, в силу определения (2.7.2) для моментов ковариантных и контравариантных компонент вектора u(x′ , x3 ) будем иметь соответственно(k)M (up̃ ) =∫1up̃ (x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,0(k)∫1(2.8.3)p̃′Очевидно, из (2.8.3) при∼p̃M (u ) =3u (x , x)Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,k ∈ N0 ,∼∈ {−, ∅, +}.0(k)(k)∫1(k)∫1u p̃ (x′ ) = M (up̃ ) =∈ {−, +} находимup̃ (x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,0(k)p̃′p̃u (x ) = M (u ) =(2.8.4)p̃′u (x , x3)Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,k ∈ N0 ,∼∈ {−, ∅, +}.0(k)Теперь, прежде чем найти выражение для момента M (up ), заметим, что наосновании (2.5.18) имеем рекуррентные соотношения[ ∗]∗(x3 ) + 2Ûk∗ (x3 ) + Ûk+1(x3 ) ,x3 Ûk∗ (x3 ) = 2−2 Ûk−1][ ∗∗(x3 ) − 2Ûk∗ (x3 ) + Ûk+1(x3 ) , k ≥ 1,(1 − x3 )Ûk∗ (x3 ) = −2−2 Ûk−1(2.8.5)104Тогда из первого соотношения (2.8.3) при ∼ = ∅ с помощью второго соотношения (1.1.11), (2.7.3), (2.8.2) и (2.8.5) искомое соотношение представится в виде(k)(k)(k) [(k) []]M (up ) = M (gpq̆ uq̆ ) = g−q̆ M (1 − x3 )uq̆ + g+q̆ M x3 uq̆ =pp[( q̆)((k−1) ′)()(k)](k+1)q̆−2′=2g+ − g− u q̆ (x ) + u q̆ (x ) + 2 g+q̆ + g−q̆ u q̆ (x′ ) ,pppp`(2.8.6)∈ {−, +}, k ≥ 1.При выводе (2.8.6) были использованы соотношения(k) ()[(k−1)](k)(k+1)M (1 − x3 )uq̆ = −2−2 u q̆ (x′ ) − 2 u q̆ (x′ ) + u q̆ (x′ ) ,(k)[(k−1)](k)(k+1)M (x3 uq̆ ) = 2−2 u q̆ (x′ ) + 2 u q̆ (x′ ) + u q̆ (x′ ) , ` ∈ {−, +}, k ≥ 1,(2.8.7)получающиеся с помощью (2.8.5) и сохраняющие силу при жонглированиииндексом q̆.
Заметим, что первое соотношение (2.8.7) получается еще из первогосоотношения (2.7.35) при s = 1, а второе — из следствия (2.7.27) при s = 1.(k)(k)pДалее выпишем выражения для M (u ). Рассмотрим в отдельности M (uP ) и(k)M (u3 ). В силу (1.5.37), (2.7.3) и (2.7.27) находим искомое соотношение в форме−)−−∞ ∑2s(k)(k) (∫1∑p (k−s+p)MM (uP ) = M g P− uM = uP (x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 =2−2s (s)AP+ C2su.Ms=0 p=00(2.8.8)MАналогично (2.8.8) с помощью (1.5.64) и (2.7.3) приходим к соотношению(k)(k)−−M (u3 ) = u 3−g +3(k)−−= u − g+33∞∑− (k)−AP− M [(x3 )s+1 uM ] =(s)P s=0 M∞ 2(s+1)∑∑2−2(s+1)P s=0 p=02.8.2−∫1u3 (x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 =0−(p−u)pA + C2(s+1)u M, u(s)MP(2.8.9)= s + 1 − k, k ∈ N0 .Моменты ковариантных производных от компонент вектораНа основании определения (2.7.2) моменты k-го порядка ковариантных производных от ковариантных и контравариантных компонент вектора представляются соответственно соотношениями(k)M (∇p uq̃ ) =∫1∇p uq̃ (x′ , x3 )Ûk∗ x3 h∗ (x3 )dx3 ,0(k)q̃M (∇p u ) =∫1(2.8.10)′∇p u (x , xq̃3)Ûk∗ x3 h∗ (x3 )dx3 ,∼∈ {−, ∅, +}.0Теорема 2.8.1.(k) ∇M(uq̃ ), p = P,PM (∇p uq̃ ) =(k) ′M (uq̃ ),p = 3,(k)Теорема 2.8.2.(k) ∇M(k)(uq̃ ), p = P,Pq̃M (∇p u ) = (k) ′ q̃M (u ),p = 3,∼∈ {−, ∅, +}.(2.8.11)∼∈ {−, ∅, +}.(2.8.12)105Не представляет труда с помощью (2.8.11) и(2.8.12) доказать более общиеаналогичные (2.7.12) и (2.7.14) теоремы.
Сформулируем эти теоремы.Теорема 2.8.3.(k)(k)∇∇M(u),∇∇M(um̃ ), p = P, q = Q,PQm̃PQ(k)(k)(k)(k)′′ q̃∇M(u),∇M(u ),p = P, q = 3,m̃Pq̃PM (∇p ∇q um̃ ), M (∇p ∇q u ) =(k) (k) ′′M (uq̃ ),M ′′ (uq̃ ),p = q = 3, ∼ ∈ {−, ∅, +}.(2.8.13)Теорема 2.8.4.(k)(k)m nm n∇∇),∇∇M(uM(ul̃ ), p = P, q = Q,PQPQl̃](n)[ (k) l̃ ](n) m [ (k)(k)(k)m∇M(u),∇M (u ) , p = P, q = 3,m n l̃m nPPl̃M (∇p ∇q ul̃ ), M (∇p ∇q u ) =(k)(k)][[](m+n)(m+n)M (ul̃ ),M (ul̃ ), p = q = 3, ∼ ∈ {−, ∅, +}.(2.8.14)Заметим, что (2.8.13) можно доказать, используя (2.8.11) и (2.8.12), а (2.8.14)методом математической индукции.2.8.3Моменты компонент тензора второго рангаВ силу первого соотношения (1.1.27) несимметричный тензор второго рангаимеет представленияP = Pp̃q̆·· rp̃ rq̆ = P ·p̃q̆· rp̃ rq̆ = Pp̃·q̆· rp̃ rq̆ = P p̃q̆· · rp̃ rq̆ ,e∼∈ {−, ∅, +},(2.8.15)где различные семейства компонент связаны соотношениемPp̃·q̆· = gp̃m̂ g q̆ň P m̂·· ň ,∼, `,,∨∧∈ {−, ∅, +},(2.8.16)которое сохраняет силу при жонглировании индексами.Итак, тензор второго ранга характеризуется четырьмя типами компонент(2.8.15), поэтому необходимо найти моменты всех этих типов компонент.
Сцелью нахождения этих моментов рассмотрим следующие случаи: а) ∼, ` ∈{−, +}; б) ∼ = ∅, ` ∈ {−, +}; в) ∼ = ∅, ` = ∅.а) При ∼, ` ∈ {−, +} в силу определения (2.7.2) имеем выражение(k)··M (Pp̃q̆)=∫1(k)····Pp̃q̆(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 = P p̃q̆,∼, `∈ {−, +},(2.8.17)0сохраняющее силу при жонглировании индексами p̃, q̆.б) При(k)∼= ∅,(k)`··∈ {−, +} достаточно рассматривать моменты M (Ppq̆),(k)M (P ·Pq̆· ) и M (P ·3 q̆· ). Нетрудно найти выражения этих моментов, используя соотношения (2.8.6), (2.8.8) и (2.8.9) соответственно. В самом деле, с помощью(2.8.6) и (2.8.16) получаем(k)[()((k−1)· · (k+1)· · ) ( m̃ m̃ )(k) · · ]··M (Ppq̆) = 2−2 g+m̃ −g−m̃ P m̃q̆+ P m̃q̆ +2 g+ +g− P m̃q̆ ,pppp∼, ` ∈{−, +}.(2.8.18)106На основании (2.8.8) и (2.8.16) будем иметь(k)−(k)M (P P· q̆· ) = M (g P− P M· q̆· ) =M∞ ∑2s∑s=0 p=0− (p−u) −pAP+ P2−2s C2s(s)MM·· q̆ ,u = s − k,` ∈ {−, +}.(2.8.19)Аналогично (2.8.19), посредством (2.8.9) и (2.8.16) приходим к соотношению(k)(k)−−(k)−(k)(k)−3M·3·M (P 3· q̆· ) = M (g 3− P m· q̆· ) = P 3·· q̆ + M (g − P · q̆ ) = P · q̆ −m(k)−=P3·· q̆−− g+3M∞ 2(s+1)∑∑2−2(s+1)P s=0 p=0− (p−u) −pC2(s+1)AP+(s)MPM·· q̆ ,∞∑s=0− (k)−AP+ M [(x3 )s+1 P M· q̆· ] =(s)Mu = s + 1 − k,(2.8.20)` ∈ {−, +}.Очевидно, соотношения (2.8.18)–(2.8.20) сохраняют силу при жонглированиииндексом q̆, а (2.8.18) при жонглировании и немым индексом m̃.
Заметим, чтослучай, когда ∼ ∈ {−, +}, ` = ∅ будет рассматриваться аналогично, поэтомуна этом останавливаться не будем.в) Подробнее рассмотрим случай, когда ∼ = ∅, ` = ∅. В этом случае доста(k)(k)(k)··точно найти выражения для моментов M (P pq), M (P ·pq· ) и M (P pq· · ).Видно, что в силу второго соотношения (1.1.11), утверждения (2.7.3) и (2.8.16)находим(k)(k)(k) []······M (P pq) = M (gpm̃ gqn̆ Pm̃n̆) = g−m̃ g−n̆ M (1 − x3 )2 Pm̃n̆+pq(2.8.21)(k) [() (k) []]····+ g−m̃ g+n̆ + g+m̃ g−n̆ M (1 − x3 )x3 Pm̃n̆+ g+m̃ g+n̆ M (x3 )2 Pm̃n̆,pqpqp∼, `q∈ {−, +}.Теперь, прежде чем найти моменты в правой части (2.8.21), отметим, что наосновании (2.6.1) не представляет труда проверить справедливость следующихсоотношений:(x3 )2 Ûk∗ (x3 ) =(1 − x3 )x3 Ûk∗ (x3 ) =1 ∗∗∗∗[Û+ 4Ûk−1+ 6Ûk∗ + 4Ûk+1+ Ûk+2], k ≥ 0,16 k−21 ∗∗∗∗[Ûk−2 + 8Ûk−1+ 14Ûk∗ + 8Ûk+1+ Ûk+2], k ≥ 0,16(1 − x3 )2 Ûk∗ (x3 ) =(2.8.22)1 ∗∗∗∗[Û− 4Ûk−1+ 6Ûk∗ − 4Ûk+1+ Ûk+2], k ≥ 0.16 k−2Учитывая (2.8.22), после простых преобразований из (2.8.21) получим(k)](k−1)(k)(k+1)(k+2)1 { m̃ n̆ [(k−2)· ·········+ 6P m̃n̆− 4 P m̃n̆+ P m̃n̆+g− g− P m̃n̆ − 4 P m̃n̆16 p q[(k−2)](k−1)(k)(k+1)(k+2)··········+(g−m̃ g+n̆ + g+m̃ g−n̆ ) P m̃n̆+ 8 P m̃n̆+ 14P m̃n̆+ 8 P m̃n̆+ P m̃n̆+p qp q[(k−2)]}(k−1)(k)(k+1)(k+2)··········+g+m̃ g+n̆ P m̃n̆+ 4 P m̃n̆+ 6P m̃n̆+ 4 P m̃n̆+ P m̃n̆, ∼, ` ∈ {−, +}.
k ≥ 0.··)=M (Ppqp(2.8.23)q(k)Теперь найдем выражение дляM (P p··q ).(k)Рассмотрим в отдельности M (P P· q· ) и(k)M (P 3··q ). В силу второго соотношения (1.1.11), (1.5.37), (2.7.3) и (2.8.16), находим(k)M (P P· q· ) =−− ] (k) [− ]∞ [()∑g−n̆ (s)AP+ + g+n̆ − g−n̆ (s−1)A P+ M (x3 )s P M· n̆· ,s=0qMqqM`∈ {−, +},(2.8.24)107−Pгде (−1)A + = 0. Отсюда аналогично (2.8.8) в силу (2.7.27) искомое выражениепримет Mвид− )−∞ ∑2s(k)(k) ([()∑M (P P· q· ) = M g P− gqn̆ P M· n̆· =2−2s g−n̆ AP+ + g+n̆ −g−n̆ AMu = s − k,`q (s)Ms=0 l=0qq−] l (l−u)M·CP+2s· n̆ ,−P(s−1)M(2.8.25)∈ {−, +}, k ∈ N0 .(k)С помощью (1.5.64), (2.7.3), (2.8.16) аналогично (2.8.24) для M (P 3··q ) получим− ]− ] (k) [−∞[− )− ∑(k)(k) (( n̆ n̆ )3 s+1 M ·Pn̆ P3M(x)PA−g+gAgM (P 3··q ) = M gqn̆ P 3·−g+−++−+· n̆ ,· n̆(s−1)(s)qP s=0` ∈ {−, +},qqMM(2.8.26)k ∈ N0 .Выражение для первого слагаемого в правой части (2.8.26) можно получитьс помощью (2.8.6), а для второго аналогично (2.8.9) на основании (2.7.27).
Вконечном счете после простых преобразований будем иметь(k)(k) ([( n̆ n̆ )((k−1)−3· (k+1)−3· )()(k)− ]− )−2M (P 3··q ) = M g 3− gqn̆ P m·g+ −g− P · n̆ + P · n̆ + 2 g+n̆ +g−n̆ P 3·· n̆ −· n̆ = 2−−g +3P s=0 l=0mqq−[()2−2(s+1) g−n̆ AP+ + g+n̆ −g−n̆ A∞ 2s+2∑∑q (s)qMqq(l−u) −] lPM·+ C2(s+1) P· n̆ , u = s + 1 − k,−(2.8.27)(s−1)qM∈ {−, +}, k ∈ N0 .`(k)(k)Теперь рассмотрим M (P pq· · ). Здесь выделим три момента k-го порядка:(k)(k)M (P P· Q· ), M (P P· ·3 ) и M (P 33· · ).
Нетрудно заметить, что в силу (1.5.68), утверждения (2.7.3) и (2.8.16) получаем(k)M (P P· Q· ) =∞ ∑2s∑−−(p−u) − −p2−2s B P+Q+ C2sP(s)s=0 p=0MNMN· ·,u = s−k, k ≥ 0.(2.8.28)Далее с помощью (1.5.37), (1.5.68), (2.7.3) и (2.8.16) находим(k)−−(k)−−(k)− −(k)−−(k)M (P P· ·3 ) = M (g P− g−3 P M· ·n ) = M (g P− P M· ·3 )+ M (g P− g 3− P M· N· ) = M (g P− P M· ·3 )−M n− −− (k)MN−g +3 M (x3 g P− g Q−P · · )=QM N∞∑s=0MM N− (k)−−−AP+ M [(x3 )s P M· ·3 ]−g +3(s)∞∑Q s=0MM− − (k)− −PQ3 s+1 M NBP · · ], k ≥ 0.+ + M [(x )(s)MNС целью получения выражения для первой суммы в правой части последнего соотношения можно использовать, например, (2.8.19), для второй суммы,например, (2.8.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
