Диссертация (786091), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Нетрудно найти представления компонент ЕТВР в частных случаях рассматриваемой параметризации области тонкого тела. Заметимтакже, что соотношения (1.5.37), (1.5.64)–(1.5.68) играют важную роль при построении различных вариантов теорий тонких тел с применением разложенияпо ортогональным полиномам.1.5.2.3О представлении расширенного второго тензора поверхности(`)(`)Обозначим через b второй тензор поверхности S , ` ∈ {−, ∅, +}.
Тогда, очеe и (1.1.13) для вторых тензоров поверхностей будем иметьвидно, в силу (1.1.12)следующие представления:(−)(−)−−(−) +−(−)−(−)Q PQ̆ P̂Pb = b −−r r = b Q− r r + = b − r rQ = b P̂ r rQ̆ ,PQQePPP Q−+Q PQ̆ P̂Pb = bP Q rP rQ = bQ− r rQ = b + r rQ = bP̂ r rQ̆ ,ePP(+)(+)−−(+) −+(+)+(+)(1.5.69)Q PQ̆ P̂Pb = b + + rP rQ = b Q+ r r − = b + r rQ = b P̂ r rQ̆ ,QPQePP, ∼ ∈ {−, ∅, +}∧где(`) ∗(`)N,b Q̌= gP̂M̃ g M̌∗ bM̃P̂N`, ∨, ∧, ∼, ∗∈ {−, ∅, +}.Всевозможные представления тензоров (1.5.69), конечно, получаются жонглированием индексами. Каждый из этих тензоров в силу (1.5.10) в качестве(−)(+)своих компонент имеет компоненты вторых тензоров поверхностей S , S, S , атакже отличные от этих компонент компоненты. В этом смысле они называютсярасширенными вторыми тензорами.81Можно было вводить в рассмотрение расширенные до трехмерного пространства тензоры.
В самом деле, определяя компоненты этих тензоров в виде(`)(`)q̌b Ňb q̌p̂ = gp̂M̂ gŇ,M̂`, ∨, ∧∈ {−, ∅, +},(1.5.70)их можно представить следующим образом:(`)(`)b = b q̌p̂ rp̂ rq̌ ,e`, ∨, ∧∈ {−, ∅, +},(1.5.71)Из (1.5.70) следует, что компоненты тензоров (1.5.71) равны нулю, если хотябы один индекс равен трем. Очевидно, тензоры (1.5.71) содержат (1.5.69).Ниже приведем формулировку фундаментальной теоремы теории поверхностей и резюмируя изложенное выше, дадим формулировку аналогичной теоремы для области тонкого тела в R3 .Теорема 1.5.1.
(Фундаментальная теорема теории поверхностей) Наличиедвух любых тензоровE = gIJ rI rJ ,eb = bIJ rI rJ ,eпервый из которых является положительно определенным и компоненты которых связаны между собой уравнениями Гаусса и Петерсона-Кодацци, необходимо и достаточно для существования, и притом единственной, с точностью до движения в R3 некоторой регулярной поверхности, для которой этитензоры являются первым и вторым тензорами.Заметим, что необходимая часть этой теоремы — теорема Бонне [134, 350].Теорема 1.5.2. (Фундаментальная теорема для области тонкого тела в R3при ее новой параметризации) Наличие единичного тензора второго ранга,представленного в видеE = gp̂q̆ rp̂ rq̆ ,e, ` ∈ {−, ∅, +},∧необходимо и достаточно для существования, и притом единственной, сточностью до движения в R3 некоторой регулярной области тонкого телапри ее новой параметризации. При этом число независимых основных компонент ЕТВР зависит от типа семейства параметризации.Следует заметить, что материал этой главы в более расширенном виде былопубликован во второй главе работы [277] (см.
также [282,288,290,302,304,306]).Кроме того, заметим, что при написании следующих глав диссертации былииспользованы материалы указанных выше депонированных и других депонированных и в рецензируемых журналах опубликованных работ. Перечень этихработ приведена в списке литературы. Ниже на них сделаны соответствующиессылки. Отметим также, что замеченные в опубликованных работах опечаткибыли устранены при написании данной диссертационной работы.822Глава.
Рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра иЧебышева. Моменты тензорных полей и дифференциальных операторов относительно этих систем полиномов2.12.1.1Рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра. Моменты тензорных полей их компонент и дифференциальных операторовТеорема о линейном преобразовании сегмента ортогональностиИзвестно [71, 166, 202, 307, 394, 402, 516], что как системы полиномов Чебышева, так и система полиномов Лежандра — ортогональная система на сегменте[−1, 1] и, как всякая ортогональная система, является полной и замкнутой системой. Эти полиномы являются классическими ортогональными полиномами,производные которых также являются классическими ортогональными полиномами [307]. Кроме того, эти полиномы удовлетворяют некоторым рекуррентным соотношениям, представления которых при линейном преобразованиисегмента ортогональности, в частности, при замене сегмента [−1, 1] сегментом[0, 1] имеют для нас важное значение, так как поперечная координата при новой параметризации области тонкого тела в R3 принимает значения из сегмента[0, 1].
Прежде чем выписать эти рекуррентные соотношения для сегмента [0, 1] иполучить следующие из них некоторые дополнительные соотношения, заметим,что имеет место теорема о линейном преобразовании сегмента ортогональности.Теорема 2.1.1. Если система многочленов {φm (x)}∞m=0 ортогональна с весомh(x) на сегменте [a, b], то при p > 0 система многочленов {ψm (t)}∞m=0 , гдеψm (t) = φm (pt + q),m = 0, 1, 2, .
. . ,(2.1.1)ортогональна с весом g(t) = h(pt + q) на сегменте [c, d], который переходитв сегмент [a, b] при линейном преобразовании x = pt + q. При этом нормысвязаны следующими зависимостями:1||ψm || = √ ||φm ||,pm = 0, 1, 2, . . .(2.1.2)Доказательство аналогичной теоремы для ортонормальной системы полиномов приведено в [394] (см. также [282, 304, 306]). Здесь на доказательствеостанавливаться не будем.Обозначая в рассматриваемом случае систему полиномов Лежандра через{Qm (x)}∞m=0 и учитывая, что весовая функция h(x) = 1, а также то, что сегмент[0, 1] переходит в сегмент [−1, 1] при линейном преобразовании x = 2t − 1, всилу доказанной выше теоремы система полиномов {Pm (t)}∞m=0 , гдеPm (t) = Qm (2t − 1),m = 0, 1, 2, . .
. ,является ортогональной системой на сегменте [0, 1] и норма, вычисляемая по(2.1.2), будет11||Pm || = √ ||Qm || = √.2m + 12(2.1.3)83Таким образом, для системы полиномов Лежандра {Pm (t)}∞m=0 на сегментеортогональности [0, 1] будем иметь соотношение∫1Pm (t)Pn (t)dt = ||Pm ||2 δmn =02.1.21δmn ,2m + 1< m, n > .Производящая функция и основные рекуррентные соотношенияКак известно (см., например, [394]), производящая функция для системы многочленовЛежандра {Qm (x)}∞m=0 на сегменте −1 ≤ x ≤ 1 имеет вид Ψ(ρ, x) =√21/ 1 − 2ρx + ρ , 0 < ρ < 1. Учитывая x = 2t − 1, для системы многочленов Лежандра {Pm (t)}∞m=0 , 0 ≤ t ≤ 1, производящая функция представится вформе1Ψ(ρ, t) = √,(1 + ρ)2 − 4ρt0 < ρ < 1, 0 ≤ t ≤ 1.(2.1.4)Разлагая (2.1.4) в ряд по степеням ρ, получимΨ(ρ, t) =∞∑Pm (t)ρm .(2.1.5)m=0Коэффициенты Pm (t) разложения (2.1.5), являясь полиномами m-й степени,представляют систему полиномов Лежандра на сегменте [0, 1].Имея производящую функцию (2.1.5), не представляет большого труда получить рекуррентные и другие, свойственные этой системе полиномов, соотношения.
В самом деле, при t = 0 и t = 1, в силу (2.1.4) и (2.1.5) находимΨ(ρ, 0) =∞∞∑∑1Pn (0)ρn ,= (−1)n ρn =1 + ρ n=0n=0Ψ(ρ, 1) =∞∞∑∑1Pn (1)ρn .ρn ==1 − ρ n=0n=0(2.1.6)Из этих соотношений получаем соответственноPn (0) = (−1)n ,Pn (1) = 1,n = 0, 1, 2, . . .(2.1.7)В рассматриваемом случае формула Родрига (дифференциальная формуладля полиномов Лежандра) [71, 166, 202, 394, 402, 516] представится в видеPn (t) =]1 dn [(t(t − 1))n ,nn! dt0 ≤ t ≤ 1.(2.1.8)Основные рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра на сегменте[0,1] можно получить в силу производящей функции (2.1.5) так же, как онивыведены на сегменте [-1,1] в [394] (см. также [282, 304, 306]).
Поэтому здесь ихпросто выпишем. Будем иметь(n + 1)Pn+1 (t) − (2n + 1)(2t − 1)Pn (t) + nPn−1 (t) = 0,(2.1.9)′(t),(2t − 1)Pn′ (t) = 2nPn (t) + Pn−1(2.1.10)′(t).Pn′ (t) = 2(2n − 1)Pn−1 (t) + Pn−2(2.1.11)84Следует заметить, что легко получить формули для значений производныхполиномов Лежандра на концах сегмента [0, 1] (на концах сегмента [−1, 1] ониприведены в [187])dk Pn (x3 ) (−1)n−k (n + k)!k== (−1)n−k k!Cnk Cn+k,dk x3 x3 =0(n − k)!k!dk Pn (x3 ) (n + k)!k= k!Cnk Cn+k,3 =k3d x(n − k)!k!x =1(2.1.12)где Cnk — биномиальные коэффициенты.Из (2.1.12) в свою очередь имеемPk′ (0) = (−1)k−1 k(k + 1),2.1.3Pk′ (1) = k(k + 1).(2.1.13)Дополнительные рекуррентные соотношенияЭти соотношения получаются с помощью основных рекуррентных соотношений. Они выведены в [282, 304, 306]. Поэтому здесь их просто выпишем. Имеем(2t − 1)Pn′ (t) = 2nPn (t) + 2(2n − 3)Pn−2 (t) + 2(2n − 7)Pn−4 (t) + .
. . ,(2.1.14)Pn′ (t) = 2(2n − 1)Pn−1 (t) + 2(2n − 5)Pn−3 (t) + 2(2n − 9)Pn−5 (t) + . . . ,(2.1.15)tPn′ (t) = nPn (t) + (2n − 1)Pn−1 (t) + (2n − 3)Pn−2 (t) + (2n − 5)Pn−3 (t) + . . . ,(2.1.16)1nn+1tPn (t) = Pn (t) +Pn−1 (t) +Pn+1 (t),22(2n + 1)2(2n + 1)(2.1.17)1n(n − 1)nPn−2 (t) +Pn−1 (t)+4 (2n − 1)(2n + 1)2(2n + 1)3n2 + 3n − 2n+11 (n + 1)(n + 2)+Pn (t) +Pn+1 (t) +Pn+2 (t),2(2n − 1)(2n + 3)2(2n + 1)4 (2n + 1)(2n + 3)(2.1.18)t2 Pn (t) =(n − 2)(n − 1)n3(n − 1)nPn−3 (t) +Pn−2 (t)+8(2n − 3)(2n − 1)(2n + 1)8(2n − 1)(2n + 1)3n(5n2 − 11)5n2 + 5n − 3+Pn−1 (t) +Pn (t)+8(2n − 3)(2n + 1)(2n + 3)4(2n − 1)(2n + 3)3(n + 1)(n + 2)3(n + 1)(5n2 + 10n − 6)Pn+1 (t) +Pn+2 (t)++8(2n − 1)(2n + 1)(2n + 5)8(2n + 1)(2n + 3)(n + 1)(n + 2)(n + 3)+Pn+3 (t),8(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5)t3 Pn (t) =(n − 3)(n − 2)(n − 1)n(n − 2)(n − 1)nPn−4 (t)+Pn−3 (t)+16(2n − 5)(2n − 3)(2n − 1)(2n + 1)4(2n − 3)(2n − 1)(2n + 1)n(23n2 + 29n − 17)(n − 1)n(7n2 − 7n − 26)Pn−2 (t) +Pn−1 (t)++4(2n − 5)(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)16(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)35n4 + 70n3 − 115n2 − 150n + 72(n + 1)(7n2 + 14n − 8)+Pn (t) +Pn+1 (t)+8(2n − 3)(2n − 1)(2n + 3)(2n + 5)4(2n − 1)(2n + 1)(2n + 5)(n + 1)(n + 2)(7n2 + 21n − 12)(n + 1)(n + 2)(n + 3)+Pn+2 (t) +Pn+3 (t)+4(2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)(2n + 7)4(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5)(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)Pn+4 (t),+16(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5)(2n + 7)t4 Pn (t) =857n2 − n − 2n(n + 1)Pn−1 (t) + nPn (t) +Pn+1 (t) + (2n − 3)Pn−2 (t)+2(2n + 1)2(2n + 1)+(2n − 5)Pn−3 (t) + (2n − 7)Pn−4 (t) + (2n − 9)Pn−5 (t) + .
. .[Pn′′ (t) = 4 (2n − 1)(2n − 3)Pn−2 (t) + 2(2n − 3)(2n − 7)Pn−4 (t)+]+3(2n − 5)(2n − 11)Pn−6 (t) + 4(2n − 7)(2n − 15)Pn−8 (t) + . . . .[tPn′′ (t) = 2 (n − 1)(2n − 1)Pn−1 (t) + (2n − 1)(2n − 3)Pn−2 (t)++(3n − 4)(2n − 5)Pn−3 (t) + (4n − 6)(2n − 7)Pn−4 (t)++(5n − 11)(2n − 9)Pn−5 (t) + (6n − 15)(2n − 11)Pn−6 (t)++(7n − 22)(2n − 13)Pn−7 (t) + (8n − 28)(2n − 15)Pn−8 (t)+]+(9n − 37)(2n − 17)Pn−9 (t) + . . . ,[t2 Pn′′ (t) = n(n − 1)Pn (t) + 2 (n − 1)(2n − 1)Pn−1 (t) + (2n − 2)(2n − 3)Pn−2 (t)++(3n − 4)(2n − 5)Pn−3 (t) + (4n − 7)(2n − 7)Pn−4 (t) + (5n − 11)(2n −9)Pn−5 (t)+]+(6n − 16)(2n −11)Pn−6 (t) + (7n − 22)(2n −13)Pn−7 (t) + . .
. .t2 Pn′ (t) =(2.1.19)(2.1.20)(2.1.21)(2.1.22)Заметим, что аналогичные (2.1.15) и (2.1.16) соотношения для полиномовЛежандра на сегменте [−1, 1] применял И.Н.Векуа в [69], ссылаясь на [516].Заметим также, что в правых частях (2.1.21) и (2.1.22) первый множителькоэффициента при Pn−k (t), ∀k ≥ 3, получается путем сложения множителейкоэффициента при Pn−(k−2) (t) и −2, а второй множитель коэффициента приPn−k (t), k ≥ 1, представляет квадрат обратной величины нормы ||Pn−k ||.2.2Моменты скалярной функции и их производныхПрежде всего сформулируем важные теоремы, которыми будем пользоваться вдальнейшем, считая, что применяемые ниже функции удовлетворяют условиямэтих теорем.Теорема 2.2.1. К.Вейерштрасса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
