Диссертация (786091), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Однако число независимых основных компонент значительно меньше 15. Следует заметить, что симметричный тензорвторого ранга в рассматриваемой точке, конечно, имеет 6 независимых компонент. Однако, говоря о независимых компонентах ЕТВР, подразумеваются егокомпоненты при различных значениях координаты x3 . В частности, компоненты g+p −q определены в двух точках: при x3 = 0 и x3 = 1.С целью установления числа независимых основных компонент ЕТВР найдем зависимости между ними. В этой связи продифференцируем g−− = r−q · hq3pпо x и учтем (1.1.3), третье соотношение (1.1.5) и (1.1.7). Имеем∂p g−− = ∂p r−q · h + g+p −q − g−p −q = Γ−− − + g+p −q − g−p −q ,q3q p, 3Меняя в этом соотношении местами индексы p и q, получим∂q g−− = ∂q r−p · h + g+q −p − g−q −p = Γ−− − + g+q −p − g−q −p .p q ,3p3Вычитая последнее соотношение почленно из предпоследнего, получимωpq ≡ ∂p g−− − ∂q g−− = (∂p r−q − ∂q r−p ) · h + g+p −q − g−p −q = (Γ−− − − Γ−− − ) + g+p −q − g−p −q .q3p q ,3q p, 3p3(1.3.1)Нетрудно заметить, что ωpq = −ωqp , т.е.
ωpq — кососимметричная матрица,поэтому из 9 элементов (1.3.1) отличными от нуля будут следующие три: ωI3 =−ω3I , ωIJ = −ωJI .Итак, получим следующие три соотношения между основными компонентами ЕТВР:ωI3 = ∂I g−− = 2h∂I h = 2r− · ∂I h = 2Γ−− − = 2(g+− − g−− ),3333 I ,3I3I3(1.3.2)ωIJ = ∂I g−− − ∂J g−− = g+− − g+− .J3I3IJJIИз первого соотношения (1.3.2) имеемg+− = g−− + h∂I h = g−− + Γ−− − ,I3I3I3(1.3.3)3 I ,3а отсюда получаем−−−−−−I3Ig+3 = g 3 q g+− = g−− r−q · r+ = r 3 · (r− + ∂I h̄) = g−3 + Γ−3 − ,I3qIqIгдеI−Γ−− − = h∂I h,3 I ,3(1.3.4)−−Γ−3 − = g 3 q Γ−− − .3I(1.3.5)3 I ,qЛегко усмотреть, что в силу (1.1.7) имеем еще три соотношения между основными компонентами ЕТВР:g+ − = g− − .3m(1.3.6)3mТаким образом, в общем случае параметризации области тонкого тела, т.е.(−)(+)когда h не является перпендикуляром к базовым поверхностям S и S , основные компоненты ЕТВР связаны между собой шестью соотношениями (1.3.2)58и (1.3.6) и в рассматриваемом случае число независимых основных компонентЕТВР равно 15-6=9.В качестве независимых основных компонент ЕТВР можно взять, например,следующие:g−p −q = g−q −p ;g+− , g+− , g+− .1112(1.3.7)22Компоненты g+− и g+ − определяются из соотношений (1.3.3) и (1.3.6) соот3mI3ветственно, а g+− можно определить из второго соотношения (1.3.2).21Теперь рассмотрим частный случай, когда h перпендикулярен внутренней(−)(−)базовой поверхности S (h ⊥ S ).
В этом случае, нетрудно увидеть, что−−−−−g−− = 0, g−3 = 0, g I 3 = 0, g 3 3 = h−2 = g−−1−I3(1.3.8)33Iи, следовательно, в силу первого соотношения (1.3.8) число независимых основных компонент (1.3.7) сокращается на две единицы и их число становитсяравным 7.Учитывая третье и четвертое соотношения (1.3.8) и первое соотношение(1.3.5), из второго соотношения (1.3.5) получаем−−−Γ−3 − = g 3 3 Γ−− − =3 I ,33I1∂I h.h(1.3.9)Теперь, подставляя первое соотношение (1.3.8) в (1.3.3), а второе соотношение (1.3.8) и (1.3.9) в (1.3.4), имеем соответственно−g+− = h∂I h,I3g+3 =I(−)1∂I h при h ⊥ S .h(1.3.10)Нетрудно заметить, что в рассматриваемом случае из (1.3.2) получаем(−)g+− = g+−IJJIпри h ⊥ S .(1.3.11)На основании соотношения (1.3.11) заключаем, что g+− = g+− , а число неза2112висимых основных компонент ЕТВР в рассматриваемом случае больше не уменьшается.(−)(−)Таким образом, в том случае, когда h ⊥ S и на базовой поверхности Sкоординатные линии не являются ортогональными линиями, в качестве независимых основных компонент ЕТВР можно рассматривать следующие:g−− = g−− , g−− = h2 ;IJJI33g+− , g+− , g+− .111222(1.3.12)(−)Следовательно, если координатные линии на базовой поверхности S явля(−)ются ортогональными линиями и h ⊥ S , то g−− = g−− = 0 и число независимых122159основных компонент ЕТВР (1.3.12) уменьшается еще на одно и становится 6,т.е.
в этом случае имеем следующие независимые основные компоненты:g−− , g−− , g−− ;1122g+− , g+− , g+− .331112(1.3.13)22Ниже увидим, что в более частных случаях параметризации на базовой по(−)верхности S , число независимых основных компонент ЕТВР еще уменьшится.Далее с целью более наглядного представления выражений компонент пе−реноса ЕТВР g − ,klgkl ,−kg− , gklи некоторых других геометрических характери-lстик через основные компоненты ЕТВР выпишем их в развернутом виде приразличных частных случаях параметризаций области тонкого тела, а такжерассмотрим некоторые вопросы теории.1.3.2Представления компонент ЕТВР через его основные компоненты переноса при различных семействах параметризацииобласти тонкого телаРассматриваются различные семейства параметризаций области тонкого телаи даются развернутые представления компонент ЕТВР через его основные компоненты переноса при этих семействах параметризаций.1.3.2.1Вектор h не перпендикулярен к базовым поверхностямПолучим представления компонент переноса ЕТВР через его основные компоненты переноса.
Нетрудно заметить, чтоg−kl∼ (g−−,gKL−K3, g − , g − ),3L33−−−Lgkl ∼ (gK, gK3 , g3l ),где ∼ — символ эквивалентности.Требуется выписать выражения каждой из этих компонент. В силу (1.1.11)получаемg−KLg−K3−= (1 − x3 )g − − + x3 g + − ,KLKL−= (1 − x3 )g − − + x3 g + − ,K3g= g −− ,−= g−− = h2 ,33KKgK3 = x3 g +3 ,K3(1.3.14)K−g3l = g−l .−3L−−−g−LgK= (1 − x3 )g L− + x3 g L+ ,3L333Аналогично (1.3.14) имеем−−−−−g k l ∼ (g K L , g K 3 , g 3L , g 3 3 ),g−k ∼ (g−K , g−K , g−3 , g−3 ).lL3L(1.3.15)3Для нахождения выражений компонент (1.3.15) сначала найдем выражениядля rK и r3 , а затем с их помощью – выражения для компонент (1.3.15). В силу(1.1.12) при ` ∈ ∅ имеем(∼)rK = C KL rL × r3 = C KL gLM̃ rM̃ × r3 = ϑ −1 ϵKL ϵN M gLM̃ rÑ .60Далее из (1.1.12) находим3̃ K3̃ Kr3̃ = gk3̃ rk = g33̃ r3 + gKr = r3 + gKr ,а отсюда, учитывая предыдущее соотношение, найдем(∼)3̃ K3̃ KPr3 = r3̃ − gKr = r3̃ + ϑ −1 gKϵ ϵM L gPM̃ rL̃ .С другой стороны из (1.1.12) имеем3 Ñr3 = gñ3 rñ = r3̃ + gÑr .Сравнивая два последних соотношения, заключаем, что(∼)3̃ KPgL̃3 = ϑ −1 gKϵ ϵM L gPM̃ ,∼∈ {−, +}.Таким образом, мы получили более общие соотношения, чем требовалось, аименно(∼)rK = ϑ −1 ϵKP ϵLM gPM̃ rL̃ ,r3 = r3̃ + gL̃3 rL̃ ,(∼)gL̃3Из (1.3.16) при∼3̃ KPϑ −1 gKϵ ϵM L gPM̃ ,=∼(1.3.16)∈ {−, +}.= − получаем искомые соотношения−(−)−−−rK = ϑ −1 ϵKP ϵLM gPM rL ,−−(−)g−3 = ϑ −1 gK3 ϵKP ϵM L gPM .r3 = r 3 + g−3 rL ,L(1.3.17)LПриведем (1.3.17) к более компактному виду.
Вводя обозначения−−−MMAK− ≡ ϵKL ϵM N gLN = g K− + x3 aK+ ,M−−( −) −aK+ ≡ g+I − 1 g K− − g K+ ,MIM(1.3.18)Mсоотношения (1.3.17) можно представить в виде−(−)rK = ϑ −1 AK− rM ,M−−r3 = r 3 + g 3− rM ,M−(−)g 3− = − ϑ −1 gK3 AK− .M(1.3.19)MТеперь в силу (1.3.19) нетрудно выписать искомые выражения для компонент (1.3.15). В самом деле, на основании их определения получаем−(−)−(−)−−(−)g K L = ϑ −1 AK− g M L ,g K− = ϑ −1 AK− ,MM−−g K 3 = ϑ −1 AK− g M 3 ,g−K = 0,3M−g3Lg33−−=g−3L−−=g33−−(−)−−−(−)ϑ −1 gK3 AK− g M L ,M(−)−M3g− =M−−ϑ −1 gK3 AK− g M 3 ,M(1.3.20)−− ϑ −1 gK3 AK− ,Mg−3 = 1.3Теперь более внимательно рассмотрим, например, первое из соотношений(1.1.20). Запишем его в виде квадратного трехчлена относительно x3 .
Имеем−−−)(∓)(∓))((ϑ = (1 − x3 )2 + x3 (1 − x3 )g+I + (x3 )2 ϑ = 1 − g+I + ϑ (x3 )2 − 2 − g+I x3 + 1.(−)III(1.3.21)61Учитывая (1.1.18) приследующий вид(−)ϑ =[(−1 − g+1)(1∼= +,= −, соотношению (1.3.21) можно придать`[(−)− −]−)− )](1 − g+2 + g+2 g+1 (x3 )2 − 1 − g+1 + 1 − g+2 x3 + 1.2121(1.3.22)2Рассмотрим дискриминант квадратного трехчлена. Исходя, например, из(1.3.21), имеем−)−(∓))(∓)((( − )2( − )2( −)2D = 2 − g+I − 4 1 − g+I + ϑ = g+I − 4 ϑ = g+I − 4 det g+J .IIIIIДалее, раскрывая детерминант, получим− −−)( −2D = g+1 − g+2 + 4g+1 g+2 .122(1.3.23)1Утверждение 1.3.1. Дискриминант (1.3.23) квадратного трехчлена (1.3.22)неотрицателен, т.е.
D ≥ 0.−( J− )IДоказательство. В самом деле, g+ и det g+ — инварианты, поэтому и дисIIкриминант D инвариантен. Так как D инвариантен, то утверждение достаточнодоказать относительно специально выбранной системы координат. Выбирая врассматриваемой точке ортогональную систему координат (необязательно декартову) и учитывая (1.3.11), имеем− −−−−−−− −−−− −− ()2g+1 g+2 = g 1 I g+− g 2 J g+− = g 1 1 g 2 2 g+− g+− = g 1 1 g 2 2 g+− ≥ 0.22I121 121J12Итак, в ортогональной пространственной системе координат в рассматриваемой точке (1.3.23) представляется в виде−)−− −− (( −)22D = g+1 − g+2 + 4g 1 1 g 2 2 g+− ≥ 0,1(1.3.24)122что и требовалось доказать.В силу (1.3.24) квадратный трехчлен (1.3.22) обращается в нуль при следующих двух значениях x3 :√−)− −( −122 − g+ ±g+ − g+2 + 4g+1 g+2122 1I=.[(− )(−)− −]121 22 1 − g+ 1 − g+ − g+ g+−I(x3 )1,2122(1.3.25)1Далее рассмотрим два частных случая параметризации области тонкого те(−)ла: первый – вектор h перпендикулярен к поверхности S , второй – вектор h(−)перпендикулярен к поверхности S и при этом координатные линии на основной(−)базовой поверхности S являются линиями кривизны.62Можно также рассматривать случаи, когда на основной базовой поверхности параметризация осуществляется посредством асимптотических, изометрических и сопряженно-изометрических линий, однако после изложения двухуказанных выше случаев рассмотрение этих случаев не представляет большоготруда.
Поэтому на них останавливаться не будем, а заинтересованный читательможет найти изложение этих случаев параметризации поверхности в [68, 70].1.3.2.2Вектор h перпендикулярен к основной базовой поверхностиВ этом случае, как известно, имеют место соотношения (1.3.8) и (1.3.10) и,учитывая их, (1.3.14) и (1.3.20) представятся в формеg−KLg−K3−KLKL−gK3K(1.3.26)−g3l = g−l ;= 0,−= g−− = h2 ,33K1gK3 = x3 g +3 = x3 ∂I h,hK= x3 g + − = x3 h∂I h,−3L−−−g−L= (1 − x3 )g L− + x3 g L+ ,gK= (1 − x3 )g − − + x3 g + − ,333−−−(−)(−)g K L = ϑ −1 AK− g M L ,g−K = ϑ −1 AK− ,ML−g K 3 = 0,Lg−K = 0,3−g3Lg33=−−−(−)− ϑ −1 gK3 AK− g M L ,M−−−=g33=h−2−1= g −− ,331.3.2.3(−)3g− =L(1.3.27)−ϑ −1 gK3 AK− ,L3g− = 1.3Вектор h перпендикулярен к основной базовой поверхностии координатные линии на ней являются линиями кривизныПрежде чем выписать в рассматриваемом случае выражения для компонентпереноса ЕТВР, вспомним кое-что из дифференциальной геометрии, касающееся линии кривизны на поверхности.Во первых, они ортогональные линии и,(во вторых, вектор Родрига производная от единичного векторанормали к по)верхности по естественному параметру (дуге) этой линии и единичный векторкасательной к той же линии коллинеарны.
Кроме того, линия кривизны в каждой точке имеет направление, совпадающее с одним из главных направленийповерхности в этой же точке и геодезическое кручение линии кривизны равнонулю [68, 134, 350].(−)(−)Обозначим единичный вектор нормали к поверхности S через n , единич(−)ный вектор касательной к линии кривизны на этой поверхности через s , а(−)естественный параметр по этой линии через s . Тогда имеем(−)(−)−(−)(−)(−)(−)∂ n dxII==∂ns=−kss,I(−)(−)I∂x d sdsdn(1.3.28)63(−)(−)−где k s — нормальная кривизна поверхности в рассматриваемой точке, а s I =−(−)(−)r I · s = dxI /d s .Нетрудно заметить, что для линий кривизн (xI ), I = 1, 2, соотношение(1.3.28) можно представить в виде−(−)(−)(−)(−)(−)Is (I)∂I n = − k I s (I) ,dxI−Is (I)=(−)d s (I)−(−)= s (I) · r I ,< I = 1, 2 > .Откуда имеемdxI(−)d s (I)dr(−)(−)∂I n = − k I(−)(−)d s (I)т.е.= − k I r−IdxI,(−)< I = 1, 2 >,d s (I)(−)(−)∂I n = − k I r− ,(1.3.29)< I = 1, 2 > .I(−)(−)Здесь k I — главная кривизна поверхности S в направлении r− .I−Далее представим компоненты переноса g+− , g+J ЕТВР в удобном виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
