Диссертация (786091), страница 12
Текст из файла (страница 12)
1.1: Новая параметризация области тонкого тела1.1.1Векторное параметрическое уравнение области тонкого телаРадиус-вектор произвольной точки области тонкого тела представляется в виде(рис. 1.1)(−)(−)(+)r(x′ , x3 ) = r (x′ ) + x3 h(x′ ) = (1 − x3 ) r (x′ ) + x3 r (x′ ),x′ = (x1 , x2 ), ∀x3 ∈ [0, 1],(1.1.1)где соотношения(−)(−)r = r (x′ ),(+)(+)r = r (x′ ),x′ = (x1 , x2 )(1.1.2)являются векторными параметрическими уравнениями базовых поверхностей(−)(+)(−)S и S соответственно, x′ = (x1 , x2 ) — произвольная точка на S , т.е.
x1 и x2 —(−)криволинейные (гауссовы) координаты1 на внутренней базовой поверхности S .Вектор(+)(−)h(x′ ) = r (x′ ) − r (x′ ),x′ = (x1 , x2 ),(1.1.3)(−)топологически отображающий внутреннюю базовую поверхность S на внеш(+)нюю S , вообще говоря, не является перпендикулярным к базовым поверхностям.Нетрудно увидеть, что (1.1.1) при ∀x′ и x3 = 0 определяет внутреннюю(−)(+)базовую поверхность S , при ∀x′ и x3 = 1 — внешнюю базовую поверхность S ,(−)Под x′ раз и навсегда подразумеваем произвольную точку базовой поверхности S , имеющую, еслипротивное не будет оговорено, две координаты x1 и x2 , т.е. зависимость величин от x′ означает их зависимостьот x1 и x2 . Поэтому с целью сокращения письма в дальнейшем, выписывая соотношения, в которых величинызависят от x′ , не будем указывать на то, что x′ = (x1 , x2 ).142(−)(+)а при ∀x′ и x3 = const, где x3 ∈ (0, 1) — эквидистантную от базовых S и Sповерхность S.Следовательно, соотношение (1.1.1) не что иное, как векторное параметрическое уравнение области тонкого тела2 .1.1.2Трехмерные семейства реперов (базисов) и порожденные имисемейства параметризации областиДифференцируя r (1.1.1) по xP , получимrP = r − + x3 hP = (1 − x3 )r − + x3 r + .PP(1.1.4)Pгде введены обозначения∂hhP ≡≡ ∂P h,∂xP∂rrP ≡ ∂P r =,∂xP(∗)∂rr∗ =,P∂xP(1.1.5)∗ ∈ {−, +}.(∗)(∗)Здесь пары векторов r , r , ∗ ∈ {−, ∅, +}, определенные в точках M ∈ S,12∗ ∈ {−, ∅, +}, образуют двумерные ковариантные поверхностные базисы.Дифференцируя (1.1.1) по x3 , получим∗∗r3 ≡ ∂3 r ≡∂r= h(x′ ),3∂x∀x3 ∈ [0, 1].(1.1.6)На основании (1.1.6) можно принять, чтоr− = r3 = r+ ≡ ∂3 r = h(x′ ),33∀x3 ∈ [0, 1].(∗)(1.1.7)(∗)Соотношение (1.1.7) дает возможность в точках M ∈ S, ∗ ∈ {−, +}, определить пространственные ковариантные базисы rp∗ , ∗ ∈ {−, +}.
Таким образом, третий базисный вектор пространственных ковариантных базисов в точках(∗)(∗)M ∈ S, ∗ ∈ {−, ∅, +} — один и тот же вектор h(x′ ).Ввиду (1.1.7) соотношения (1.1.4) и (1.1.6) можно соединить и представитьв видеrp (x′ , x3 ) = r−p (x′ ) + x3 hp (x′ ) = (1 − x3 )r−p (x′ ) + x3 r+p (x′ ).(1.1.8)Тройки векторов r ⋆ , r ⋆ , r ⋆ , ∗ ∈ {−, ∅, +}, определенные в рассматриваемых1(∗)23(∗)точках M ∈ S, ∗ ∈ {−, ∅, +}, образуют трехмерные (пространственные) ковариантные базисы.
По этим базисам, как известно [68,210,337], можно построить2Применяются обычные правила тензорного исчисления [68, 129, 134, 210, 337]. Прописные и строчныелатинские индексы пробегают значения 1,2 и 1,2,3 соответственно. Кроме того, в дальнейшем часто при(∗)(∗)меняются краткие записи, подобные, например, M ∈ S , ∗ ∈ {−, ∅, +} или rp̃ = gp̃q̆ rq̆ ,(−)(−)= ∅,`∼, `∈ {−, ∅, +}, где∅ обозначает пустое множество. Первая запись означает: если ∗ = −, то M ∈ S ; если, ∗ = ∅, то M ∈ S;(+)(+)если ∗ = +, то M ∈ S . Вторая запись означает, что если, например,−∼= +,`q∼= −, то r+ = g+ r− и т.д.
Перебирая все значения, получим все соотношения.ppq−= −, то rp = gpq r− , еслиq43⋆⋆⋆123соответствующие им контравариантные базисы r , r , r , ∗ ∈ {−, ∅, +}. В самомделе, на основании их определения [68, 210, 337] имеем1rk̃ = C k̃p̃q̃ rp̃ × rq̃ ,2()где C k̃p̃q̃ = rk̃ × rp̃ · rq̃ ,∼∼∈ {−, ∅, +}(1.1.9)∈ {−, ∅, +} — контравариантные компоненты дис(∗)(∗)криминантных тензоров [68] в рассматриваемых точках M ∈ S, ∗ ∈ {−, ∅, +},соответственно.Введем в рассмотрение следующие матрицы:gp̆q̃ = rp̆ · rq̃ ,gp̆q̃ = rp̆ · rq̃ ,g p̆q̃ = rp̆ · rq̃ ,gq̃p̆ = rp̆ · rq̃ ,`, ∼∈ {−, ∅, +}.(1.1.10)В силу (1.1.8) и (1.1.10), очевидно, получаемgpq̆ = rp · rq̆ = (1 − x3 )g−p q̆ + x3 g+p q̆ ,gpq̆ = rp · rq̆ = (1 − x3 )g−q̆ + x3 g+q̆ ,pp`(1.1.11)∈ {−, +}.Нетрудно заметить, что в силу (1.1.10) между базисными векторами имеемследующие связи:rp̆ = gp̆q̃ rq̃ = gp̆q̃ rq̃ ,`, ∼∈ {−, ∅, +}.(1.1.12)сохраняющие силу при жонглировании индексами.На основании (1.1.12) легко доказать, что имеют место соотношения∗gp̃q̆ = gp̃n g q̆∗ ,n`, ∼ , ∗∈ {−, ∅, +},(1.1.13)сохраняющие силу при жонглировании индексами.Нетрудно получить выражение для gpq .
В самом деле, по (1.1.10) и (1.1.11)имеем()∗gpq = rp · rq = gpn∗ gqn = (1 − x3 )2 g−p −q + x3 (1 − x3 ) g−p +q + g+p −q + (x3 )2 g+p +q ,−mg+p +q = g+p m− g+ ,q(1.1.14)∗ ∈ {−, +}.Найдем выражения для∼ ∈ {−, +} имеем√g = (r1 × r2 ) · r3 . В силу (1.1.12) при√( )1 IJ(∼)√g = ϵ (rI ×rJ ) · r3 = g det gPQ̃ ,2( ) 1( q̃ )det gp = det gPQ̃ = ϵIJ ϵKL gIK̃ gJL̃ , ∼ ∈ {−, +},2где ϵIJ , ϵKL — символы Леви-Чивиты, а√(∼)√(g = r1̃ × r2̃ ) · r3̃ ,∼∈ {−, +},√ g = g√(−)x3 =0,`= ∅,(1.1.15)√ g = g(+)x3 =1.Из (1.1.15) в свою очередь имеем√( )1(∼)ϑ ≡ g g −1 = ϵIJ ϵKL gIK̃ gJL̃ = det gPQ̃ ,2(∼)∼∈ {−, +}.(1.1.16)44Нетрудно заметить, что имеет место более общее соотношение, чем (1.1.15),а именно√√√(∼)g =12( )g det g Q̆ ,(∼)(`)g L̆ =g ϵIJ ϵKL g K̆˜ ˜IJ`, ∼P̃∈ {−, ∅, +}.(1.1.17)Из (1.1.17) получаем(det gQ̆)P̃( )= det gp̃q̆ =√1L̆g g −1 = ϵIJ ϵKL gIK̆˜ g ˜,J2(∼)(`)`, ∼∈ {−, ∅, +}.(1.1.18)В силу (1.1.18) нетрудно доказать, что, `, ∼ ∈ {−, ∅, +}√`)(∼ϑ ≡(∼)(`)g g−1(∼`)(≈)= ϑ −1 ,ϑ = 1,`, ∼(1.1.19)∈ {−, +}.Учитывая (1.1.18) и (1.1.19), соотношения (1.1.16) можно представить в развернутом виде√(=)(∓)( −)(−)g g −1 = (1 − x3 )2 ϑ + x3 (1 − x3 )tr g+I + (x3 )2 ϑ ,J(+)√++)(+)(±)((+)3 233I3 2−1ϑ = g g = (1 − x ) ϑ + x (1 − x )tr g− + (x ) ϑ .(−)ϑ =(1.1.20)JДалее в силу соответствующего равенства (1.1.12) из (1.1.9) прилучимrk =1 (∼)−1 kpqϑ ϵ ϵlmn gpm̃ gqñ rl̃ ,2∼∼= ∅ по-∈ {−, +},(1.1.21)где ϵkpq , ϵlmn — символы Леви-Чивиты.Учитывая (1.1.18) и (1.1.19), нетрудно доказать, что имеет место более общеесоотношение, чем (1.1.21), а именно∼1 (`)r = ϑ −1 ϵkpq ϵlmn gp̆m̃ gq̆ñ rl̃ ,2k̆`∈ {−, ∅, +},∼∈ {−, +}.(1.1.22)В силу (1.1.22) имеем∼g k̆l̃1 (`)= r · rl̃ = ϑ −1 ϵkpq ϵlmn gp̆m̃ gq̆ñ ,2k̆(1.1.23)∼1 (`)g l̃k̆ = rk̆ · rl̃ = ϑ −1 ϵkpq ϵsmn gp̆m̃ gq̆ñ g s̃l̃ ,2∼∈ {−, +},`∈ {−, ∅, +}.Нетрудно видеть, что на основании (1.1.21) (или из (1.1.23)) имеем1 (∼)−1 kpqϑ ϵ ϵlmn gpm̃ gqñ ,l̃21 (∼)kl̃kl̃g = r · r = ϑ −1 ϵkpq ϵsmn gpm̃ gqñ g s̃l̃ ,2g k = rk · rl̃ =(1.1.24)∼∈ {−, +}.Учитывая (1.1.18), из первых соотношений (1.1.23) и (1.1.24) найдемg K̆K̃(∼`)`)(∼= ϑ −1 g I˘ = ϑ −1 g I˘,˜I˜I(∼)g K = ϑ −1 gII ,K̃˜∼∈ {−, +}.(1.1.25)45После того как были определены базисы в различных точках тонкого тела,целесообразно ввести следующие определения:Определение 1.1.7.
Множество (двумерных) пространственных ковариант∗∗∗∗∗ных и контравариантных базисов (r ∗ , r ∗ и r1 , r2 ) r ∗ , r ∗ , r ∗ и r1 , r2 , r3 называ1(∗)2123(∗)ется (S-) S (∗) -семейством ковариантных и контравариантных базисов соответg(∗)(∗)ственно, ∗ ∈ {−, ∅, +}, а их объединение — (S-) S (∗) -семейством базисов, ∗ ∈g{−, ∅, +}.(∗)(∗)Определение 1.1.8. Порожденное (S-) S (∗) -семейством базисов множество паg(∗)(∗)раметризаций называются ( S-) S (∗) -семейством параметризаций, ∗ ∈ {−, ∅, +}.g(∗)(∗)Определение 1.1.9. Порожденное ( S-) S (∗) -семейством базисов множество геоg(∗)(∗)метрических характеристик называется (S-) S (∗) -семейством геометрическихgхарактеристик, ∗ ∈ {−, ∅, +}.(∗)(∗)Определение 1.1.10.
Компоненты, имеющие векторы в (S-) S (∗) -семействеg(∗)(∗)базисов, называются (S-) S (∗) -семейством компонент, ∗ ∈ {−, ∅, +}.g(∼)(∼)Определение 1.1.11. S (∼) -семейство базисов называется нормальным S (∼) gg12семейством базисов, если третий базисный вектор r3̃ = h(x , x ) перпендикуля(∼)рен к соответствующей базовой поверхности S ,∼∈ {−, ∅, +}.(∼)Определение 1.1.12. S (∼) -семейство базисов называется естественным семейg(∼)ством базисов, обозначаемым через S (∼) , если третий базисный вектор, обознаa(∼)чаемый через n , является единичным вектором нормали к соответствующей(∼)базовой поверхности S ,∼∈ {−, ∅, +}.(∼)(∼)Определение 1.1.13.
Порожденная (естественным) нормальным ( S (∼) -) S (∼) agсемейством базисов параметризация называется (естественным) нормальным(∼)(∼)( S (∼) -) S (∼) -семейством параметризации,ag∼∈ {−, ∅, +}.461.1.3Мультипликативные базисыДля представления при предлагаемой параметризации области тонкого телатензоров, ранг которых не меньше двух, полезно ввести в рассмотрение мультипликативные базисы3 [68].
Так как мы в основном будем иметь дело с тензорами, ранг которых не больше четырех, целесообразно ввести мультипликативныебазисы, образованные с помощью тензорного умножения двух, трех и четырехбазисных векторов из рассмотренного выше различного семейства базисов. Вэтой связи введем определение.(∗)Определение 1.1.14. Тензорные произведения базисных векторов из S (∗) -семейств,g∗ ∈ {−, ∅, +}, обозначаемые· ·· · ·= rm̃ ⊗ rn̆ ⊗ rp̂ ,= rm̃ ⊗ rn̆ , R m̃n̆p̂R m̃n̆· ···∼, `, ∨, ∧ ∈ {−, ∅, +}R m̃n̆p̂q̌ = rm̃ ⊗ rñ ⊗ rp̂ ⊗ rq̌ ,(1.1.26)и получаемые из них жонглированием индексами их образы, называются мультипликативными базисами.В качестве примера приведем представление тензоров второго, третьего ичетвертого рангов при рассматриваемых параметризациях области тонкого тела трехмерного евклидова пространства.
Имеем представления· ·m̃n̆P = P m̃n̆· · R m̃n̆ = P · · rm̃ ⊗ rn̆ ,e· · ·· · · m̃n̆p̂C= C m̃n̆p̂R m̃n̆p̂· · · = C m̃n̆p̂ r ⊗ r ⊗ r ,≃· ···m̃n̆p̂ q̌· · · · m̃ñp̂q̌C = C m̃n̆p̂q̌ R · · · · = C m̃n̆p̂ q̌ r ⊗ r ⊗ r ⊗ r ,e(1.1.27)∼, `,,∨∧∈ {−, ∅, +},конечно, сохраняющие силу при жонглировании индексами.1.1.4Различные семейства символов КристоффеляДля нахождения ковариантных производных от тензоров и их компонент нампонадобятся символы Кристоффеля. Естественно, введенное выше каждое семейство базисов порождает свойственное ему семейство символов Кристоффеля, для которого следует вводить соответствующее обозначение.
В связи с этимвведем определения.(∼)Определение 1.1.15. Порожденное S (∼) -семейством базисов множество симgñволов Кристоффеля первого и второго рода, обозначаемые через Γp̃qи Γp̃q,ñ(∼)соответственно, называются S (∼) -семействами символов Кристоффеля первогоg(∼)и второго рода,Кристоффеля,3∼∼∈ {−, ∅, +}, а их объединение — S (∼) -семейством символов∈ {−, ∅, +}.gВ монографии [68] они называются мультипликативными базисными тензорами.47В рассматриваемом случае математические определения символов Кристоффеля первого и второго рода представляются в виде(∼)Γp̃q,ñ ≡ ∂q rp̃ · rñ ≡ ∂q ∂p r · rñ ≡ rp̃q · rñ ,(∼)Γp̃qñ ≡ ∂q rp̃ · rñ ≡ ∂q ∂p r · rñ ≡ rp̃q · rñ ,∼∈ {−, ∅, +}.(1.1.28)Определение 1.1.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
