Диссертация (786091), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Множество символов Кристоффеля первого (второго)(∼)рода Γ̄P̃ Q,L̃ (Γ̄P̃L̃Q ) называется S -семейством символов Кристоффеля первого(∼)(второго) рода, а их объединение — S -семейством символов Кристоффеля,∼ ∈ {−, ∅, +}.Математически эти символы Кристоффеля определяются следующим образом:(∼)(∼)Γ̄P̃ Q,L̃ ≡ ∂Q rP̃ · rL̃ ≡ ∂Q ∂P r · rL̃ ≡ rP̃ Q · rL̃ ,(∼)Γ̄P̃L̃Q ≡ ∂Q rP̃ · rL̃ ≡ ∂Q ∂P r · rL̃ ≡ rP̃ Q · rL̃ ,r3̃ = r3̃ = n ,∼∈ {−, ∅, +}.(1.1.29)Следует заметить, что тип применяемых индексов, зависит от типа рассматриваемого семейства параметризации.

Поэтому следует различать индексы, применяемые при разных семействах параметризаций. В этой связи введемопределение.(∼)Определение 1.1.17. Индекс, применяемый при S (∼) -семействе параметризаg(∼)(∼)ции, называется g -индексом, а индекс, применяемый при S (∼) -семействе параa(∼)метризации — a -индексом,1.1.5∼∈ {−, ∅, +}.Деривационные формулы для мультипликативных базисовНетрудно вывести деривационные формулы для мультипликативных базисов,зная аналогичные формулы для базисных векторов.

В связи с этим сначала(∼)выпишем деривационные формулы для S (∼) -семейства базисных векторов, коgторые в силу (1.1.28) примут видrp̃q ≡ ∂q rp̃ = Γp̃q,ñ rñ = Γp̃qñ rñ ,rñ, q̃ ≡ ∂q rñ = −Γp̃qñ rp̃ ,∼∈ {−, ∅, +}.(1.1.30)Теперь выведем деривационные формулы, например, для двухвекторных базисов. С этой целью в первом соотношении (1.1.26) поднимем, например, индексn̆ и продифференцируем его по xp . Имеемn̆n̆n̆n̆· n̆∂p R m̃· = ∂p rm̃ ⊗ r + rm̃ ⊗ ∂p r = rm̃p ⊗ r + rm̃ ⊗ r , p̆ ,∼, ` ∈ {−, ∅, +}.(1.1.31)При выводе (1.1.31) было использовано правило дифференцирования обычного произведения функций, которое имеет место и в рассматриваемом случае.Его можно строго доказать, но на этом останавливаться не будем.48Учитывая (1.1.30) в (1.1.31), получаем искомое соотношение· q̆ n̆· n̆· n̆ q̃∂p R m̃· = R q̃ · Γm̃p − R m̃ · Γq̆p ,∼, `∈ {−, ∅, +}.(1.1.32)Перенося члены из правой части в левую, получимq̃n̆∂p R m̃· n̆· − R q̃· n̆· Γm̃p+ R m̃· q̆· Γq̆p= 0,∼, `∈ {−, ∅, +}.(1.1.33)Левая часть соотношения (1.1.33) представляет ковариантную производнуюот мультипликативного (двухвекторного) базиса.

Вводя для ковариантной производной, как принято, обозначение ∇p , соотношение (1.1.33) можно представить в виде∇p R m̃· n̆· = 0,∼, `∈ {−, ∅, +},(1.1.34)сохраняющее силу при жонглировании индексами.Можно заметить, что, перенося члены из левых частей (1.1.30) в правые ивводя обозначение ∇p для оператора ковариантной производной, аналогично(1.1.34) имеем соотношение∇p rm̃ = 0,∇p rñ = 0,∼∈ {−, ∅, +}.(1.1.35)Аналогично (1.1.34) и (1.1.35) доказывается справедливость утвержденийдля n-векторных базисов, ∀n ∈ N. Поэтому на этом не будем останавливаться.Эти утверждения можно сформулировать следующим образом:Утверждение 1.1.1. Ковариантная производная от любого мультипликативного базиса равна нулю.1.1.6Представление единичного тензора второго рангаИсходя из обычного представления этого тензора [68,337], на основании (1.1.12)и (1.1.13) получаемp q m̃ n̆n̆ m̃E = gpq rp rq = gpq gm̃gn̆ r r = gm̃q gn̆q rm̃ rn̆ = gm̃r rn̆ ,eт.е.

имеем представлениеn̆ m̃E = gm̃r rn̆ ,e∼, `∈ {−, ∅, +},(1.1.36)сохраняющее силу при жонглировании4 немыми индексами.По (1.1.36) видно, что элементы введенных выше матриц (1.1.10) представляют компоненты единичного тензора второго ранга (ЕТВР).Введем следующие определения:Определение 1.1.18. Рассмотренная выше параметризация, характеризующаяся заданием радиус-вектора произвольной точки в виде (1.1.1), называетсяновой параметризацией области тонкого тела трехмерного евклидова пространства R3 .

При этом новая параметризация называется регулярной, если внутрен(−)(+)няя S и внешняя S поверхности — регулярные поверхности.4Под жонглированием немыми индексами понимается то, что, если один из индексов опускается, то соответствующий ему индекс поднимается, и наоборот.49Определение 1.1.19. Компоненты gp̃q̆ , ∼, ` ∈ {−, ∅, +}, ∼ ̸= ` и получаемые изних жонглированием индексами их образы, называются компонентами переносаЕТВР при новой параметризации области тонкого тела.Определение 1.1.20. Компоненты gp̃q̃ , gp̃q̃ , gp̃q̃ ∼ = − (∼ = +), и компонентыпереноса gp̃q̆ , gp̃q̆ , ∼ = +, ` = − (∼ = −, ` = +), называются основными компонентами ЕТВР при новой параметризации области тонкого тела, если в качествеосновной базовой применяется внутренняя (внешняя) базовая поверхность.1.1.7Представления изотропных тензоров четвертого рангаЭти тензоры5 занимают особое место в МДТТ.

В частности, ими пользуются,например, при записи определяющих соотношений в линейной теории упругости для изотропного материала. Поэтому целесообразно иметь их представления и в предлагаемом варианте теории. Нетрудно выписать эти представления.В самом деле, при полном сокращении индексов у мультипликативных базисов,составленных из четного числа базисных векторов, при условии, что каждая па(∼)ра зацепленных индексов принадлежит только одному из g -семейств индексов,∼ ∈ {−, ∅, +}, так что различные пары зацепленных индексов могут принадлежать разным семействам индексов, из мультипликативных базисов получаютсяизотропные тензоры.

Более того, компоненты этих тензоров остаются неизменными не только при ортогональных преобразованиях, а и при замене одних(∼)S (∼) -семейств реперов, ∼ ∈ {−, ∅, +}, другими.gОбнаружив такую структуру, очевидно, при полном сокращении индексов умультипликативного базиса из четырех базисных векторов надо ожидать получение всех изотропных тензоров четвертого ранга. Так как четырехвекторныймультипликативный базис определяется как тензорное произведение четырехбазисных векторов, то число его изомеров равно 4! = 24.

Нетрудно показать,что при полном сокращении индексов у всех изомеров, указанным выше способом, несводимыми друг к другу окажутся только следующие три:· m̃ n̆ ·m̃ n̆m̃ n̆ p̂ q̌CI = Rm̃· · n̆ = rm̃ r r rn̆ = EE = gm̃n̆ gn̆q̌ r r r r ,eee· · m̃ n̆m̃ n̆m̃ n̆ p̂ q̌CII = Rm̃n̆ · · = rm̃ rn̆ r r = gm̃p̂ gn̆q̌ r r r r ,e· m̃ n̆m̃ n̆n̆m̃ n̆ p̂ q̌CIII = Rn̆· m̃· · = rn̆ rm̃ r r = rn̆ E r = gm̃q̌ gn̆p̂ r r r r ,ee(1.1.37)∼, `∈ {−, ∅, +},сохраняющие силу при жонглировании индексами.Нетрудно усмотреть, что если H — тензор второго ранга, то его внутренниеe приводят к тензорам2-произведения с тензорами (1.1.37)22CI ⊗ H = H ⊗ CI = I1 (H)E,ee 2ee e2eCIII ⊗ H = H ⊗ CIII = HT ,eeeee22CII ⊗ H = H ⊗ CII = H,eeeee(1.1.38)где HT обозначает транспонированный тензор, I1 (H) — первый инвариант тенe 2eзора H, ⊗ — знак внутреннего 2-произведения6 [68, 276, 277, 282, 289, 290, 302].e5Различные применения этих тензоров можно найти в монографии [210]2Например, если A и B — тензоры второго ранга, то A ⊗ B = Aij B ij , а если C — тензор четвертого ранга2e ee eeи A — тензор второго ранга, то C ⊗ A = ri rj C ijkl Akl .

Следовательно, если C и D — тензоры четвертого234eeeeeeeeранга , то C ⊗ D = ri rj rm rn Cijkl Dklmn , C ⊗ D = ri rn Cijkl Djkln , C ⊗ D = Cijkl Dijkl .eeeeee650Пусть S = (H + HT )/2 — симметричная, а Ω = (H − HT )/2 — кососимметe тензораee H. Тогда, как легко заметить,eeв силуe (1.1.38) имеемричная частьe21(CII + CIII ) ⊗ H = S,2 eeee21(CII − CIII ) ⊗ H = Ω .2 eeee(1.1.39)Таким образом, тензор четвертого ранга ∆ = (CII +CIII )/2 при внутреннемeeа тензор κ = (CII −e2-произведении на тензор H выделяет симметричную,ee N второгоeCIII )/2 — кососимметричную часть и, следовательно, любой тензорeeрангаможно представить в виде22∆ + κ ) ⊗ N = E ⊗ N;N = S + Ω = (∆e 1e ee e 1ee eS = (N + NT ), Ω = (N − NT ).e 2 eee 2 ee(1.1.40)Отсюда и из второго соотношения (1.1.38) видно, что тензор11E ≡ CII = ∆ + κ = (CII + CIII ) + (CII − CIII )2 eeee e 2 eee(1.1.41)является единичным тензором в множестве тензоров вторых рангов относительно операции внутреннего 2-произведения.

Очевидно, в этом смысле он будетединичным тензором (единицей) в любом множестве тензоров, ранг которых неменьше двух. Что касается тензора ∆ = (CII + CIII )/2, он будет единичнымe тензоров,ee которых не меньше двух,тензором в том же смысле в множестверанга компоненты симметричны относительно первых и последних двух индексов.При этом ∆ будет левой (правой) единицей в множестве тензоров, ранг которыхне меньшеeдвух, а компоненты симметричны относительно первых (последних)двух индексов.Следует отметить, что общее выражение изотропного тензора четвертогоранга имеет вид∆ + 2ακκ.C ≡ λCI + µ(CII + CIII ) + α(CII − CIII ) = λEE + 2µ∆eeeeeeeeee(1.1.42)Нетрудно увидеть, что для тензоров ∆ и κ и их компонент в силу соответe eпредставленияствующих соотношений (1.1.37) имеют место)1(∆ = ∆ m̃· n̆· p̂· q̌· rm̃ rn̆ rp̂ rq̌ , ∆ m̃· n̆· p̂· q̌· = gm̃p̂ gn̆q̌ + gm̃q̌ gn̆p̂ ,2e)1(· · · · m̃ n̆ p̂ q̌· · · ·κ = κ m̃ n̆ p̂ q̌ r r r r , κ m̃ n̆ p̂ q̌ = gm̃p̂ gn̆q̌ − gm̃q̌ gn̆p̂ ,2e(1.1.43)∼, `,∧,∨∈ {−, ∅, +},сохраняющие силу при жонглировании индексами.В силу первого соотношения (1.1.37) и (1.1.43) нетрудно выписать представления и для тензора (1.1.42) и его компонент, поэтому на этом останавливатьсяне будем.Пусть два тензора второго ранга P, и H связаны между собой соотношениeeями2P = C ⊗ H,eee2H = J ⊗ P,e e e(1.1.44)где C и J — тензоры четвертого ранга.

Учитывая второе из соотношенийe в первом,e(1.1.44)а потом, наоборот, первое во втором, получаем соответственно2222P = C ⊗ J ⊗ P = (C ⊗ J) ⊗ P,ee e ee ee2222H = J ⊗ C ⊗ H = (J ⊗ C) ⊗ H.e e eee ee(1.1.45)51Теперь, представляя тензоры P и H аналогично первому соотношению (1.1.40)e e соответственно, нетрудно заметить, чтои сравнивая с соотношениями (1.1.45)22C ⊗ J = J ⊗ H = CII = ∆ + κ ≡ E.e e e eee ee(1.1.46)Итак, в общем случае взаимообратные тензоры четвертого ранга удовлетворяют соотношению (1.1.46).Нетрудно доказать, что результаты всевозможных внутренних 2-произведенийтензоров CI , CII , CIII , ∆ , κ , E, E можно представить в виде следующей табe eee e e eлицы:2CI CIICIII ∆ κEEeeeeeee CI 3CI CICC0C3EIIIeeeeeee CII CI CIICIII ∆ κEEeeeeeeeeκCCCC∆−κ∆−κE IIIIIIIII,eeeeee e e e ∆C∆∆∆0∆EIeeeeee e κκ0κ−κ0κκ0 eeeeeCIE ∆ −κ ∆ κEE Eeeee e eeeeE3EEEE0E3eeeeee⊗(1.1.47)часть которой, получающаяся пересечением первых четырех строк и столбцов,приведена в приложении монографии [210].

Характеристики

Список файлов диссертации