Диссертация (786091), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Вектор h перпендикулярен к внутренней базовой поверхности S . В этомслучае выполняются условия (1.3.8) и поэтому, как легко усмотреть, из (1.5.3)(−)при`= − для компонент второго тензора поверхности S будем иметь1b −− =PQ2(−)√−−(g 3 3 2g − − − g + −PQPQ√) √ −− (−− ())− g + − = g 3 3 g − − −g + − = g 3 3 g − − −g + − .QPQPQPPQ(1.5.4)PQНетрудно заметить, что из (1.5.4) следует (1.3.11).(+)Выражения для компонент второго тензора поверхности S получаются из(1.5.2) при x3 = 1. С целью сокращения письма их выписывать не будем.(−)б. Вектор h перпендикулярен к внутренней базовой поверхности S и область тонкого тела имеет постоянную толщину (h = |h| = const).
Нетрудноувидеть, что в рассматриваемом случае имеет место (1.3.10) и так как h = const,из них получаем−g+− = h∂I h = 0,I3(−)g+3 = h−1 ∂I h = 0 при h ⊥ S , h = |h| = const.(1.5.5)IВ силу (1.5.5) из соответствующих соотношений (1.3.26) и (1.3.27) имеем−−−−−gP3 = x3 g +3 = 0, g 3− = 0, g 33 = g 3n g−3 = g 3 3 .P(1.5.6)nKВ силу (1.5.1) при ∼ = − и (1.5.6) из второго соотношения (1.4.8) при ` = −получаем−−Γ3P Q = gPM Γ −3 − .(1.5.7)MQПодставляя (1.5.7) в (1.5.1) при(1.5.6), найдем∼− (−)bP Q = gPM b − − = gMQ= ∅ и учитывая последнее соотношение(−) −−PM+ (+)(+) +NbM− = gP b + + = gNQQ+PNbN+,Qгде последние два равенства получаются аналогично.Из последнего соотношения имеем− (−)(−) −+ (+)(+) +PNbPQ = g P K bKQ = g P M b − − = g −P b Mb + + = g +P b N− = g+.MQMQNQNQ70Легко усмотреть, что последние два соотношения можно представить в следующих кратких формах:(`)(`)(`)(`)PbP Q = gPM̆ b M̆ Q̆ = gP M̆ b Q̆M̆ , bPQ = g P K bKQ = g P M̆ b M̆ Q̆ = gM̆b M̆,Q̆` ∈ {−, +}.(1.5.8)Получим обратные к (1.5.8) соотношения.
Умножая, например, первое равенство первого соотношения (1.5.8) на gL̆P с последующим суммированием поP и учитывая соотношение (1.1.13), будем иметь((`))( (`))((`))gL̆P gPM̆ b M̆ Q̆ = gL̆P bP Q ⇒ gL̆M̆ b M̆ Q̆ = gL̆P bP Q ⇒ b L̆Q̆ = gL̆P bP Q .Таким образом,(`)((`))((`))b P̆ Q̆ = gP̆L b LQ = gP̆ L bQL ⇒ b Q̆P̆ = g P̆ M̆ b M̆ Q̆ = g P̆ L bLQ = gLP̆ bQL ,` ∈ {−, +}(1.5.9)и верны соотношения(∼) )(`)(∼)(∼)(∼) )((`)((`)b P̆ Q̆ = gP̆L̃ b L̃Q̃ = gP̆ L̃ b Q̃L̃ ⇒ b Q̆P̆ = g P̆ M̆ b M̆ Q̆ = g P̆ L̃ b L̃Q̃ = gL̃P̆ b Q̃L̃ ,∼, ` ∈ {−, ∅, +}.(1.5.10)Очевидно, соотношения (1.5.10) содержат (1.5.8) и (1.5.9).Теперь, учитывая, что в силу первого соотношения (1.5.5) h перпендикуля(+)(+)рен и поверхности S (h ⊥ S ), аналогично (1.5.4) из (1.5.3) получим1b ++ =PQ2(+)√++g33() √ ++ () √ ++ ()3333g − + +g − + −2g + + = gg − + −g + + = gg − + −g + + .PQQPPQPQPQQP(1.5.11)QPСоотношения (1.5.4) и (1.5.11) можно объединить и записать одним соотношением) √ ()(`)1√ (g 3̆3̆ g − + g − − g + − g + =QP̆ )P Q̆QP̆2√ ( P Q̆3̆3̆= g g − − g + , ` ∈ {−, +},b P̆ Q̆ =QP̆g 3̆3̆ g − − g +P Q̆P Q̆=(1.5.12)QP̆непосредственно следующим еще из (1.5.3).1.5.2.1Представление средних и гауссовых кривизн поверхностейпосредством основных компонент ЕТВРИмея выражения для вторых тензоров поверхностей через основные компоненты ЕТВР, не представляет большого труда найти аналогичные представлениядля средних и гауссовых кривизн тех же поверхностей.
В самом деле, обозначая(`)(`)(`)средние и гауссовы кривизны поверхностей S через H и K соответственно, где` ∈ {−, ∅, +}, по их определениям [68, 134, 337, 350] будем иметь(`)(`)(`)(`)(`)( √ ) ˘˘(`) ˘ ˘˘2 H = k 1 + k 2 = b II˘ = g I J b I˘J˘ = 1/ g 3̆3̆ g I J ΓI˘3̆J˘ ,(`) (`)(`)1 (`)I˘J˘(`)L̆M̆ (`) (`)1 (`) ˘ ˘(`) (`) (`)=C Cb I˘L̆ b J˘M̆ =K = k 1 k 2 = C I J C L̆M̆ b L̆I˘ b M̆J˘22()(`) ˘ ˘(`)= 1/(2g 3̆3̆ ) C I J C L̆M̆ ΓI˘3̆L̆ ΓJ3̆˘M̆ , ` ∈ {−, ∅, +},(1.5.13)71(`)(`)(`)(`)(`)˘˘˘˘˘˘где k 1 и k 2 — главные кривизны поверхностей S , а C I J = C I J 3̆ = (rI × rJ ) ·(`)(`)r3̆ , CL̆M̆ = CL̆M̆ 3̆ = (rL̆ × rM̆ ) · r3̆ — компоненты дискриминантного тензора в(`)(`)рассматриваемой точке M ∈ S ,`∈ {−, ∅, +}.(`)Для представления средних и гауссовых кривизн поверхностей S , ` ∈ {−, ∅, +},с помощью основных компонент переноса ЕТВР остается лишь соответствующим образом подставить (1.5.2) и (1.5.3) (или выражения символов Кристоффеля ΓI˘J,˘ 3̆ , ` ∈ {−, ∅, +}, из первого соотношения (1.4.7), а Γ3IJ из второгосоотношения (1.4.8)) в (1.5.13), однако с целью сокращения письма в общемслучае этими подстановками заниматься не будем.
Более подробно рассмот(−)рим случай, когда h ⊥ S и область тонкого тела имеет постоянную толщину(h = |h| = const). В этом случае из первого соотношения (1.5.8) с учетом (1.5.12)имеем√√(`)bP Q = gPM̆ b M̆ Q̆ =g 3̆3̆ gPM̆ (g −QM̆− g+ ) =g 3̆3̆ (gQM̆−PQ−g+)=PQ(−)(+)](`)[][33=(1−x)b+xb ++ == (1 − x3 )g −M̆ + x3 g M̆b−−+M̆ Q̆PQPQP√P√−−= (1 − x3 ) g 3 3 (g − − − g − + ) + x3PQPQ−−g 3 3 (g + − − g + + ).PQPQАналогично из второго соотношения (1.5.8) с учетом (1.5.12) получаем(`)bPQ = g P N̆ b Q̆N̆ =√g 3̆3̆ g P N̆ (g − − g + ) =QN̆QN̆√g 3̆3̆ (g −P − g +P ).QQТаким образом, учитывая, что g 3̆3̆ = h−1 , имеемbP Q = h−1 (g−PQ−g+PQ[]) = h−1 (1 − x3 )(g − − − g − + ) + x3 (g + − − g + + ) =PQ(`)= gPM̆ b M̆ Q̆ = (1 − x3 ) bPQPQPQ+(−)−−+ x3 b + + ,PQ−1P(1.5.14)PQPPbQP = h−1 gN̆(g −N̆ − g +N̆ ) = h (g − − g + ).QQQQСледует заметить, что первое соотношение (1.5.14) легко получается еще из(1.5.2), если учесть, что в рассматриваемом случае имеют место (1.3.8), (1.5.5),(1.5.6) и, кроме того, h ⊥ S, т.е.
gI3 = 0, g I3 = 0.Теперь нетрудно найти выражения для средней и гауссовой кривизн поверхности S через основные компоненты ЕТВР. В самом деле, на основании первогосоотношения (1.5.13) при ` = ∅ и второго соотношения (1.5.14) для средней кривизны имеем−−2H = b11 + b22 = h−1 (g−I − g+I ) = h−1 g −I (g−N − g+N ),IINIIа в силу второго соотношения (1.5.13) при ` = ∅ и второго соотношения (1.5.14)для гауссовой кривизны получаем−−1K = h−2 C IJ C LM (g−L −g+L )(g−M −g+M ) = h−2 det(g−L − g+L ) = h−2 det[g −L (g−N − g+N )] =2IIJJIINII−−−−−2LMML−2MM= h det(g − )det(g− − g+ ) = det(g − )[h det(g− − g+ )].NIINII72Таким образом,−−−2H = h−1 (g−I − g+I ) = h−1 g −I (g−N − g+N ),IINI−K = det(g −L )[h−2 det(g−M − g+M )].INI(1.5.15)IСоотношения (1.5.15) можно представить и в других формах. Нетрудно заметить, что из (1.5.15) для средней и гауссовой кривизн внутренней базовой(−)поверхности S имеют место следующие выражения:−(−)−−−(−)(∓)2 H = h−1 (2 − g+I ), K = h−2 det(g−M − g+M ) = h−2 (1 − g+J + ϑ ).(1.5.16)JIIIАналогично (1.5.16) из (1.5.15) при x3 = 1 для средней и гауссовой кривизн(+)внешней базовой поверхности S имеем+(+)+(+)+ (−)(±)(±)(−)2 H = h−1 (g−I − 2), K = h−2 (1 − g−I + ϑ ) = h−2 det(g−J ) K = ϑ K .II(1.5.17)IЗаметим, что соотношения (1.5.16) и (1.5.17) можно было бы еще получитьиз (1.5.13) с учетом (1.5.12).+Как видно, в соотношениях (1.5.17) участвуют компоненты g−J и, так какIв качестве основной базовой рассматривается внутренняя базовая поверхность(−)S , то кинематические характеристики целесообразно определить с помощьюосновных компонент ЕТВР.В силу первых соотношений (1.1.19) и (1.1.25) имеем соответственно(±)+(∓)(∓)−ϑ = ϑ −1 , g−I = ϑ −1 g +K , (K = 1, 2).I(1.5.18)KУчитывая (1.5.18) в (1.5.17), получим их выражения через основные компоненты ЕТВР:−(∓)(+)(∓)(∓)(−)(+)(∓)(−)2 H = h−1 ( ϑ −1 g +K − 2) = 2 ϑ −1 [h−1 (1 − ϑ ) − H ], K = ϑ −1 K .(1.5.19)KПри получении последнего равенства первого соотношения (1.5.19) были использованы еще соотношения (1.5.16).Легко усмотреть, что в силу (1.1.16) и (1.1.18) имеем(+)ϑ =√√(+)g g −1 =√(−)g g −1√(−)(+)g g −1 =(−)(+)(−)(∓)(−)g g −1 ϑ = ϑ −1 ϑ .а первое соотношение (1.1.20) с учетом (1.5.16) можно также представить ввиде(−)−−II(∓)(−)(−)ϑ = 1 − x3 (2 − g+I ) + (x3 )2 (1 − g+I + ϑ ) = 1 − 2(hx3 ) H + (hx3 )2 K .Таким образом,(−)(−)(−)(+)(∓)(−)ϑ = 1 − 2(hx3 ) H + (hx3 )2 K , ϑ = ϑ −1 ϑ .(1.5.20)73−(∓)Рассматривая (1.5.16) как систему и разрешая относительно g+I и ϑ , полуIчаем−(∓)(−)(−)(−)g+I = 2(1 − h H ), ϑ = 1 − 2h H + h2 K .(1.5.21)IЗаметим, что второе соотношение (1.5.21) можно также получить из первогосоотношения (1.5.20) при x3 = 0.−+Нетрудно определить и компоненты g−q с помощью компонент g +n .
В самомmpделе, эти компоненты в силу (1.1.13) образуют взаимообратные матрицы и поэтому удовлетворяют соотношению+−ll−g+m g−n = g−m .n(1.5.22)+Рассматривая (1.5.22) как систему уравнений относительно неизвестных g−plи разрешая ее, приходим к соотношению+− −−− −1 (∓)1g−p = [det(g +n )]−1 ϵlmn ϵ pqs g+m g+n = ϑ −1 ϵlmn ϵ pqs g+m g+n .q smq s22l(1.5.23)Из (1.5.23) в свою очередь легко получаем+−(∓)+−(∓)−+g−P = ϑ −1 ϵLM ϵ QS g +M , g−3 = ϑ −1 ϵLM ϵ QS g +M g+3 , g−p = g3p .LQLQ(1.5.24)3SСледует заметить, что (1.5.24) можно было бы вывести и из соответствующих соотношений второго столбца (1.3.20) при x3 = 1.Теперь вернемся к соотношениям (1.5.15) и придадим им другой вид. Из первого соотношения (1.5.15) с учетом второго соотношения первой строки (1.3.20)и (1.5.16) и из второго соотношения (1.5.15) с учетом (1.1.16) и второго соотношения (1.5.16) получаем соответственно−(−)−−−−2H = h−1 ϑ −1 ϵ IP ϵN L [g −L + x3 (g +L − g −L )](g−N − g+N ) ==h−1=h−1(−)ϑ(−)ϑ(−)P−1 IPϵ−P−−PII−−−−ϵN L [g − g− − g − g+ − x (g− − g+N )(g −L − g +L )] =P−1−L N[ϵ ϵIL − ϵILIILL NP−3IIϵN L g+ − x ϵN3 IPI−N(−)(−)IP−−P−−ϵN L (g− − g+ )(g − − g +L )] =NNI(−)I(−)LPP(−)(−)= h−1 ϑ −1 [2 − g+I − 2(x3 h2 K )] = 2 ϑ −1 ( H − x3 h K ), K = ϑ −1 K .IТаким образом,(−)(−)(−)H = ϑ −1 ( H − x3 h K),(−)(−)K = ϑ −1 K .(1.5.25)Нетрудно заметить, что соотношения (1.5.17) можно также получить из(1.5.25) при x3 = 1 соответственно.741.5.2.2Представления компонент переноса и компонент ЕТВР в виде степенных рядов относительно x3Заметим, что в дальнейшем для нахождения моментов различных величин нампонадобятся представления компонент переноса g P− , g 3− и компонент g P M , g P 3 ,M33M3g ЕТВР в виде степенных рядов относительно x .
Очевидно, эти представления можно найти различными способами. Мы остановимся на двух из них.Первым способом представим g P− в виде суммы простых дробей, а потом в искоMмом виде. Прежде всего с целью сокращения письма запишем (1.3.22) в удобнойформе(−)(1.5.26)ϑ = a(x3 )2 − 2bx3 + 1,где введены обозначения−( −)2b = 2 − g+I = 2 − tr g+J .− )(−)− −( −)( −)(a = 1 − g+1 1 − g+2 + g+2 g+1 = 1 − tr g+J + det g+J ,1212III(1.5.27)IНетрудно заметить, что с помощью a и b значения x3 , при которых квадратныйтрехчлен обращается в нуль (1.3.25), вычисляются по формуламx31b+=√b2 − a,ax32b−=√b2 − a.a(1.5.28)По теореме Виета имеем2b x31 + x32 = ,a x3 · x3 = 1 ,12a⇒ a=1,· x321( 11)+. b=2 x31 x32x31(1.5.29)Квадратный трехчлен (1.5.26), очевидно, можно представить в виде следующего разложения(−)(1.5.30)ϑ = a(x3 − x31 )(x3 x32 ) = a(x31 − x3 )(x32 − x3 ).В силу первого соотношения (1.3.18), соответствующей формулы (1.3.20) и(1.5.30) получаем(−)g P− = ϑ −1 AP− =MM−−MMaP+ x3 + g P−a(x31 − x3 )(x32 − x3 )=ABAx32 + Bx31 − (A + B)x3+=.a(x31 − x3 ) a(x32 − x3 )a(x31 − x3 )(x32 − x3 )Отсюда для A и B находим выражения− A + B = −aP+ ,M− Ax3 + Bx3 = g P− ,12⇒M A=( −− )1P3 Pag+x−1 + ,x32 − x31 MM( −− )1P3 Pag+xB=−2 + .x31 − x32 MMПодставляя выражения для A и B в предыдущее соотношение будем иметь−−(−)g P− = ϑ −1 AP− =MMg P− + x31 aP+ (Max31 (x32−Mx31 )1−3 )−1xx31−−−g P− + x32 aP+ (Max32 (x32−Mx31 )1−x3 )−1,x32(1.5.31)75Учитывая в (1.5.31) значение a из (1.5.29), получимPg−M[ ( −]( −− )(− )(1x3 )−1x3 )−13P3 P3P3 P= 3x g − + x1 a +1− 3− x1 g − + x2 a +1− 3.x2 − x31 2 Mx1x2MMM(1.5.32)Заметим, что на основании (1.5.27) a и b — инварианты, тогда в силу (1.5.28)корни x31 и x32 также инварианты, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
