Диссертация (786091), страница 16
Текст из файла (страница 16)
ВIJIсилу определения g+− и (1.1.3) имеемIJ[ (( (−))(−))]g+− = r+ · r− = ∂I h + r · r− = ∂I h · r− + g−− = ∂I h n · r− + g−− =IJIJJJIJJIJ((−))( (−))( (−))= ∂I h n · r− + h ∂I n · r− + g−− = h ∂I n · r− + g−− ,JJIJJIJ(−)где учтено, что n ⊥ r− .JТаким образом,( (−))g+− = h ∂I n · r− + g−− ,IJJ−−−−( (−) − )g+J = g J K g+ − = h ∂I n · rJ + g−J .IJIIK(1.3.30)IУчитывая (1.3.29) в (1.3.30), получим их искомые представления(−) )(g+− = 1 − h k I g−− ,IJIJ−(−) ) −(g+J = 1 − h k I g−J ,I< I = 1, 2 > .(1.3.31)IЗаметим, что в рассматриваемом случае в силу первого соотношения (1.3.31)g+− = 0 и число независимых основных компонент ЕТВР (1.3.13) уменьшится12на одно, становясь равным 5.
Таким образом, в этом случае имеем следующиенезависимые основные компоненты ЕТВР: g−− , g−− , g−− , g+− , g+− . Кроме того,1122331122если на основной базовой поверхности гауссовы координаты являются изометрическими, то g−− = g−− и, очевидно, число независимых основных компонент1122ЕТВР уменьшится еще на одно, становясь равным 4. В этом случае в качественезависимых основных компонент ЕТВР можно рассматривать, например, g−− ,11g−− , g+− , g+− .33112264−nЕТВР.Теперь нетрудно найти выражения для компонент переноса gm−n , gmВ самом деле, учитывая (1.3.10) и (1.3.31) из (1.3.14) получимgg−II[( −)]= g−− 1 + x3 g+I − 1 , < I = 1, 2 >,II−I ̸= J,= 0,−= x3 g+− = x3 h∂I h,−= g−− = 0,−= g−− = h2 ,−−1gI3 = x3 g+3 = x3 ∂I h,hII3−g3Jg33I ̸= J,gIJ = 0,−I3IIIJg−( −)gII = 1 + x3 g+I − 1 , < I = 1, 2 >,(1.3.32)−g3l = g−l .3J333Заметим, что из (1.3.25) легко получаем−)(−1,(x3 )I = 1 − g+I(1.3.33)< I = 1, 2 >Iи, учитывая (1.3.33), квадратный трехчлен (1.3.22) представится в виде[( −)][( −)]ϑ = 1 + x3 g+1 − 1 1 + x3 g+2 − 1 .(−)1(1.3.34)2−Легко получить выражения и для компонент переноса g k l , g−k ЕТВР.
В самомlделе, в силу (1.3.31) и (1.3.34) из (1.3.18) имеем−−12a+1 = g+2 − 1,(−−21a+2 = g+1 − 1;)A− = 1 + x g+ − 1 ,131−22−I ̸= J,a+J = 0,I((1.3.35))A− = 1 + x g+ − 1 ;232−1I ̸= KIA − = 0,1Kи, учитывая соотношения второй строки (1.3.35) в (1.3.20), получим искомыесоотношения[−−−( −)]−1 Kg K K = 1 + x3 g K−1g K,+[−( K)]−13gK=1+xg−1,−+K−gKL= 0,KK ̸= L,g− = 0,L−g K 3 = 0,−g 3K[−−−( K)]−1 −3 K33g+ g K,= −x 1 + x g + − 1KK−KK−−g−K = 0,K ̸= L,−( K)]−1 −3333g+ ,g − = −x 1 + x g + − 1[3KK(1.3.36)K−g 3 3 = g 3 3 = h−2 ,g−3 = g−3 = 1,< K = 1, 2 >;< K = 1, 2 > .33−Здесь, конечно, g 3+ = h−1 ∂K h.KСледует заметить, что имея выражения для компонент переноса ЕТВР,не представляет большого труда найти выражения и для компонент gpq и g pqЕТВР, которые в силу (1.1.13) представляются в виде−gpq = gpn g−nq ,−g pq = g pm g q− .m(1.3.37)65Не останавливаясь на подробных представлениях (1.3.37) во всех рассмотренных выше случаях, приведем их выражения только в том случае, когда(−)вектор h перпендикулярен к основной базовой поверхности S и при этом координатные линии на ней являются линиями кривизны.
На основании (1.3.32) и(1.3.36) из (1.3.37) получаем[( −)]2+ (x3 ∂I h)2 ,gII = g−− 1 + x3 g+I − 1II3 2< I = 1, 2 >IgIJ = (x ) ∂I h∂J h, I ̸= J, gI3 = x3 h∂I h, g33 = h2 ;−− −[−− −[−)]−2)]−2( K( KK33 KK 33KKKK3, < K = 1, 2 >, g = −x g g + 1+x g + −1g =g1+x g + −1KKK][{ −− ( − ) [( −2 )]−2 }( −1 ) −2 −2 −2 ( −3 )231233−23 2113 23.+g g+ 1+x g+ −1g = 0, g = h +(x ) g g+ 1+x g+ −111.412(1.3.38)2Выражение различных семейств символов Кристоффеля черезосновные компоненты ЕТВР(∼)Ограничимся рассмотрением S (∼) -семейств символов Кристоффеля, ∼ ∈ {−, ∅, +},gа за основную базовую примем внутреннюю базовую поверхность S.
Тогда поопределению 1.3.1 основными компонентами ЕТВР являются компоненты g−p −q ,−−−−g−q , g p q и компоненты переноса g+p −q , g+q и задача заключается в выражении симвоppлов Кристоффеля (1.1.28) через них. С целью разрешения этой задачи разобьемее на две задачи:(`)1. Выразим S (`) -семейства символов Кристоффеля, ` ∈ {−, +}, через осgновные компоненты ЕТВР.2. Выразим Sg -семейства символов Кристоффеля через основные компоненты ЕТВР.1.4.1Выражение семейств символов Кристоффеля относительно базисов, связанных с лицевыми поверхностями, через основныекомпоненты ЕТВР(`)По определениям (1.1.28) для S (`) -семейств символов Кристоффеля8 , ` ∈ {−, +},gбудем иметьΓp̆ q̆,l̆ = rp̆ q̆ · rl̆ ,Γk̆p̆ q̆ = rp̆ q̆ · rk̆ = g k̆l̆ Γp̆ q̆,l̆ ,`∈ {−, +}.(1.4.1)Заметим, что∂Q rP̆ = ∂P rQ̆ , ∂3 rp̆ = 0, ∂Q r3̆ ̸= 0, ∂3 rP̆ ̸= ∂P r3̆ , ` ∈ {−, +},(1.4.2)а в силу (1.1.3), (1.1.7) и (1.1.12) аналог формулы Вейнгартена представится ввиде∂p h = r+p − r−p = (g+q̃ − g−q̃ )rq̃ = (g+p q̃ − g−p q̃ )rq̃ , ∼ ∈ {−, ∅, +}.p8p(1.4.3)Далее в некоторых соотношениях над вторым индексом у символов Кристоффеля пишем тот же самыйзнак, что и над другими.
Хотя, как было сделано выше, это необязательно.66Нетрудно заметить, что)(Γp̆ q̆,l̆ ∼ ΓP̆ Q̆,L̆ , ΓP̆ Q̆,3̆ , Γ3̆Q̆,l̆ , Γp̆ 3̆,l̆ ,`∈ {−, +}.На основании второго соотношения (1.4.2), (1.4.3) и определения (1.4.1) легко показать, чтоΓp̆ 3̆,l̆ = rp̆ 3̆ · rl̆ = 0, Γ3̆Q̆,l̆ = g + − g − ,Ql̆Ql̆`∈ {−, +}.(1.4.4)Кроме того,1ΓP̆ Q̆,L̆ = (−∂L gP̆ Q̆ + ∂P gQ̆L̆ + ∂Q gL̆P̆ ) = Γ̄P̆ Q̆,L̆ ,2`∈ {−, +},(1.4.5)(`)где Γ̄P̆ Q̆,L̆ в силу первой строки (1.1.29) — S -семейство символов Кристоффеляпервого рода.Далее на основании определения (1.4.1) и (1.4.3) имеемΓP̆ Q̆,3̆ = ∂Q rP̆ · h = ∂Q (rP̆ · h) − rP̆ · hQ = ∂Q gP̆ 3̆ − g + + g − ,QP̆QP̆`∈ {−, +}и отсюда, учитывая второе соотношение (1.4.2), легко получаем)1(∂P gQ̆3̆ + ∂Q gP̆ 3̆ − g + − g + + g − + g −=P Q̆QP̆P Q̆QP̆2= ∂Q gP̆ 3̆ − g + + g − = ∂P gQ̆3̆ − g + + g − , ` ∈ {−, +}.ΓP̆ Q̆,3̆ = ΓQ̆P̆ ,3̆ =QP̆QP̆P Q̆(1.4.6)P Q̆Не представляет большого труда найти выражения и для символов Кристоффеля второго рода.
В самом деле, нетрудно заметить, что( −)Γp̆k̆q̆ ∼ ΓP̆k Q̆ , Γ3̆k̆Q̆ , Γp̆k̆3̆и на основании определения (1.4.1) и (1.4.4)–(1.4.6) будем иметьΓP̆k̆ Q̆ = g k̆l̆ ΓP̆ Q̆,l̆ = g k̆3̆ (∂P gQ̆3̆ − g + + g − ) + g k̆L̆ Γ̄P̆ Q̆,L̆ ,P Q̆Γ3̆k̆Q̆ = g +k̆ − g −k̆ ,QQΓp̆k̆3̆ = 0,P Q̆` ∈ {−, +}.Из полученных выше соотношений этого раздела присоответствующие соотношения работы [251].1.4.2`(1.4.7)= − получаютсяВыражение Sg -семейства символов Кристоффеля через основные компоненты ЕТВРРассмотрим два способа нахождения выражений для Sg -семейства символов(`)Кристоффеля. Первый заключается в нахождении связей между Sg - и S (`) gсемействами символов Кристоффеля таким образом, что Sg -семейство симво(`)лов оказалось бы определенным посредством S (`) -семейств символов, а второйg67— в определении Sg -семейства символов непосредственно через компоненты переноса ЕТВР.В первом случае по более общим соотношениям (1.2.3) остается только лишьвыписать искомые связи.
В самом деле, при ∼ = ∅ из (1.2.3) получаем(Γp q,l =g ln̆ ∂q g p̃n̆+Γpsq = g sl Γp q,l = gn̆s()(),∂q g pn̆ −)()n̆sn̆m̆∂q g pn̆ + gpm̆ Γm̆=g∂g−gΓq pn̆n̆ q,m̆ ,pqn̆g p̃m̆ Γm̆q=g ln̆gpm̆ Γn̆ q,m̆∼, `∈ {−, +}.(1.4.8)Далее, учитывая (1.1.11) и (1.4.4) — (1.4.6) подходящим образом, из (1.4.8)окончательно получим искомые выражения для Sg -семейства символов Кристоффеля, на выписывании которых останавливаться не будем.Во втором способе нахождения выражения для Sg -семейства символов Кристоффеля поступаем следующим образом: сначала выписываем представленияSg -семейства символов Кристоффеля через Sg -семейство компонент ЕТВР, а затем в силу (1.1.14) учитываем grs = grn̆ gsn̆ , ` ∈ {−, +}.
В результате, например,для Sg -семейства символов Кристоффеля первого рода будем иметь) 1[()()()]1(− ∂l gpq +∂p gql +∂q glp = −∂l gpn̆ gqn̆ +∂p gqn̆ gln̆ +∂q gln̆ gpn̆ =22) n̆()()]1[ (n̆= − ∂l gpn̆ gq −gpn̆ ∂l gq + ∂p gqn̆ gln̆ +gqn̆ ∂p gln̆ + ∂q gln̆ gpn̆ +gln̆ ∂q gpn̆ ,2` ∈ {−, +}.Γp q,l =(1.4.9)Теперь, подставляя (1.1.11) в (1.4.9), получим искомое выражение. Однако сцелью сокращения письма подставим выражения (1.1.11) не для всех компонентпереноса, а только для тех, которые стоят под операцией дифференцирования.В результате получим[ ()]}[ ()]1{ {− ∂l g−p n̆ + ∂l x3 g+p n̆ − g−p n̆ gqn̆ − gpn̆ ∂l x3 g+n̆ − g −n̆ +Γp q,l =q )] q[ ()]}[ ({2+ ∂p g−q n̆ + ∂p x3 g+q n̆ − g−q n̆ gln̆ + g qn̆ ∂p x3 g+n̆ − g−n̆ +l }{[ ()]} n̆[ ( l)]+ ∂q g− + ∂q x3 g+ − g−gp + gln̆ ∂q x3 g+n̆ − g−n̆, ` ∈ {−, +}.l n̆l n̆pl n̆(1.4.10)pВидно, что в связи с громоздкостью записи соотношения (1.4.10) предпочтительно пользоваться соотношениями (1.4.8).Следует заметить, что, например, в силу первого соотношения (1.4.8) получаемΓ′ p̆ q̆,l̆ = Γ′ q̆ p̆,l̆ = gq̆3̆ Γ3̆ p̆,l̆ + Γp̆ q̆,l̆ = gp̆3̆ Γ3̆ q̆,l̆ + Γq̆ p̆,l̆ =)1(= gp̆3̆ Γ3̆ q̆,l̆ + gq̆3̆ Γ3̆ p̆,l̆ + Γp̆ q̆,l̆ + Γq̆ p̆,l̆ , ` ∈ {−, +}, 2Γp q,l x3 =0 = Γ′ − − − , Γp q,l x3 =1 = Γ′ + + + ,(`=−)где(`=+)p q, lΓp q,l x3 =0 = Γ′ p̆ q̆,l̆ `=− = Γ′ −− − ,p q, lp q, lΓp q,l x3 =1 = Γ′ p̆ q̆,l̆ `=+ = Γ′ ++ +p q, lОтсюда в свою очередь легко заключаем, чтоΓ′ p̆ q̆,l̆ ̸= Γp̆ q̆,l̆ , Γ′ P̆ Q̆,l̆ = ΓP̆ Q̆,l̆ ,` ∈ {−, +}.681.5Представление компонент вторых тензоров поверхностей посредством основных компонент ЕТВРЗная выражения различных семейств символов Кристоффеля, не представляет большого труда нахождение представлений компонент вторых тензоров по(∼)верхностей S ,∼∈ {−, ∅, +}, через основные компоненты ЕТВР.
В самом де(∼)ле, по определению [68, 337] компоненты вторых тензоров поверхностей S ,∼ ∈ {−, ∅, +}, представляются в виде√( /√ 3̃3̃ )1b P̃ Q̃ = √ ΓP̃3̃ Q̃ = g 3̃3̃ ΓP̃ Q̃,3̃ + g 3̃L̃g Γ̄P̃ Q̃,L̃ ,g 3̃3̃(∼)1.5.1∼ ∈ {−, ∅, +}.(1.5.1)Представление компонент второго тензора поверхности S посредством основных компонент ЕТВРПодставляя подходящие выражения для символов Кристоффеля, получаемыена основании (1.4.8) и (1.4.10), поочередно в (1.5.1), будем иметь соответствующие представления для компонент второго тензора поверхности S .
Однако сцелью сокращения письма всех их выписывать не будем. Выпишем компоненты второго тензора поверхности S посредством основных компонент ЕТВР втом случае, когда за основную базовую поверхность принимается внутренняя(−)базовая поверхность S . В этой связи, представляя (1.5.1) в виде( √ )()1bIJ = 1/ g 33 Γ3IJ = √ g 3k − ∂k gIJ + ∂I gJk + ∂J gkI2 g 33и учитывая (1.1.14), после простых преобразований получим1 √ 33 [g (1 − x3 )(∂J g−− + ∂I g−− + 2g−− ) − (1 − 2x3 )(g+− + g−+ )+I3IJIJIJ23] J3+x (∂J g+− + ∂I g+− − 2g++ ) +I3J3IJ1 ( K3 /√ 33 )[3 2+ gg(1 − x ) (∂I g− − + ∂J g− − − ∂K g−− )+JKIKIJ233+x (1 − x )(∂I g− + + ∂J g− + + ∂I g+ − + ∂J g+ − − ∂K g−+ − ∂K g−+ )+JKIKIKIJJI] JK+(x3 )2 (∂I g+ + + ∂J g + + − ∂K g++ ) .bIJ =JKKI(1.5.2)IJ−Учитывая g+p +q = g+n g+p −n и, кроме того, выражения g 33 и g K3 через основныеpкомпоненты ЕТВР, окончательно получим искомое представление для bIJ .1.5.2Представление компонент вторых тензоров лицевых поверхностей посредством основных компонент ЕТВРУчитывая (1.4.6) и (1.4.7), из (1.5.1) при∼=`∈ {−, +} найдем искомые(`)представления для компонент вторых тензоров поверхностей S ,`∈ {−, +}.69Имеем(`)) ( /√ )1 √ 3̆3̆ (g ∂P gQ̆3̆ +∂Q gP̆ 3̆ −g + −g + +g − +g − + g 3̆L̆g 3̆3̆ Γ̄P̆ Q̆,L̆ =P Q̆QP̆P Q̆QP̆2√() ( 3̆L̆ /√ 3̆3̆ )3̆3̆= g ∂Q gP̆ 3̆ − g + + g − + gg Γ̄P̆ Q̆,L̆ =QP̆QP̆√ (√ ))(/= g 3̆3̆ ∂P gQ̆3̆ − g + + g − + g 3̆L̆g 3̆3̆ Γ̄P̆ Q̆,L̆ , ` ∈ {−, +}.b P̆ Q̆ =P Q̆(1.5.3)P Q̆Следует заметить, что (1.5.3) при ` = −(` = +) можно еще получить из(1.5.2) при x3 = 0 (x3 = 1).Теперь рассмотрим частные случаи:(−)а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
