Диссертация (786091), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Здесь 0 — нулевой тензор четвертого ранга.Теперь допустим, что J — изотропный тензор четвертого ранга. Тогда аналогично (1.1.42) для него eимеем представлениеJ ≡ λ′ CI + µ′ (CII + CIII ) + α′ (CII − CIII ) = λ′ EE + 2µ′∆ + 2α′κ .eeeeeeeeee(1.1.48)Найдем зависимости между постоянными λ, µ, α и λ′ , µ′ , α′ . Учитывая(1.1.42) и (1.1.48), из (1.1.46) в силу таблицы (1.1.47), получим∆ + (4αα′ − 1)κκ = 0,(3λλ′ + 2λµ′ + 2µλ′ )EE + (4µµ′ − 1)∆eeeeа отсюда в свою очередь заключаем, что 3λλ′ + 2λµ′ + 2µλ′ = 0,4µµ′ = 1,4αα′ = 1.(1.1.49)Разрешая (1.1.49) сперва относительно λ′ , µ′ и α′ , а потом относительно λ,µ и α, получимλ,2µ(3λ + 2µ)λ′λ=− ′ ′,2µ (3λ + 2µ′ )λ′ = −11, α′ =,4µ4α11µ = ′, α = ′.4µ4αµ′ =(1.1.50)Таким образом, если C и J — взаимообратные изотропные тензоры четвертого ранга, то постоянныеe λ, eµ, α и λ′ , µ′ , α′ связаны между собой формулами(1.1.50).52В теории упругости λ и µ называются постоянными Ламе, которые с другойпарой постоянных, например, модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона ν,связаны формуламиµ=E,2(1 + ν)λ=Eν;(1 + ν)(1 − 2ν)ν=λ,2(λ + µ)E=µ(3λ + 2µ).λ+µ(1.1.51)Тогда в силу (1.1.51) и (1.1.50) получаемνλ′ = − ,Eµ′ =1+ν,2Eα′ =1.4α(1.1.52)Следует заметить, что соотношения между основными парами упругих постоянных приведены в приложении V монографии [338].Если C и J — взаимообратные изотропные тензоры четвертого ранга, тоe (1.1.44)eсоотношенияв силу (1.1.42), (1.1.48), (1.1.50) и (1.1.52) представляютсяв виде22∆ + 2ακκ ) ⊗ H,P = C ⊗ H = (λEE + 2µ∆ee 2 e { eeeee 1 } 2−1∆] + κ ⊗ P.H = J ⊗ P = E [−νEE + (1 + ν)∆2α ee e eeeee1.1.8(1.1.53)О ковариантной производной от компонент тензоровТак как выписанные ниже формулы для ковариантных производных от компонент тензоров первого и второго ранга легко обобщаются на компонентытензоров более высокого ранга, то ограничимся рассмотрением ковариантныхпроизводных от компонент тензоров первого и второго ранга.Зная деривационные формулы для мультипликативных базисов, легко определить ковариантную производную от компонент тензоров.

В самом деле, пустьA — тензор первого ранга (вектор), тогда его можно представить в видеA = Ap̃ rp̃ = Ap̆ rp̆ ,∼, `∈ {−, ∅, +}.(1.1.54)Дифференцируя первое равенство (1.1.54) по xn и учитывая первую из деривационных формул (1.1.30), имеем∂n A = ∂n (Ap̃ rp̃ ) = (∂n Ap̃ )rp̃ + Ap̃ ∂n rp̃ = (∂n Ap̃ )rp̃ + Ap̃Γp̃m̃n rm̃ == (∂n Am̃ + Ap̃Γp̃m̃n )rm̃ , ∼ ∈ {−, ∅, +}.Аналогично, дифференцируя A = Ap̆ rp̆ по xn и учитывая вторую из деривационных формул (1.1.30), получаемp̆m̆∂n A = ∂n (Ap̆ rp̆ ) = (∂n Am̆ − Ap̆Γm̆n )r ,`∈ {−, ∅, +}.Таким образом,∂n A = ∇n Am̃ rm̃ = ∇n Am̃ rm̃ ,∼, `∈ {−, ∅, +},53где для ковариантных производных введены обозначения∇n Am̃ = ∂n Am̃ + Ap̃Γp̃m̃n ,p̆∇n Am̆ = ∂n Am̆ − Ap̆Γm̆n,∼, `∈ {−, ∅, +}.(1.1.55)Теперь рассмотрим тензор второго ранга H и представим его в следующемeвиде:H = H p̃· q̆· Rp̃· q̆· = Hp̃· q̆· Rp̃· q̆· = Hp̃· ·q̆ Rp̃· q̆· = H p̃· ·q̆ Rp̃· q̆· ,e∼, `∈ {−, ∅, +}.(1.1.56)Дифференцируя, например, первое равенство (1.1.56) и учитывая деривационную формулу (1.1.32), получим∂n H = ∂n (H p̃· q̆· Rp̃· q̆· ) = (∂n H p̃· q̆· ) Rp̃· q̆· + H p̃· q̆· ∂n Rp̃· q̆· =e= (∂n H p̃· q̆· ) Rp̃· q̆· + H r̃· q̆· Γr̃p̃n Rp̃· q̆· − H p̃· s̆· Γq̆s̆n Rp̃· q̆· = ∂n H p̃· q̆· + H r̃· q̆· Γr̃p̃n − H p̃· s̆· Γq̆s̆n )Rp̃· q̆· ,∼, `∈ {−, ∅, +}.Таким образом,∂n H = (∇n H p̃· q̆· ) Rp̃· q̆· ,e∼, `∈ {−, ∅, +},где для ковариантной производной введено обозначение∇n H p̃· q̆· = ∂n H p̃· q̆· + H r̃· q̆· Γr̃p̃n − H p̃· s̆· Γq̆s̆n ,∼, `∈ {−, ∅, +}.(1.1.57)Как видно из формул (1.1.55) и (1.1.57), нахождение выражений ковариантных производных от компонент тензоров, представленных в разных семействах базисов, производится по обычному правилу [68, 210, 337] с тем отличием, что семейства символов Кристоффеля определяются семействами немыхиндексов.

Так, например, во втором слагаемом в правой части (1.1.57) немой(∼)индекс принадлежит одному из g -семейств, ∼ ∈ {−, ∅, +}, и поэтому семейство(∼)символов Кристоффеля соответственно принадлежит одному из S (∼) -семейств,∼g∈ {−, ∅, +}.Теперь докажем следующееУтверждение 1.1.2. (аналог теоремы Риччи) Ковариантная производнаяот компонент единичного тензора второго ранга равна нулю.Для доказательства этого утверждения продифференцируем, например, первое равенство (1.1.10) по xn .

Получим∂n gp̆q̃ = ∂n (rp̆ · rq̃ ) = ∂n rp̃ · rq̃ + rp̆ · ∂n rq̃ ,∼, `∈ {−, ∅, +}.Отсюда в силу первого соотношения деривационных формул (1.1.30) получаем∂n gp̆q̃ = gr̆q̃ Γr̆p̆ n + gp̆r̃ Γr̃q̃ n ,∼, `∈ {−, ∅, +}.(1.1.58)Перенося члены, находящиеся в правой части (1.1.58), в левую и вводя обозначение для ковариантной производной, получим∇n gp̆q̃ = ∂n gp̆q̃ − gr̆q̃ Γr̆p̆ n − gp̆r̃ Γr̃q̃ n = 0,∼, `∈ {−, ∅, +}.(1.1.59)54Если бы мы исходили из других соотношений (1.1.10), то аналогично (1.1.59)доказали справедливость утверждения при любом другом расположении индексов p̆ и q̃.Таким образом,∇n gp̆q̃ = 0,∇n gp̆q̃ = 0,∇n gq̃p̆ = 0,∇n g p̆q̃ = 0,∼, `∈ {−, ∅, +}.(1.1.60)Равенства (1.1.60) полностью доказывают утверждение.Из утверждения (1.1.60) непосредственно вытекаетСледствие 1.1.1.

Ковариантная производная от компонент изотропных идемитропных тензоров равна нулю.Заметим, что компоненты демитропных тензоров, которые являются тензорами нечетного ранга, меняют знак при несобственном ортогональном преобразовании, тогда как компоненты изотропных тензоров остаются неизменнымипри любом ортогональном преобразовании. Кроме того, единственным демитропным тензором третьего ранга является дискриминантный тензор (тензорЛеви-Чивиты) [210].

Поэтому, вводя в рассмотрение в предлагаемом вариантетеории, например, дискриминантный тензор третьего ранга· · · p̃ q̆ n̂C= Cp̃q̆n̂rrr ,≃···Cp̃q̆n̂= (rp̃ × rq̆ ) · rn̂ ,∼, `,∧∈ {−, ∅, +},(1.1.61)в силу следствия 1.1.1 будем иметь······· · · r̆· · · r̂∇m Cp̃q̆n̂= ∂m Cp̃q̆n̂− Cr̃·q̆n̂· · Γp̃r̃ m − Cp̃r̆n̂Γq̆ m − C p̃q̆r̂Γ n̂ m = 0,∼, `,∧∈ {−, ∅, +}.(1.1.62)Заметим, что с целью сокращения письма в (1.1.61) и (1.1.62) выписанытолько ковариантные компоненты, хотя, конечно, при любом другом расположении индексов p̃, q̆, n̂, ∼, `, ∧ ∈ {−, ∅, +}, имеет место аналогичное (1.1.62)утверждение. Следовательно, равенство (1.1.62) можно получить еще и инымпутем. Например, дифференцированием второго соотношения (1.1.61) по xm .1.2Связь между разными семействами параметризаций области тонкого телаОпределение 1.2.1. Будем говорить, что связь между двумя семействами параметризаций области тонкого тела осуществлена, если найдены связи междупорождающими эти семейства параметризаций семействами базисов и, вообще, между порожденными порождающими семействами базисов любыми семействами соответствующих геометрических характеристик, сопровождающими связываемые параметризации.Очевидно, зная связь между двумя порождающими рассматриваемые семейства параметризаций семействами базисов, легко найти связь, например, между порожденными ими семействами символов Кристоффеля и, вообще, между порожденными ими любыми семействами соответствующих геометрическиххарактеристик.

Мы ограничимся нахождением связей между некоторыми семействами соответствующих геометрических характеристик, сопровождающими эти параметризации.551.2.1Связь между различными семействами мультипликативныхбазисовВ силу соотношения (1.1.12), дающего связь между различными семействамибазисов, нетрудно найти связи между различными семействами мультипликативных базисов. В самом деле, легко усмотреть, что связи, например, междудвухвекторными мультипликативными базисами будут иметь видRp̃· q̆· = gp̃m̂ gňq̆ Rm̂· ň· ,∼ , `,,∨∧∈ {−, ∅, +},(1.2.1)сохраняющий силу при жонглировании индексами.Следует заметить, что обобщение (1.2.1) на мультипликативные базисы, состоящие из более чем двух базисных векторов, не представляет большого трудаи поэтому на этом с целью сокращения письма не будем останавливаться, а вслучае надобности по аналогии (1.2.1) выпишем нужные соотношения.1.2.2Связь между различными семействами символов Кристоффеля(∼)(`)Найдем связь между S (∼) -, и S (`) -семействами символов Кристоффеля7 , ∼,gg`∈{−, ∅, +}.

С этой целью, дифференцируя (1.1.12) по xq и пользуясь определениями символов Кристоффеля (1.1.28), получим()()∂q rp̃ = ∂q gp̃n̆ + gp̃m̆ Γn̆m̆q rn̆ = ∂q gp̃n̆ − gp̃m̆ Γm̆q,n̆ rn̆ ,∼, `∈ {−, ∅, +}.(1.2.2)˜˜Умножая (1.2.2) почленно сначала на r˜l = g˜lk̆ rk̆ , а потом на rl = gk̆l rk̆ иучитывая определения символов Кристоффеля (1.1.28), найдем искомые связи()()Γp̃q,l̃ = gl̃n̆ ∂q gp̃n̆ + gp̃m̆ Γn̆m̆q = gl̃n̆ ∂q gp̃n̆ − gp̃m̆ Γm̆q,n̆ ,()()Γl̃p̃q = gn̆l̃ ∂q gp̃n̆ + gp̃m̆ Γn̆m̆q = g l̃n̆ ∂q gp̃n̆ − gp̃m̆ Γm̆q,n̆ ,∼, `∈ {−, ∅, +}.(1.2.3)Следует заметить, что соотношения (1.2.3) совпадают с аналогичными соотношениями из работ [235, 251].1.2.3Связи между компонентами и ковариантными производнымиот компонент многоточечного тензораПредполагается, что рассматриваемый тензор представлен в различных семействах мультипликативных базисов.

Ограничимся рассмотрением тензора второго ранга H, представления которого имеют видe· q̆ p̃ ·· ňm̂·H = Hp̃ · R · q̆ = H · ň Rm̂· ,e∼, `,,∨∧∈ {−, ∅, +},(1.2.4)конечно, сохраняющие силу при жонглировании индексами.Отсюда, учитывая линейную независимость мультипликативных базисов Rp̃· q̆· ,∼, ` ∈ {−, ∅, +}, искомые связи между компонентами представляются в видеHp̃· ·q̆ = gp̃m̂ gq̆ň H m̂·· ň ,7∼, `,,∨∧∈ {−, ∅, +},Классификация символов Кристоффеля подробнее рассмотрена в [235, 251].(1.2.5)56сохраняющем силу при жонглировании индексами.Нетрудно найти связи и между ковариантными производными от компоненттензора H. В самом деле, в силу утверждения 1.1.2 и правила нахожденияeковариантнойпроизводной от суммы и произведения компонент тензоров из(1.2.5) имеем∇s Hp̃· ·q̆ = gp̃m̂ g q̆ň ∇s H m̂·· ň ,∼, `,,∨∧∈ {−, ∅, +},(1.2.6)сохраняющий силу при жонглировании индексами, за исключением индекса s.Заметим, что обобщение (1.2.5) и (1.2.6) на компоненты тензоров более высокого ранга не представляет труда, поэтому на этом мы останавливаться небудем.1.3О компонентах ЕТВРВ этом разделе рассматриваются различные семейства компонент ЕТВР.

Вчастности, приводятся их удобные для пользования с точки зрения практикиразвернутые представления как при общих, так и при частных случаях семействпараметризаций.Следует заметить, что на протяжении всего раздела за основную базовую(−)принимается внутренняя базовая поверхность S . Тогда в силу определения−−−1.1.20 основными компонентами ЕТВР являются компоненты g−p −q , g−q , g p q и комp−поненты переноса g+p −q , g+q , играющие важную роль в предлагаемой теории в томpсмысле, что остальные компоненты и большинство геометрических характеристик выражаются через них.1.3.1Об основных компонентах ЕТВР и число независимых основных компонент ЕТВРВ силу определения 1.1.20 в рассматриваемом случае, когда в качестве основной(−)базовой принята внутренняя базовая поверхность S , можно ввести следующиеопределения:−−−−Определение 1.3.1.

Компоненты g−p −q , g−q , g p q и компоненты переноса g+p −q , g+q ,ppназываются основными компонентами ЕТВР при новой параметризации области тонкого тела, если в качестве основной базовой принимается внутренняя(−)базовая поверхность S .−Определение 1.3.2. Компоненты g+p −q , g+q называются основными компоненpтами переноса ЕТВР при новой параметризации области тонкого тела, если в(−)качестве основной базовой принимается внутренняя базовая поверхность S .В рассматриваемом случае на первый взгляд число независимых основныхкомпонент ЕТВР должно быть 15. Это 6 компонент g−p −q = g−q −p и 9 основных57компонент переноса g+p −q ЕТВР (в силу (1.1.13) остальные основные компонентывыражаются через эти компоненты).

Характеристики

Список файлов диссертации