Диссертация (786091), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Дано векторное параметрическое уравнение области тонкого тела. Введены в рассмотрение свойственные предложенным семействам параметризаций геометрические характеристики. В частности,рассмотрены различные семейства базисов (реперов) и порожденные ими соответствующие семейства параметризаций. Введены в рассмотрение компоненты34переноса единичного тензора второго ранга (ЕТВР), а также основные компоненты ЕТВР, посредством которых выражены сопровождающие рассмотренные в работе семейства параметризаций различные геометрические объекты.Получены выражения для компонент ЕТВР через основные компоненты ЕТВРпри различных частных случаев параметризаций области тонкого тела.
Даныпредставления ЕТВР, единичного тензора четвертого ранга (ЕТЧР), а такжеизотропных тензоров четвертого ранга при рассматриваемых семействах параметризаций области тонкого тела трехмерного евклидова пространства. Введены в рассмотрение мультипликативные базисы и получены деривационныеформулы для них.
Даны выражения ковариантных производных от компоненттензора при рассматриваемой параметризации. С помощью компонент переноса ЕТВР осуществлена связь между различными семействами параметризаций. Получены выражения для семейств символов Кристоффеля, компонентвторых тензоров и средних и гауссовых кривизн поверхностей посредством компонент переноса ЕТВР. Компоненты переноса и компоненты ЕТВР, зависящиеот поперечной координаты x3 , представлены в виде рядов относительно этойкоординаты. Рассмотрены некоторые вопросы, касающиеся тензора РиманаКристоффеля при новой параметризации, а также приведены тождества Ламе.Сформулирована фундаментальная теорема для области тонкого тела при ееновой параметризации.Во второй главе «Рекуррентные соотношения для полиномов Лежандраи Чебышева.
Моменты тензорных полей и дифференциальных операторов относительно этих систем полиномов» приведена теорема о линейном преобразовании сегмента ортогональности. Выписаны основные рекуррентные формулыдля полиномов Лежандра и Чебышева первого и второго родов, с помощьюкоторых в свою очередь получены несколько дополнительных соотношений,играющих важную роль при построении различных вариантов теорий тонкихтел, как при классической, так и при новой (неклассической) параметризацииобластей этих тел. Определены моменты тензорных полей, их компонент и некоторых дифференциальных операторов от них в криволинейных координатах.
Вчастности, определены моменты тензорных функций, а также их производныхи повторных производных. Кроме того, получены представления и найдены моменты относительно полиномов Чебышева лапласиана, градиента, ротора, повторного градиента, дивергенции, повторной дивергенции тензора второго ранга, градиента дивергенции. Получены выражения для моментов k-го порядкапроизведения двух функций на произвольную степень поперечной координаты.В третьей главе «Представления основных уравнений и определяющих соотношений для теории тонких тел. Граничные и начальные условия. Постановки задач» приведены представления уравнений и определяющих соотношений(ОС) МДТТ как для классической, так и для микрополярной теорий тонкихтел при новой параметризации области тонкого тела (НПОТТ), а также уравнения притока тепла и закона теплопроводности Фурье.
В частности, выписанытрехмерные постановки задач при новой параметризации области тонкого тела.35Получены представления уравнений в перемещениях (Ламе) и уравнений вперемещениях и вращениях микрополярной теории как при изотермических,так и неизотермических процессах при новой параметризации области тонкоготела. Даны представления законов термодинамики и теплопроводности Фурье,а также уравнения притока тепла, граничных и начальных условий при новойпараметризации.Далее из представленных уравнений (движения, притока тепла и др.) и ОС(законов Гука и теплопроводности Фурье) при новой параметризации областитонкого тела, используя рекуррентные соотношения для систем полиномов Лежандра и Чебышева второго рода, а также выражения для моментов величин,выражений и дифференциальных операторов из второй главы, получены соответствующие уравнения и ОС в моментах для теории тонких тел.
Выведеныграничные и начальные условия в моментах. При этом получены системы уравнений движения нулевого и первого приближений в моментах как классической(относительно тензора напряжений), так и микрополярной (относительно тензоров напряжений и моментных напряжений) механики деформируемого твердого тонкого тела (МДТТТ). Выведены системы уравнений в перемещениях,перемещениях и вращениях нулевого и первого приближений в моментах какпри изотермических, так и неизотермических процессах, а также системы уравнений притока тепла нулевого и первого приближений в моментах.Получены ОС классической и микрополярной теорий и закон теплопроводности Фурье нулевого приближения и приближения порядка r в моментах какдля однородного, так и неоднородного относительно x3 материала.
Полученывыражения граничных условий физического и теплового содержаний (первого, второго и третьего родов) на лицевых поверхностях и выведены системы(−)(+)(−)уравнений для нахождения векторов-функций u ′ , u ′ , φ ′ , φ ′ и функций T ′ ,(−)(+)(+)T ′ , применяемых при представлении ОС в нормированных моментах. Даныопределения систем уравнений в моментах приближения (r, N ), а также системзаконов Гука и теплопроводности Фурье в нормированных моментах приближения (r, N ) и в моментах приближения (r, N ). Получены граничные условияфизического и теплового (второго и третьего родов) содержаний на граничномконтуре в моментах приближения (r, N ). Кроме того, выписаны кинематические и тепловые (первого рода) граничные условия на контуре и начальныеусловия в моментах приближения N .Даны постановки связанной и несвязанной динамических задач, а такженестационарной температурной задачи в моментах приближения (r, N ) микрополярной термоупругости тонких тел (ТУТТ) с одним малым размером.
Обсуждены способы получения некоторых частных случаев постановок задач изних.Следует заметить, что с помощью рассматриваемого метода построения теории тонких тел получается бесконечная система уравнений, которая имеет топреимущество, что она содержит величины, зависящие от двух переменных –гауссовых координат x1 и x2 базовой поверхности. Итак, уменьшение числанезависимых переменных на единицу достигается ценой увеличения количества36уравнений до бесконечности, что, разумеется, имеет свои очевидные практические неудобства. В этой связи сделан следующий необходимый шаг для упрощения проблемы.
Производится редукция бесконечной системы к конечной. Приэтом приводится несколько различных способов такой редукции. После редукции к конечной системе рассматриваемую задачу можно решить приближенно с(−)соответствующими граничными условиями на граничном контуре ∂ S базовой(−)поверхности S . При этом степень приближения шаг за шагом можно увеличить. Здесь возникает известная проблема выполнения граничных условий налицевых поверхностях. В рассматриваемой теории тонких тел в теоретическивозможных случаях удается и эту проблему решить. При упрощенной схемеприведения бесконечной системы уравнений к конечной для любого приближенного решения построено корректирующее слагаемое, учет которого обеспечивает выполнение граничных условий на лицевых поверхностях тонкого тела.В частности, построены корректирующие слагаемые, обеспечивающие выполнение граничных условии на лицевых поверхностях при постановках задач в перемещениях и вращениях, а также задач в тензорах напряжений и моментныхнапряжений.
Кроме того, рассмотрен способ В.В.Понятовского удовлетворенияграничных условий на лицевых поверхностях тонкого тела при применении систем полиномов Лежандра. При этом способе компоненты тензоров напряжений и моментных напряжений, которые не участвуют в граничных условияхна лицевых поверхностях, разлагаются в ряды по рассматриваемой системе ортогональных полиномов, а остальные компоненты определяются через них изуравнений равновесия таким образом, чтобы они удовлетворяли указанным выше граничным условиям.Следует заметить, что этот способ при построении классической теории (однослойных и многослойных) пластин постоянной толщины в случае отсутствияобъемных сил и касательных напряжений на лицевых поверхностях применялВ.В.Понятовский в своих замечательных работах [356–360].Ниже рассмотрен этот способ удовлетворения граничных условий на лицевых поверхностях при построении классической теории призматических тонкихтел с одним малым размером постоянной толщины при классической параметризации области тонкого тела с учетом объемных сил и непрерывно распределенных напряжений на лицевых поверхностях.
Даны различные представлениякомпонент Pi3 тензора напряжений, которые согласованы с граничными условиями на лицевых поверхностях. Доказано, что такой способ представлениякомпонент тензора напряжений эквивалентен способу разложения всех компонент тензора напряжений в ряды по рассматриваемой системе ортогональныхполиномов.В четвертой главе «Применение метода ортогональных полиномов в теории многослойных тонких конструкций» рассмотрена эффективная параметризация многослойной трехмерной тонкой области, заключающаяся в использовании в отличие от классических подходов нескольких базовых поверхностей.Многие соотношения этой главы получаются из соответствующих соотношений37первой главы, если в них корневые буквы снабжать снизу индексом, обозначаемом номер слоя.
Введены в рассмотрение свойственные предложенным параметризациям геометрические характеристики. В частности, выписаны выражения для компонент переноса ЕТВР, а также соотношения, связывающие сопровождающие рассмотренные в работе параметризации различные семействабазисов и порожденные ими соответствующие семейства символов Кристоффеля. Введены в рассмотрение компоненты контакта ЕТВР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
