Диссертация (786091), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Анализ работ, посвященных многослойным оболочкам, позволяетвыявить несколько основных методов построения теорий многослойных оболочек. Они сводятся к следующему:1. Теории, которые строятся на основе гипотезы Корхгофа–Лява для всегопакета слоев. Этому методу посвящена обширная литература, которая подробноотражена в монографиях С.А.Амбарцумяна [14, 16–18], а также [100, 120] и др.2.
Теории, учитывающие поперечный сдвиг (и реже поперечные нормальные деформации и напряжения в слоях) (уточненные теории) [97, 98, 367, 511] идр., на основе «интегральных» гипотез о характере распределения поперечныхкасательных напряжений или перемещений по толщине всего пакета слоев вцелом [14, 16, 17] и др. Порядок получающихся при этом уравнений не зависит19от числа слоев.
Такой метод построения теорий многослойных оболочек называют сейчас феноменологическим или непрерывно-структурным. См. такжеработы, ссылки на которые приведены выше при рассмотрении первого методапостроения теорий многослойных пластин.3. Теории, учитывающие поперечный сдвиг (а нередко и поперечные нормальные деформации и напряжения в слоях), на основе кинематических гипотездля каждого отдельного слоя. Порядок системы уравнений теории в этом случаезависит от числа слоев.
Этот подход был развит впервые в статье Э.И.Григолюкаи П.П.Чулкова [99]. Его называют сейчас дискретным или дискретно-структурным методом. Подробный анализ работ дискретно-структурного направлениярассмотрен в [108]. См. также [100, 117, 118] и работы, ссылки на которыеприводятся выше при рассмотрении первого метода построения теорий многослойных пластин.4. Теории, построенные с помощью независимого применения кинематических и статических гипотез и смешанного вариационного принципа. Если приэтом гипотезы применяются для всего пакета слоев в целом, то порядок системы уравнений не зависит от числа слоев. Если независимо аппроксимируются перемещения и напряжения в каждом отдельном слое, то порядок системыуравнений зависит от числа слоев.Недостаток структурного метода, базирующегося на применении кинематических гипотез для каждого слоя, состоит в том, что на границах контактаслоев не выполняются строго условия непрерывности поперечных напряжений.Сложность получающихся при этом уравнений, с одной стороны и относительная простота и ограниченная область применимости феноменологических моделей, с другой стороны, привели к появлению работ, в которых одновременно применяются независимые кинематические и статические гипотезы и смешанный вариационный принцип Рейсснера.
Отметим, что такой метод можно рассматривать и как дальнейшее развитие дискретно-структурного метода.Наиболее существенные результаты в этом направлении достигнуты в большомколичестве работ [102–105, 109, 113, 114, 190–195].5. Теории, которые строятся на основе аналитического метода. В этом случае трехмерная задача теории упругости сводится к двумерной задаче теорииоболочек путем разложения искомых функций в ряды.
Порядок получающихся при этом системы уравнений зависит как от числа слоев, так и от числаудерживаемых членов в разложениях. Этот метод для построения теории трехслойных пластин и оболочек использован в работах [9, 80]. См. также работы, ссылки на которые приведены выше при рассмотрении второго метода построения теорий многослойных пластин. В теории слоистых оболочек наиболееполно он реализован в работах [419–421, 424]. Вектор перемещения каждогослоя аппроксимируется отрезками гипергеометрического ряда от поперечнойкоординаты.
При определенном выборе индексов гипергеометрического рядавозможно разложение вектора перемещения по различным полиномам. Еслиперемещение представлено в виде разложения по полиномам Якоби, то интегрирование уравнений трехмерной нелинейной теории упругости приводит к20системе 3s(N + 1) уравнений равновесия (s — число слоев, N — порядок приближения). При соответствующем задании параметров λ и µ, которые входят вполиномы Якоби, можно построить уравнения, в которых аппроксимация производится по ультрасферическим функциям, полиномам Чебышева, Лежандра.В результате построена обобщенная теория толстых многослойных анизотропных непологих оболочек произвольной формы с заданной точностью hN .
Обобщенная теория позволяет при задании определенных параметров автоматически переходить к различным прикладным двумерным теориям, оценивающимнапряженно-деформированное состояние слоистых оболочек с заданной точностью. Приведены асимптотический и численный анализ непрерывности уравнений, соответствующих различным вариантам прикладных теорий. На этойоснове дана классификация прикладных теорий и рассмотрены области их применимости. В зависимости от сохранения малых членов по сравнению с единицей выделены: классическая теория слоистых оболочек; теории, учитывающиепоперечный сдвиг; теории, учитывающие поперечный сдвиг и обжатие; теориитолстых оболочек.
Существенным моментом предлагаемой классификации теорий многослойных оболочек является введение параметров, учитывающих поперечную анизотропию слоистой оболочки. На основе построенной классификации выделены весьма тонкие слоистые оболочки, тонкие оболочки, оболочкисредней толщины, толстые оболочки. Применение систем ортогональных полиномов (Лежандра, Чебышева) демонстрировано в [164, 282–286, 292, 295–297].6.
Теории, в которых применяются соотношения трехмерной теории для анализа напряженно-деформированного состояния и устойчивости многослойныхоболочек.Применение пространственного подхода к расчету слоистых анизотропныхтонкостенных конструкций затруднялось двумя факторами [315]: отсутствиемдостаточно мощной вычислительной техники и недостаточностью математического обоснования численных методов для решения указанных классов задач.Создание с 80-х годов высокопроизводительных ЭВМ и эффективного системного математического обеспечения практически позволило снять первый фактор с рассмотрения. Проведенные исследования сходимости и устойчивости метода конечных элементов при расчете тонкостенных композитных конструкцийпозволили считать для этого метода разрешенной и вторую проблему (в томчисле и для геометрически нелинейных задач).
Впервые пространственный метод был применен для исследования осесимметричного деформирования анизотропных оболочек вращения в линейной постановке в работах [54, 55, 58, 497,519], в геометрически нелинейной постановке в [106,107,221,311,429,430,497], атакже для анализа обобщенной плоской деформации длинных цилиндрическихоболочек и панелей в работах [312, 313]. Из исследований в этом направленииследует отметить работы [56, 57, 110–112, 119, 314] и др.Эти работы показали, что напряженно-деформированное состояние многослойных композитных оболочек и пластин имеет существенно трехмерный характер, при котором нельзя пренебрегать поперечными нормальными напряжениями и деформациями.217. Теории, построенные посредством асимптотического интегрирования уравнений теории упругости [86–91].
Этот метод в математическом плане приводитк равномерному приближению решения по всем элементам теории (кинематическим, силовым), так как рассматриваются всегда члены одинакового порядка.8. Теории, при построении которых применяется метод последовательногодифференцирования соотношений трехмерной теории [69].Этим (малоизвестным в литературе) методом в [69] построена непротиворечивая моментная тория оболочек. Выведена система уравнений 10-го порядка,которая согласована с пятью независимо задаваемыми физическими или кинематическими условиями.
На контуре оболочки можно задавать произвольнозначения нормального и касательного усилий, перерезывающей силы, а такжеизгибающего и крутящего моментов, или пять независимых кинематическихусловий, например, три компоненты вектора перемещения произвольной точкии две касательные компоненты его производной относительно скалярной поперечной координаты x3 на базовой поверхности (x3 = 0). При этом нормальнаякомпонента производной, выражающая удлинения поперечных волокон, определяется в явной форме с помощью пяти названных выше компонент.
Следовательно, этот метод можно развить на случай многослойных конструкций. Порядок получающихся при этом системы уравнений будет зависеть как от числаслоев, так и от числа удерживаемых членов в разложениях искомых функций.Вот и, пожалуй, на сегодняшний день все методы построения теорий тонкихтел.Следует отметить, что к настоящему времени развит целый ряд вариантовтеорий тонких тел. Анализ опубликованных работ свидетельствует, что создание уточненных теорий оболочек и многослойных конструкций продолжает активно развиваться. При этом нелинейные теории тонких тел находят все болееширокое освещение в литературе. Существенно расширился используемый математический аппарат как для реализации уже поставленной проблемы, так ис целью обеспечения новых постановок.
Параллельно с теоретическим используется также и экспериментальный путь исследования. Широко применяютсячисленные методы и дискретные расчетные модели. Однако в геометрическинелинейных теориях тонких тел обычно рассматриваются два варианта теорий.В одном учитываются большие прогибы и повороты, но удлинения волокон оболочки считаются малыми. В другом варианте теорий (в основном это касаетсяодномерных теорий – струна, или двумерных – мембрана) рассматриваютсябольшие удлинения, но считаются пренебрежимо малыми сдвиги.В нелинейных теориях при гипотетическом подходе возникают нескольковозможностей формулировок классических гипотез (Кирхгоффа-Лява, Тимошенко и др.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
