Диссертация (786091), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Получены различныеварианты системы уравнений движения в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева. Выписаны межслойные условия при различныхсвязях соседних слоев многослойного тела. Даны постановки задач.Аналогично многослойной трехмерной тонкой области и работе [240] рассматривается параметризация многослойной плоской криволинейной областина основе нескольких базовых кривых. Подробнее вопросы о параметризацияхмногослойных тонких областей рассмотрены в [253, 256, 283, 292, 295, 296, 305,306].Далее получены системы уравнений, ОС, граничные условия физическогосодержания приближения (0,N) для классического упругого материала, а также кинематические граничные условия и начальные условия приближения N .Выписаны межслойные контактные условия.В пятой главе «Вариационные принципы микрополярной теории тонкихтел при применении метода ортогональных полиномов» выведены необходимые интегральные соотношения для формулировок вариационных принципов.Сформулированы и доказаны вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно, а также обобщенные вариационные принципы типа Рейсснера в рамкахтрехмерной микрополярной теории, из которых получены соответствующие вариационные принципы для теории тонких тел, а из которых в свою очередьвыведены соответствующие вариационные принципы для теории тонких тел вмоментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева.
При этом длямикрополярной теории многослойных тонких тел, как при полном контакте, таки при наличии зон ослабленной адгезии, получены только обобщенные вариационные принципы типа Рейсснера, так как из них легко выводятся остальные(Лагранжа, Кастильяно).В шестой главе «Варианты уравнений микрополярных теорий оболочек ипластин, аналитические решения в теориях тонких тел, примеры решения задач» исходя из трехмерных уравнений микрополярного деформируемого твердого тела, получены уравнения микрополярных и расширенных микрополярных теорий оболочек, оболочек класса TS и призматических оболочек в контравариантных компонентах тензоров напряжений и моментных напряжений.Даны постановки задач.
Кроме того, приведены уравнения классической моментной теории оболочек и уравнения тонких тел, получаемые с помощью метода классических ортогональных полиномов. Даны сравнения уравнений некоторых теорий. Сформулирована кинематическая гипотеза для теории тонкихтел.38Найдены обратные тензоры-операторы к тензору-оператору уравнений движения теории упругости в перемещениях изотропного однородного материала и оператору напряжения, позволяющие расщеплять уравнения и граничныеусловия.
Построен обратный матричный дифференциальный тензор-оператор кматричному дифференциальному тензору-оператору уравнений движения микрополярной теории упругости в перемещениях и вращениях как для изотропных однородных материалов с центром симметрии, так и для материалов, необладающих центром симметрии. В этих случаях получены уравнения по отдельности векторов перемещений и вращений. Расщепленные уравнения получены и для редуцированной среды. При этом в последнем случае уравнениеотносительно вектора перемещений совпадает с уравнением классической теории, а уравнение относительно вектора вращений имеет аналогичный ему вид.Кроме того, при отсутствии объемных нагрузок уравнения редуцированной среды не зависят от свойств материала. Поэтому можно полагать, что эти уравнения могут быть использованы для идентификации материальных константэтой среды.
Построен также обратный матричный дифференциальный тензороператор к матричному дифференциальному тензору-оператору напряжения имоментного напряжения в случае редуцированной среды. Кроме того, выявлены случаи, при которых легко обратить оператор напряжения и моментногонапряжения.Из расщепленных уравнений классической и микрополярной теорий упругости получены соответствующие расщепленные уравнения статической (квазистатической) задачи теорий призматических тел постоянной толщины в перемещениях в классическом случае и в перемещениях и вращениях в микрополярномслучае. Из последних систем уравнений в свою очередь выведены уравнения вмоментах неизвестных векторных функций относительно любых систем ортогональных полиномов.
Получены системы уравнений различных приближений(с нулевого по восьмого порядка) в моментах относительно систем полиномовЛежандра и Чебышева второго рода. При этом эти уравнения выведены какбез учета граничных условий на лицевых поверхностях, так и с учетом этихусловий. Начиная с первого приближения системы уравнений распадаются надве системы. Одна из них — система относительно моментов четных порядковнеизвестной векторной функции, а другая относительно моментов нечетных порядков той же функций.
При этом матричные дифференциальные операторыэтих систем имеют треугольный вид и их определители отличны от нуля, т.е.существуют для них обратные операторы, которые нетрудно найти для треугольных операторов. Значит, эти системы совместимы. На основании обратного оператора к оператору какой-нибудь из этих систем она расщепляется идля каждого момента неизвестной векторной функции получается уравнениеэллиптического типа высокого порядка (порядок системы зависит от порядкаприближения), характеристические корни которого легко находятся.
Используяметод Векуа для решения таких уравнений, можно получить их аналитическоерешение.39Расщепленные уравнения в моментах векторов перемещений и вращенийотносительно произвольной системы полиномов (Лежандра, Чебышева) получены для микрополярной теории призматических тонких тел с двумя малымиразмерами, имеющих поперечное сечение в виде прямоугольника.
Аналогичные уравнения получены и для редуцированной среды, содержащие уравнениеклассической среды.Выведены расщепленные системы уравнений статической (квазистатической)задачи микрополярной теории многослойных призматических тел постояннойтолщины в перемещениях и вращениях и в моментах векторов перемещений ивращений, из которых, как частный случай, получаются аналогичные системыуравнений классической теории многослойных призматических тел постояннойтолщины в перемещениях. Получены расщепленные системы уравнений восьмого приближения микрополярной теории многослойных призматических телпостоянной толщины в моментах векторов перемещений и вращений.
Для этойсистемы аналогично однослойному призматическому телу, используя метод Векуа, можно выписать аналитическое решение. Аналитическое решение, конечно,можно выписать и для уравнений редуцированной среды. Кроме того, расщепленные уравнения в моментах векторов перемещений и вращений относительнопроизвольной системы полиномов (Лежандра, Чебышева) получены для микрополярной теории призматических тонких тел с двумя малыми размерами,имеющих поперечное сечение в виде прямоугольника. Аналогичные уравненияполучены и для редуцированной среды, содержащие уравнение классическойсреды.Приведены решения задач различных приближений о тонком теле с двумямалыми размерами и прямоугольной тонкой плоской области (полосы) с защемленными краями при различных нагрузках, а также о двухслойной двумернойобласти с защемленными краями.Следует заметить, что при оформлении диссертации замеченные опечаткив опубликованных (в основном депонированных) работах были исправлены.В заключении сформулированы основные результаты диссертации.Автор выражает искреннюю благодарность за постоянное внимание к работеи ценные советы научному консультанту, профессору Ю.И.Димитриенко, а также профессорам: Б.Е.Победре, В.И.Горбачеву, С.В.Шешенину, Д.В.Георгиевскомуи сотрудникам кафедр «Механика композитов» Механико-математического факультета МГУ им.
М.В.Ломоносова и «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э.Баумана за сотрудничество и взаимопонимание.4011.1Глава. О параметризации области тонкого тела трехмерного евклидова пространстваНовая параметризация области тонкого тела с одним малымразмеромРассмотрим область трехмерного евклидова пространства, ограниченную дву(−)(+)∑мя лицевыми поверхностями S и S и боковой поверхностью(рис. 1.1).(−)В дальнейшем условно лицевую поверхность S будем называть внутренней(+)базовой поверхностью, а лицевую поверхность S – внешней базовой поверх(−)ностью (рис. 1.1).
Кроме того, поверхность S часто будем называть основнойбазовой поверхностью, так как при параметризации рассматриваемой областитрехмерного евклидова пространства на ней вводятся гауссовы координаты, т.е.(−)(−)сперва осуществляется параметризация поверхности S , а потом, принимая S вкачестве основной базовой поверхности, производится параметризация области(−)и любой эквидистантной от S поверхности, обозначаемой через S (рис. 1.1).При параметризации такой области применяются специальные системы координат [68, 235, 236, 277, 282, 304–306].(−)(+)Следует заметить, что при дальнейшем изложении в качестве S и S используются регулярные поверхности [350] и, кроме того, в∑случае ограниченнойнезамкнутой области тонкого тела боковая поверхностьсчитается линейчатой поверхностью.Введем определения:Определение 1.1.1. Отнесение некоторой области к той или иной системекоординат называется параметризацией этой области.Определение 1.1.2.
Трехмерная (двумерная) область евклидова пространства R3 , один или два размера (один размер), которой значительно меньше чемостальные (другой), называется тонкой областью. Размер — максимальное расстояние между двумя точками в данном направлении в специально выбраннойсистеме координат.∑Определение 1.1.3. Тонкая область, имеющая боковую поверхность , называется незамкнутой тонкой областью, в противном случае – замкнутой.Определение 1.1.4. Трехмерное тело, занимающее тонкую область, называется тонким телом.В силу определения (1.1.4) в дальнейшем, говоря о тонкой области, будемподразумевать тонкое тело и, наоборот, говоря о тонком теле, будем подразумевать тонкую область (область тонкого тела).Определение 1.1.5.
Область тонкого тела называется ограниченной, если существует шар конечного радиуса, который содержит рассматриваемую областьтонкого тела.Определение 1.1.6. Любая регулярная поверхность называется базовой поверхностью или просто базой.41Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
