Диссертация (786091), страница 18
Текст из файла (страница 18)
x31 и x32 не зависят от выбора системы(−)координат. Выбирая в качестве координатных линий на базовой поверхности S(−)линии кривизны при h ⊥ S , на основании первого соотношения (1.5.20) имеем(−)b = hH =(−)(−) )h ((−)h ((−)−1 (−)−1 )k1+ k2 =R1 + R2 ,22(−)(−) (−)(−)(−)(−)−1a = h2 K = h2 k 1 k 2 = h2 R −11 R2 ,(−)(−)(1.5.33)(−)(−)−1где k 1 и k 2 — главные кривизны, а R −11 = k 1 и R 2 = k 2 — главные ради(−)усы кривизны базовой поверхности S , h — толщина тонкого тела. Учитывая(1.5.33), из (1.5.28) найдем(−)( (−) )−1R1x31 = h k 1,=h((−)x32 = h k 2)−1(−)=R2,h(1.5.34)(−)(−) где h(δI1 + δI2 ) < R I . Тогда из (1.5.34) следует, что |x3I | = R I /h > 1.
Этоусловие в силу инвариантности x3I выполняется относительно любой системыкоординат. Так как 0 ≤ x3 ≤ 1, то 3x 0 ≤ 3 < 1.xI(1.5.35)В силу (1.5.35), функции(fIx3x3I)(x3 )−1= 1− 3,xII = 1, 2являются суммами бесконечных убывающих геометрических прогрессий с знаменателями x3 /x3I , I = 1, 2, т. е.(( 3 )2 ( 3 )3 ( 3 )4)−1x3x3x1xx1− 3=1++=+++ ...3333xI1 − x3 /xIxIxIxIx3I(1.5.36)подставляя (1.5.36) в (1.5.32), получим представление g P− в виде степенногоMряда относительно x3 .
В самом деле, осуществляя простые выкладки, будемиметь−∞g P− =M∑A P+ (x3 )k ,(1.5.37)k=0 (k)Mгде−−−A P+ = g P− ak + aP+ ak−1 ,(k)MMMak =(x32 )k+1 − (x31 )k+1,(x31 x32 )k (x32 − x31 )a−1 = 0,a0 = 1,k ∈ N0 .(1.5.38)76Выразим несколько первых коэффициентов ak через a и b. В силу (1.5.29)из второго соотношения (1.5.38) имеемa0 = 1, a1 = 2b, a2 = 4b2 − a, a3 = 4b(2b2 − a),a4 = 16b4 − 12ab2 + a2 , a5 = 2b(16b4 − 16ab2 + 3a2 ).(1.5.39)(Учитывая) малость величин x3 /x3I , I = 1, 2, по сравнению с единицей x3 /x3I <1, I = 1, 2 и сохраняя в правой части (1.5.37), например, первые шесть членов,будем иметь следующее приближенное представление для g P− :Mg P− ≈M5∑−A P+ (x3 )k ,(1.5.40)k=0 (k)Mгде в силу (1.5.39)−−−(0)M−−MMA P+ = 2bg P− + aP+ ,A P+ = g P− ,(1)MM−−−−−MMA P+ = (4b2 − a)g P− + 2baP+ ,(2)M−A P+ = 4b(2b2 − a)g P− + (4b2 − a)aP+ ,(3)MM−M−(1.5.41)−A + = (16b − 12ab + a )g − + 4b(2b − a)a + ,P422P(4)M2PM−M−−MMA P+ = 2b(16b4 − 16ab2 + 3a2 )g P− + (16b4 − 12ab2 + a2 )aP+ .(5)MНа основании второй формулы (1.5.27) второе соотношение (1.3.18) представится в виде−−−MMMaP+ = (1 − 2b)g P− − g P+ ,с учетом которого (1.5.41) можно записать в форме−−A P+ = g P− ,(0)MM−−−−A P+ = g P− − g P+ ,(1)MM−−−MMA P+ = (2b − a)g P− − 2bg P+ ,(2)MM−−A P+ = (4b2 − 2ab − a)g P− − (4b2 − a)g P+ ,(3)M−MM−(1.5.42)−A + = (8b − 4ab − 4ab + a )g − − 4b(2b − a)g + ,P322(4)MP2M−PM−−MMA P+ = (16b4 − 8ab3 − 12ab2 + 4a2 b + a2 )g P− − (16b4 − 12ab2 + a2 )g P+ .(5)MТеперь рассмотрим второй, более удобный, способ представления g P− в видеM3степенного ряда относительно x .
Для этого с помощью соотношения (1.1.11) и(1.1.12) представим rp в форме(−)(−)−]−[−rp = gpq r−q = (1 − x3 )g−q + x3 g+q r−q = r−p · A = r−p · (E − x3 B ),ppeee(1.5.43)где E — единичный тензор второго ранга и введены обозначенияe(−)− )] −( −[ −−A = r p rp = E − x3 B = gpq − x3 g−q − g+q r q r−q ,ppeee(−)−) −( −B = g−q − g+q r q r−q .ppe(−)(1.5.44)77(−)(−)(−)(−)(−)Очевидно, B T = B при h ⊥ S , а отсюда следует, что и AT = A. Заметим,e (−) eeeчто в силу первого соотношения (1.5.44) для матрицы тензора A будем иметьeвыражения(− 1 − x 1 − g+1−matr A = matr E − x3 B = 3 1xg+eee203(−)((−)1)−−3 23 3x g+x g+ 1 −)− (323 3 .1 − x 1 − g+ x g+ 2201)1(1.5.45)Учитывая (1.3.22) и (1.5.45), имеем−−)(3 2 1 − x3 1 − g+1xg+(−)(−))(11det A = det E − x3 B = −)−(323 1eeexg1−x1−g++22 (−) = ϑ ̸= 0.(1.5.46)На основании (1.5.46) можно утверждать, что существует единственный обрат(−)((−))−1ный тензор A−1 и соответственно единственная обратная матрица matr A .eeПоэтому (1.5.43)можно разрешить относительно r−p .
Получим(−))(−)(−1r−p = rp · A −1 = rp · E − x3 B .eee(1.5.47)Аналогично (1.5.43) для rp имеем−(−)(−)(−)−rp = g−p r q = D · r p ,qe(−)−D = rp r−p = g−p r q r−p .qe(1.5.48)Нетрудно усмотреть, что(−)(−)D · A = A · D = E,e ee ee(−)(−)D = A −1 .ee(1.5.49)В самом деле, в силу первого соотношения (1.5.44) и второго соотношения(1.5.48) находим(−)(−)−−D · A = rp r−p · rm rm = rp g−m rm = rm rm ,pe eчто и требовалось доказать. Таким образом, учитывая второе соотношение(1.5.49), первое соотношение (1.5.48) можно представить в виде(−)−−rp = g−p r q = A −1 · r p ,qe(−))(−−1A −1 = E − x3 B= rp r−p = g−p r q r−p .qeee(−)(−)(1.5.50)(−)Не представляет большого труда найти выражения для A−1 или для matrA−1eчерез основные компоненты переноса ЕТВР.
На основанииeвторого соотношения(1.5.50) приходим к выражению−)−− )]− −−[((−x3 g+21−x3 1−g+2(x3 )2 g+2 g+3 −x3 g+3 1−x3 1−g+2212 1 21(−)(−)−)− )]−− −−[((−1−1 matr A = ϑ x3 g+11−x3 1−g+1 (x3 )2 g+1 g+3 −x3 g+3 1−x3 1−g+1 .e11 22 12(−)00ϑ(1.5.51)78Теперь рассмотрим−−(−)(−)−rP = g P− rM = ϑ AP− rM = d · rP ,MMeгде, очевидно,−(−)(1.5.52)−(−)d = rP r − = g P− rM r − = ϑ −1 AP− rM r − .PPPMMe(1.5.53)(−)С помощью (1.3.18) нетрудно проверить, что матрицей тензору d служит матe столбцов врица, получающаяся при пересечении первых двух строк и двух(1.5.51), т.е.−−)(3 232−x g+ ((−)) (−)() (−) 1−x 1−g+(−)12matr d = matr ϑ −1 AP− = ϑ −1 matr AP− = ϑ −1 − ) .−(313 1MMe1−x 1−g+−x g+(1.5.54)12Следовательно,() (−)det AP− = ϑ ,M((−)) (−)(−)det d = det ϑ −1 AP− = ϑ −1 .MeТеперь рассмотрим тензор(−)(−)a = E − x3 b ,eee− )−( −() − −b = g P− − g P+ r − rM = g − − − g − + rP rM .PPMPMMMe(−)(−)(−)(1.5.55)(−)В первую очередь заметим, что b = b при h ⊥ S , так как в этом случае(−)(−)ee(1.3.11) g+− = g+− и, следовательно, a T = a .IJJIeeДалее, очевидно, чтоT(−(−)) 1 − x 1 − g+1((−)matr a = matr E − x3 b = −eeex3 g+131)2−3 2x g+1−) .(321 − x 1 − g+(1.5.56)2Сравнивая (1.5.56) с (1.5.45), заключаем, что (1.5.56) получается из (1.5.45) вычеркиванием последней строки и последнего столбца.
В силу (1.5.46) нетрудноусмотреть, что(−))(−)(−)((−)det a = det E − x3 b = det A = ϑ ̸= 0.eeeeПоэтому на основании последнего соотношения утверждаем, что существует(−)единственный обратный к a тензор, который, как нетрудно доказать, совпадаетe— с матрицей (1.5.54).с тензором (1.5.53), а его матрица(−)Таким образом, для d имеем представленияe−−(−)(−))(−1= rP r − = g P− rM r − = ϑ −1 AP− rM r − .d = a−1 = E − x3 bPPPMMeeee(−)(1.5.57)Теперь, учитывая (1.5.57), соотношение (1.5.52) можно представить в удобномдля дальнейшего пользования виде−−−(−))(−))((−1−1rP = g P− rM = rP · E − x3 b= E − x3 b· rP .Meeee(1.5.58)79−(−)3 QСледует заметить, что в случае тонких тел |x b | < 1 (|x b − | < 1).
ПоэтомуePимеем соотношения3((−)E − x3 bee)−1=∞∑(−)(−)(−)(−)(x3 )s b s = E + x3 b + (x3 )2 b 2 + (x3 )3 b 3 + . . . ,eeeees=0((−)E − x3 bee)−2∞∑(−)(s + 1) b s (x3 )s ,es=0=(1.5.59)(1.5.60)где, очевидно,−−−−− )− )( −−( −( KK n−2 )( K n−1K n−1 )K1n−2M1b n = g P− − g P+ g K−g·...·g−gr.g−gr−−+−+−+PK1K1eK2K2K n−1K n−1MM(−)(1.5.61)С помощью (1.5.59) и (1.5.61) соотношение (1.5.58) можно представить в виде−)− )− )( −−( −[ −( −rP = g P− rM = g P− + x3 g P− − g P+ + (x3 )2 g P− − g P+ g K− − g K+ +M(M−)(−+(x ) g − − g +3 3PPK1K1MM−−g− − g+K1K1K2K2)(K−−g− − g+K2K2MM)KM] −+ .
. . rM .MОтсюда в свою очередь получаем второе (после (1.5.37)) искомое выражениедля g P−M−− (− )∞ − (−)(−))( −∑−1g P− = rP· r − = rP · E − x3 b · r − = rP · b s · r − (x3 )s = g P− + x3 g P− −g P+ +MM s=0MMMMMeee−− )( −− )−−−−−−()()()(K11+(x3 )2 g P− − g P+ g K− − g K+ + (x3 )3 g P− − g P+ g Kg K− 2 − g K+ 2 + . . .− − g+KKMMK1K1K2K2M(1.5.62)MСравнивая (1.5.62) с (1.5.37), можно утверждать, что−−− (−)−− (−)−−A P+ = rP · b 0 ·r − = g P− , A P+ = rP · b ·r − = g P− − g P+ ,(0)M(1)MMMMe Me M−− (−)−−−− )()(A P+ = rP · b 2 ·r − = g P− − g P+ g N− − g N+ , . .
. ,(2)MNNMMe M− )−− (−)−− )( −(( N− n−2 N− n−2 )( N− n−1 N− n−1 )N1N1PPnPPA + = r · b ·r − = g − −g + g − −g + . . . g − −g +g − −g +.M(n)MN1N1eN2N2N n−1N n−1MM(1.5.63)Следует заметить, что идентичность представлений (1.5.38) и (1.5.63) можнодоказать и непосредственной проверкой. Так как остальные рассматриваемыекомпоненты ЕТВР выражаются через g P− , то представление (1.5.37) или, чтоMто же самое (1.5.62), имеет важное значение. Кроме того, в зависимости от рассматриваемой конкретной задачи и требуемой точности приближения в правойчасти (1.5.40) следует менять (уменьшать или увеличивать) число слагаемых.Зная выражение для g P− , не представляет труда найти искомые представлеMния и для g 3− , g P Q , g P 3 и g 33 .
В самом деле, осуществляя простые выкладки, вMсилу (1.5.37) будем иметь−−−g 3− = −gP3 g P− = −g +3 x3 g P− = −g +3MMPM∞∑−A P+ (x3 )s+1 ,P s=0 (s)M(1.5.64)80g P Q = g P− g Q−g− − =M N MN− −∞∑−−−−−∞∑−−−QQ s=0(s)M∞∑−−−−−−g 33 = g 3 3 + g +3 g +3 (x3 )2 g P Q = g 3 3 + g +3 g +3P Q(1.5.65)(s)Ms=0g P 3 = g P− g 3− g M N = −g +3 x3 g P Q = −g +3M N−(s + 1)g QM A P+ (x3 )s ,−−(s + 1)A P+ g M Q (x3 )s+1 ,(1.5.66)−−(s + 1)A P+ g M Q (x3 )s+2 .(1.5.67)(s)MP Q s=0Найдем еще выражение в виде ряда относительно x3 произведения g P− g Q− .M NС этой целью воспользуемся представлением (1.5.37) и правилом умножениярядов в форме Коши. В результате получимg P− g Q− =M N∞ (∑s∑s=0−AP+−−−∞)∑B P+Q+ (x3 )s ,A Q+ (x3 )s =r=0 (s−r)M (r)Ns=0 (s)M N−−B P+Q+ =(s)M Ns∑−AP+−A Q+ .(1.5.68)r=0 (s−r)M (r)NСледует заметить, что число слагаемых в правых частях (1.5.64)–(1.5.68)аналогично (1.5.37) определяется характером рассматриваемой задачи и точностью приближения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
