Диссертация (786091), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Следовательно, и остальные соотношения(2.6.13) – (2.6.15) при необходимости можно записать по убывающему индексу,поэтому с целью сокращения письма на этом останавливаться не будем. Заметим также, что приведенные выше рекуррентные соотношения играют важнуюроль при построении различных вариантов теории тонких тел. В частности,96с их помощью можно получить моменты производных первого, второго и более высокого порядков скалярной функции, тензоров и их компонент, а такжедифференциальных операторов (градиента, дивергенции, лапласиана и др.) отэтих величин относительно полиномов Чебышева.
Следовательно, используяэти рекуррентные соотношения, из трехмерных постановок задач как по классической, так и по микрополярной термомеханики деформируемого твердоготела (ТМДТТ) можно получить соответствующие постановки задач относительно моментов входящих в рассматриваемые трехмерные постановки задачвеличин для тонких тел. При этом при построении теорий тонких тел (высокогопорядка) по мнению автора предпочтительно (в зависимости от рода краевойзадачи) использование разложения по системе полиномам Чебышева второгорода, так как для этих полиномов легко удается получить более компактные иобщие рекуррентные соотношения (2.6.1)–(2.6.6), чем для других систем полиномов (Лежандра и др.). Однако, система полиномов Лежандра имеет другиепреимущества, о которых речь пойдет ниже.Следует заметить, что различные соотношения для систем полиномов Лежандра, Чебышева и других специальных функций приведены в [365].2.7Моменты тензорного поля, производных и некоторых выражений относительно системы многочленов Чебышева второго родаРассмотрим какое-нибудь тензорное поле F(x1 , x2 , x3 ), которое зависит от координат x1 , x2 , x3 области тела при ее новой параметризации [235,252,277,282,302,304, 306].
С целью сокращения письма, как и выше, часто вместо F(x1 , x2 , x3 )будем писать F(x′ , x3 ), где x′ = (x1 , x2 ), а x3 ∈ [0, 1]. Кроме того будем полагать,что рассматриваемые тензорные поля в достаточной степени гладки. Например,F(x′ , x3 ) ∈ Cm (V ∪ ∂V ), m ≥ 1, где V — область, занимаемая тонким телом,а ∂V — ее граница. Тогда тензорное поле F(x′ , x3 ) относительно координаты′(−)x ∈ [0, 1] для каждой фиксированной точки x ∈ S можно разлагать в рядпо системе смещенных ортонормированных полиномов Чебышева второго рода{Ûk∗ (x3 )}∞k=0 [202, 394]. Это разложение представляется в виде3∞ (k)∑F (x′ )Ûk∗ (x3 ),F(x′ , x3 ) =(−)x′ ∈ S ,x3 ∈ [0, 1],(2.7.1)k=0(k)где F(x′ ) называется коэффициентом с номером k при разложении F(x′ , x3 ) вряд по системе полиномов {Ûk∗ (x3 )}∞k=0 .Введем определение момента k-го порядка какого-нибудь тензорного поляF(x′ , x3 ) относительно системы смещенных ортонормированных полиномов Чебышева второго рода.Определение 2.7.1.
Моментом k-го порядка тензорного поля F(x′ , x3 ) относительно системы полиномов {Ûk∗ (x3 )}∞k=0 , обозначаемым через MÛk∗ (F), называется интегралMÛ ∗ (F) =k∫10F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,k ∈ N0 .(2.7.2)97Нетрудно доказать, что справедливо следующие утверждения:Утверждение 2.7.1. (Свойство обобщенной линейности). Для любых тензорных полей F(x′ , x3 ) и G(x′ , x3 ) и любых функций α(x′ ) и β(x′ ) справедливосоотношениеMÛ ∗ [α(x′ )F + β(x′ )G] = α(x′ )MÛ ∗ (F) + β(x′ )MÛ ∗ (G).kkk(2.7.3)Доказательство.
В силу определения (2.7.2) имеем∫1MÛ ∗ [α(x′ )F + β(x′ )G] = [α(x′ )F(x′ , x3 ) + β(x′ )G(x′ , x3 )]Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 =k= α(x′ )∫10FÛk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 + β(x′ )∫1G(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 =00= α(x′ )MÛ ∗ (F) + β(x′ )MÛ ∗ (G),kkчто и требовалось доказать.Следствие 2.7.1.
Оператор моментов MÛ ∗ , k ∈ N0 — линейный оператор.kУтверждение 2.7.2. Момент k-го порядка тензорного поля F(x′ , x3 ) относительно системы полиномов {Ûk∗ (x3 )}∞k=0 равен коэффициенту с номером k при раз′ 3ложении F (x , x ) относительно x3 по этой системе полиномов, т.е.MÛ ∗ (F) =k∫1(k)F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 = F (x′ ),k = 0, 1, 2, .
. .(2.7.4)0В самом деле, подставляя (2.7.1) в (2.7.2), в силу ортонормированности системы полиномов {Ûk∗ (x3 )}∞k=0 получим (2.7.4).3 ∞Пусть {φn (x )}n=0 — одна система ортогональных полиномов, а {ψ(x3 )}∞m=0— другая система ортогональных полиномов. Тогда разлагая тензорное полеF(x′ , x3 ) по этим системам полиномов, будем иметьF(x′ , x3 ) =∞ (k)∞ (n)∑∑F ψ (x′ )ψn (x3 ).F φ (x′ )φk (x3 ) =(2.7.5)n=0k=0(k)(n)Возникает вопрос: какая связь между моментами F φ (x′ ) и F ψ (x′ )? Считаем,что интервал ортогональности этих систем полиномов один и тот же. Ответитьна этот вопрос не представляет большого труда.
В самом деле, в силу леммы 2.4.1, например, ψn (x3 ) можно представить в виде линейной комбинации,φ0 , φ1 , . . . , φn , т.е.ψn (x3 ) =n∑As φs (x3 ).(2.7.6)s=0Подставляя (2.7.6) в (2.7.5), найдем∞∑(n)F ψ (x′ )ψn (x3 ) =n=0∞∑k=0Ak∞ (k+p)[∑]F ψ (x′ ) φk (x3 ).(2.7.7)p=0Учитывая (2.7.7) в (2.7.5) и приравнивая коэффициенты при φk (x3 ), получимискомую связь, которую можно сформулировать в виде теоремы.Теорема 2.7.2.(k)F φ (x′ ) = Ak∞ (k+p)[∑]F ψ (x′ ) ,p=0k ∈ N0 .(2.7.8)98(k)Из (2.7.8) видно, что момент k-го порядка Fφ (x′ ) тензорного поля F(x′ , x3 )относительно системы полиномов {φk (x3 )}∞k=0 определяется с помощью момен(k)(k+1)′(k+2)′тов Fψ (x ), F ψ (x ), Fφ (x′ ), .
. . и коэффициентов Ak при φk (x3 ), k = 0, n впредставлении ψn (x3 ) в виде линейной комбинации φ0 (x3 ), φ1 (x3 ), . . . , φn (x3 )(2.7.6).В дальнейшем, рассматривая ряды вида (2.7.1), будем всегда предполагать,что они равномерно сходятся в замкнутой области V ∪ ∂V .В силу (2.5.16) на внутренней и внешней поверхностях области тонкого тела(при x3 = 0 и x3 = 1) из (2.7.1) получим равномерно сходящиеся ряды∞∞(k)(+)(k)2 ∑2 ∑(−1)k (k + 1) F (x′ ), F (x′ ) = F(x′ , 1) = √(k + 1) F (x′ ).F (x′ ) = F(x′ , 0) = √π k=0π k=0(−)(2.7.9)Моменты производных ∂ip F(x′ , x3 ) и ∂ip ∂jq F(x′ , x3 ), p, q ∈ N02.7.1Подробный вывод выражений для этих производных можно найти в [282, 304,306].
Поэтому с целью сокращения письма выпишем их без доказательств. Приэтом сформулируем в виде теорем.Теорема 2.7.3.(k)M(∂i F) =∫10(k)(k)(k)∂i F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 = giK ∂K F (x′ ) + gi3 F ′ (x′ ),F ′ (x′ ) = 22 (k + 1)∞ (k+2p+1)∞(p)∑∑F (x′ ) = 2(k + 1) [1 − (−1)k+p ] F(x′ ),p=0(2.7.10)k ∈ N0 .(2.7.11)p=kТеорема 2.7.4.(k)M(∂i ∂j F) =∫1∂i ∂j F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 =(2.7.12)0(k)(k)(k)= giL gjM ∂L ∂M F (x′ ) + (giL gj3 + gi3 gjL )∂L F ′ (x′ ) + gi3 gi3 F ′′ (x′ ),(k)где F ′ определяется с помощью (2.7.11), а(k)F ′′ = 24 (k + 1)∞∑(k+2p+2)(p + 1)(k + p + 2)F(x′ ) =p=0= 2(k + 1)∞∑(p − k + 2)(k + p + 4)[1 + (−1)k+p(p+2)(2.7.13)′] F (x ).p=kСледует заметить, что посредством формул (2.6.3) и (2.6.5), которые применяются для доказательства сформулированных выше теорем, при необходимо∗(m)сти нетрудно найти рекуррентное соотношение для Ûk (x3 ), 0 ≤ m ≤ k.
Тогдане доставляет труда доказать более общую теорему.99Теорема 2.7.5.(k)M(∂ip ∂jq F)=∫1∂ip ∂jq F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx30(k)∂Ip ∂Jq F (x′ ), i = I, j = J, (k)= ∂ p F (q) (x′ ), i = I, j = 3, I(2.7.14)(k)F (p+q) (x′ ),i = j = 3.(k)′′Заметить также, что выражение для F можно найти еще другим путем.В этой связи введем определение оператора «штрих» соотношением (2.7.11) идокажем следующие утверждения:Утверждение 2.7.3.
(Свойство обобщенной линейности) Для любых тензорныхполей F(x′ , x3 ) и G(x′ , x3 ) и любых функций α(x′ ) и β(x′ ) имеем((k)′α(x )F + β(x′ )G)′(k)(k)= α(x′ ) F ′ + β(x′ )G′ .(2.7.15)Доказательство. В силу определения оператора «штрих» получаем((k))]∫1 [α(x′ )F + β(x′ )G ′ = ∂3 α(x′ )F(x′ , x3 ) + β(x′ )G(x′ , x3 ) Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 == α(x′ )∫10∂3 F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 + β(x′ )0∫1∂3 G(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 =0(k)(k)= a(x′ ) F ′ + β(x′ )G′ ,что и требовалось доказать.Следствие 2.7.3.1. Оператор «штрих» — линейный оператор.Утверждение 2.7.4. Имеет место формула((k) )′′′F = F′ .(k)(2.7.16)Доказательство. С помощью (2.7.11) и (2.7.12) получим(k)′′F =∫1∂32 F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 =0((k))′= ∂3 F =( ∫1∫1()∂3 ∂3 F(x′ , x3 ) Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 =0∂3 F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3)′((k))= F′ ′ .0Этим утверждение (2.7.16) доказано.Методом математической индукции можно доказать справедливость теоремы.Теорема 2.7.6.)(m)((k),F (n) = F (n−m)(k)(k)n ≥ m,(2.7.17)где F (p) , p ≥ 0, означает, что оператор «штрих» применяется p раз, а(k)(k)F (0) = F.100Теперь нетрудно получить (2.7.13).
В самом деле, в силу определения оператора «штрих» (2.7.11) и (2.7.15) и (2.7.16) получим(k)′′F (x′ ) = 24 (k + 1)∞ ∑∞∑(k+2p+2q+2)(x′ ).F(k + 2p + 2)(2.7.18)p=0 q=0Преобразуя двойную сумму в правой части последнего соотношения, найдем∞ ∑∞∑∞∑(k+2p+2q+2)(k + 2p + 2)F=p=0 q=0(k+2p+2)(p + 1)(k + p + 2)F.(2.7.19)p=0Учитывая (2.7.19), из (2.7.18) получим (2.7.13), что и требуется.(k)′′′(k)IVПодобным путем можно найти выражения для F (x′ ) и F (x′ ).
В самомделе, применяя оператор «штрих» к (2.7.13) сперва один раз, а затем два разаи пользуясь его линейностью (2.7.15) и определением (2.7.11), на основании(2.7.17) найдем(k)F′′′=∫1∂33 F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 = 26 (k + 1)0(k)F (x′ ) =IV∫1∞∑(k+2p+3)ap+1 (k + p + 2)(k + p + 3) F,(2.7.20)p=0∂34 F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 =0= 28 (k + 1)∞∑(k+2p+4)bp+1 (k + p + 2)(k + p + 3)(k + p + 4)F(x′ ) =(2.7.21)p=0= 24 (k + 1)N∑(s+4)b[ s−k+2 ] (k + s + 4)(k + s + 6)(k + s + 8)[1 + (−1)k+s ] u ,2s=kгде значения коэффициентов ap и bp , p ∈ N, определяется с помощью следующих формул:12ap = Cp+1= p(p + 1),23bp = Cp+2=1p(p + 1)(p + 2),3!p ∈ N.(2.7.22)Заметим, что (2.7.20) можно еще получить, применяя оператор «штрих» двараза к (2.7.11), а (2.7.21) можно еще получить, применяя оператор «штрих» трираза к (2.7.11) или два раза к (2.7.13).Таким образом, с помощью оператора «штрих», применяя его последовательно, можно найти выражения для моментов производной любого порядкапо координате x3 от требуемого тензорного поля относительно системы смещенных ортонормированных полиномов Чебышева второго рода.
Следовательно, это предложение верно для любой системы ортогональных полиномов.2.7.2Моменты некоторых выраженийВ дальнейшем для нас представляет интерес найти выражения для моментовn-го порядка(k) [] ∫1M (x3 )s F = (x3 )s F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,0[] ∫1M (x3 )s ∂3q F = (x3 )s ∂3q F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,(k)0(2.7.23)s, k, q ∈ N0 ,101а также для моментов(k) [] ∫1M Ps (x3 )F = Ps (x3 )F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,0[] ∫1M Ps (x3 )∂3q F = Ps (x3 )∂3q F(x′ , x3 )Ûk∗ (x3 )h∗ (x3 )dx3 , s, k, q ∈ N0(k)(2.7.24)03через моменты F(x′ , x3 ), где F(x′ , x∑), как это было выше обозначено, — какое3нибудь тензорное поле, а Ps (x ) = sn=0 cn (x3 )n — полином степени s ≥ 0.В силу линейности оператора моментов нетрудно доказать, что будем иметьss(k) [(k)(k) [(k)] ∑] ∑M Ps (x3 )F = cn M[(x3 )n F], M Ps (x3 )∂3m F = cn M[(x3 )n ∂3m F], k ≥ 0, s ≥ 0.n=0(2.7.25)n=0Видно, что, зная выражения для (2.7.23), нетрудно найти с помощью (2.7.25)выражения и для (2.7.24).В силу (2.6.1) и первого соотношения (2.7.23) имеет место теоремаТеорема 2.7.7.2s2s(n−s+p)(n−s+p)(n) [] ∑∑ppC2sF (x′ ),C2sM (F) =M 22s (x3 )s F =n, s ∈ N0 .(2.7.26)p=0p=0Очевидно, искомое выражение для первого момента (2.7.23) является следствием (2.7.26).Следствие.2s(n−s+p)(n) [] ∑p2−2s C2sF (x′ ),M (x3 )s F =n, s ∈ N0 .(2.7.27)p=0Далее с помощью (2.6.1) и (2.7.14) легко доказать справедливость теоремы.Теорема 2.7.8.2s(n) [(n−s+p)] ∑pM 22s (x3 )s ∂3m F =C2sF (m) (x′ ),n, s, m ∈ N0 ,(2.7.28)p=0Видно, что выражение для второго момента (2.7.23) получим как следствие(2.7.28).Следствие.2s(n−s+p)(n) [] ∑p2−2s C2sF (m) (x′ ),M (x3 )s ∂3m F =n, s, m ∈ N0 .(2.7.29)p=0В силу (2.7.27) нетрудно доказать справедливость теоремы.Теорема 2.7.9.s ∑2ns(k)(k−n+p)(k) [] ∑∑p2−2n cn C2nF , k, s ∈ N0 .M Ps (x3 )F = cn M[(x3 )n F] =n=0n=0 p=0Аналогично (2.7.30) с помощью (2.7.29) легко доказывается теорема(2.7.30)102Теорема 2.7.10.ss ∑2n(k)(k) [(k−n+p)] ∑∑pM Ps (x3 )∂3m F = cn M[(x3 )n ∂3m F] =2−2n cn C2nF (m) , k, s ∈ N0 .n=0(2.7.31)n=0 p=0Сравнивая (2.7.26) и (2.7.28), (2.7.27) и (2.7.29), а также (2.7.30) и (2.7.31),нетрудно заметить, что для любого полинома Ps (x3 ) степени s справедливатеорема.Теорема 2.7.11.(k)(k)[ (n)]M[Ps (x3 )∂3m F]= M[Ps (x3 )F] (m) = M(m) [Ps (x3 )F], k, m ∈ N0 .(2.7.32)(k)Заметим, что в соотношениях (2.7.28), (2.7.29) и (2.7.31) F (m) (x′ ) при m =1, 2, 3, 4 определяются с помощью (2.7.11), (2.7.13), (2.7.20) и (2.7.21) соот(k)ветственно, а при m ≥ 5 выражение для F (m) (x′ ) при необходимости можно получить из указанных выше соотношений, применяя к ним нужное число раз оператор «штрих».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
