Диссертация (786091), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В результате приходим к соотношению(k)M (P P· ·3 ) =∞ ∑2s∑− (p−u) − −p2−2s C2sAP+ P(s)Ms=0 p=0M3· ·−− g +3−∞ 2s+2(p−v) − −∑∑ −2(s+1) P− Qp2B + + C2(s+1)P M· N· ,(s)Q s=0 p=0MN(2.8.29)u = s−k, v = u+1 = s+1−k, k ∈ N0 .( )Теперь рассмотрим M P 33· · . Заметим, что на основании (2.8.16) имеем(k)−−−−−−−−− −−3 33 2 P Q MN3M3 3 PM333P 33· · = P · · − g + x g − (P · · + P · · ) + g + g + (x ) g − g − P · · ,PMP QM N108Тогда в силу (1.5.37), (1.5.68) и (2.7.3) получаем− (k)−−∞− ∑−−(k)−−333M (P 33AP+ M [(x3 )s+1 (P M· ·3+P 3· M· · ) = P · · −g +· )]P s=0 (s)M−(k)3−3+ g+ g+∞∑− − (k)− −B + + M [(x3 )s+2 P M· N· ], k ∈ N0 .PQP Q s=0 (s)M NОтсюда, используя приведенные выше соответствующие соотношения, нетрудно получить искомое соотношение в виде(k)−−(k)−333M (P 33· · ) = P · · −g +∞ 2s+2∑∑P s=0 p=0− (p−u) − −p2−2(s+1) C2s+2AP+( P(s)M(p−u)− −M3··+P3M· · )+−∞ 2s+4(p−v) − −∑∑ −2(s+2) P− QpP M· N· , u = s+1−k, v = u+1 = s+2−k, k ∈ N0 .+g + g +B + + C2s+42−3−P Q s=0 p=02.8.4(2.8.30)3(s)MNМоменты ковариантных производных от компонент тензоравторого рангаНетрудно доказать, что имеют место аналогичные (2.8.11)–(2.8.14) соотношения, которые в рассматриваемом случае можно сформулировать в виде следующих теорем:Теорема 2.8.5.(k)·· ∇L M (Pp̃q̆ ),(k)··M (∇l Pp̃q̆)Теорема 2.8.6.Теорема 2.8.7.=l = L,(k)··M ′ (Pp̃q̆), l = 3,∼, ` ∈ {−, ∅, +}.(k)∇∇M(P p̃q̆t = T, l = L,TL· · ),(k)(k)∇T M ′ (P p̃q̆t = T, l = 3,· · ),M (∇t ∇l P p̃q̆··) = (k) ′′ p̃q̆M (P · · ), t = l = 3, ∼, ` ∈ {−, ∅, +}.(k)m n∇∇M(P ·q̆p̃· ), t = T, l = L,TL m (k) p̃· (n)(k)p̃·∇T [M (P ·q̆ )] , t = T, l = 3,m nM (∇t ∇l P ·q̆ ) = [ (k) p̃· ](m+n)M (P ·q̆ ), t = l = 3,∼, ` ∈ {−, ∅, +}.(2.8.31)(2.8.32)(2.8.33)Следует заметить, что аналогично (2.7.35) нетрудно доказать справедливость более общего соотношения, чем (2.8.31)–(2.8.33).
В самом деле, имеет место теорема.Теорема 2.8.8.(k) []m n∇∇M(x3 )s P ·q̆p̃· , t = T, l = L,TL m { (k) [ 3 s p̃· ]}(n)(k) []∇T M (x ) P ·q̆, t = T, l = 3,3 s m n p̃·M (x ) ∇t ∇l P ·q̆ =(k){ [ 3 s p̃· ]}(m+n)M (x ) P ·q̆, t = l = 3,∼, ` ∈ {−, ∅, +},k, s, n, m ∈ N0 .(2.8.34)109p̃·0 p̃·Здесь ∇mt =∇| t ∇t{z. . . ∇}t , а ∇t P ·q̆ = P ·q̆ .mСледует заметить, что соотношения (теоремы) (2.8.31)–(2.8.34) справедливыпри жонглировании индексами p̃, q̆, ∼ ` ∈ {−, ∅, +}. При этом (2.8.34) справедлива и в том случае, когда в качестве (x3 )s выбран произвольный полиномотносительно x3 .Теперь на основании (2.8.31)–(2.8.34) и соотношений (2.8.17)–(2.8.20), (2.8.23),(2.8.25), (2.8.27)–(2.8.30) для моментов компонент тензора второго ранга непредставляет большого труда выписать выражения для моментов ковариантных производных от компонент тензора второго ранга. В самом деле, для этогодостаточно в правых и левых частях в указанных выше соотношениях передкомпонентами тензора написать оператор ковариантной производной, если индекс у оператора прописная латинская буква, принимающая значения 1, 2, аесли индекс оператора равняется 3, то в правых частях следует писать оператор с индексом 3, а к левым частям применять оператор «штрих».
При этомпринадлежность оператора ковариантной производной к тому или иному семейству определяется семействами индексов у компонент тензора. Кроме того,кратность применяемых операторов не имеет значения. Очевидно, все это справедливо для компонент тензора любого ранга.2.9Представления и моменты k-го порядка некоторых дифференциальных операторов от тензораДаны представления градиента, повторного градиента, дивергенции, ротора,градиента дивергенции, лапласиана, повторной дивергенции и найдены их моменты относительно системы ортонормированных полиномов Чебышева второго рода.2.9.1Представления и момент k-го порядка градиента от тензораОбозначим какой-нибудь тензор символом F(x′ , x3 ). Тогда в силу определенияградиента (набла-оператора) от тензора при НПОТТ(∼)∇F = rp̃ ∂p F = rp̃ ∇p F,Отсюда при∼∼(2.9.1)∈ {−, ∅, +}.= ∅ получаем−−(−)−−∇F = rp ∇p F = rm g p− ∇p F = rM g P− ∇P F + rm g 3− ∇3 F = rM g P− ∇P F + g 3− ∇3 F + r 3 ∇3 F.mMmMMУчитывая (1.5.64), последнее соотношение можно записать в виде−−−−−−()()∇F = rM g P− ∇P − gP3 ∇3 F + r 3 ∇3 F = rM g P− ∇P − x3 g +3 ∇3 F + r 3 ∇3 F.MMPВведем в рассмотрение дифференциальный оператор−Np = ∂p − gp3 ∂3 ,−N = rp Np = rP NP = rM g P− NP ,MN3 = 0,(2.9.2)110Тогда, очевидно, градиент тензора ∇F представится в форме−−−∇F = rP NP F + r 3 ∇3 F = rM g P− NP F + r 3 ∇3 F.(2.9.3)MИмея представление оператора градиента (2.9.3), легко получить представления операторов дивергенции и ротора.
Ниже будут получены представленияи этих операторов.Теперь нетрудно найти искомые выражения для моментов градиентов оттензора. В самом деле по (2.9.1) с помощью определения (2.7.2), (2.7.3) и (2.7.10)находим(k) ((`) )(k)(k)M ∇F = rP̆ ∇P F (x′ ) + r3̆ F ′ (x′ ),e(k)`(2.9.4)∈ {−, +}.где, конечно, F ′ (x′ ) определяется соотношением (2.7.10). Заметим, что в (2.7.10)оператор частной производной ∂i можно заменить на оператор ковариантнойпроизводной ∇i .
Поэтому ссылаться на (2.7.10) при получении (2.9.4) уместно.Аналогично (2.9.4) на основании (2.7.2) и (2.7.3) из (2.9.3) получаем− (k) (− (k) ((k)))M(∇F) = rM M g P− NP F + r 3 M ∇3 F .Me(2.9.5)Теперь, прежде чем получить выражения для правой части (2.9.5), заметим, что не представляет большого труда доказать справедливость следующихсоотношений:(k)− (k)(k)(k)M[(x3 )s NP F] = ∇P M[(x3 )s F] − g +3 M′ [(x3 )s+1 F],P2s∑(k)∇P M[(x3 )s F] =(k)M(∇3 F) = F ′ (x′ ),(2.9.6)(p−u)p2−2s C2s∇P F , u = s−k, k ≥ 0, s ≥ 0.(2.9.7)p=0(k)M′ [(x3 )s+1 F] =2s+2∑(p−v)pF ′ , v = s+1−k, k ≥ 0, s ≥ 0.2−2(s+1) C2s+2(2.9.8)p=0В самом деле, первое соотношение (2.9.6) доказывается на основании (2.7.3)и (2.9.2), а второе — с помощью (2.7.10).
Соотношение (2.9.7) можно доказатьнепосредственным применением оператора ∇P к (2.7.27), а (2.9.8) — применением оператора «штрих» к (2.7.27), заменяя (до или после применения оператора«штрих») n на k, а s на s + 1. Выпишем еще соотношения, которые получаютсяиз (2.9.8) применением оператора «штрих». Имеем(k)M′′ [(x3 )s+1 F] =2s+2∑(p−v)p2−2(s+1) C2s+2F ′′ , v = s+1−k, k ≥ 0, s ≥ 0.(2.9.9)p=0Далее в силу (1.5.37), (2.7.3), первого соотношения (2.9.6), (2.9.7) и (2.9.8)получим(k)M(g P− NP F) ==M∞ ∑2s∑s=0 p=0∞∑s=0−2s2−− (k)AP+ M[(x3 )s NP F] =(s)M(p−u)pA + C2s∇P F(s)MP∞∑− {− (k)(k)}AP+ ∇P M[(x3 )s F] − g +3 M′ [(x3 )s+1 F] =(s)s=0 M∞ 2s+2∑∑3−2(s+1)−− g+P s=0 p=02P−pA + C2s+2(s)MP(p−v)′F , u = s − k, v = u + 1.(2.9.10)111Учитывая второе соотношение (2.9.6) и (2.9.10) в правой части (2.9.5), получим искомое выражение для момента k-го порядка градиента от произвольноготензора в виде−(k)M(∇F) = rMe[∑∞ ∑2s−−(p−u)p2−2s AP+ C2s∇P F − g +3(s)Ms=0 p=0∞ 2s+2∑∑P s=0 p=0−(p−v)p2−2(s+1) AP+ C2s+2F(s)M′]− (k)+ r 3 F ′ (x′ ),(2.9.11)u = s − k, v = u + 1, k ∈ N0 .2.9.2Представления и момент k-го порядка повторного градиентаот тензора(`)Применяя к обеим частям (2.9.1) набла-оператор ∇,градиент от градиента тензора.
А именно∼(`)(∼)∇ ∇F = rp̆ ∂p (rq̃ ∂q F) = rp̆ rq̃ ∇p ∂q F = rp̆ rq̃ ∇p ∇q F,∼, `∈ {−, ∅, +}, получим∈ {−, ∅, +}.Отсюда в свою очередь имеем(`)(∼)∇ ∇F = rP̆ rQ̃ ∇P ∇Q F + rP̆ r3̃ ∇P ∇3 F + r3̆ rQ̃ ∇3 ∇Q F + r3̆ r3̃ ∇3 ∇3 F,∼, `∈ {−, ∅, +}.(2.9.12)Далее рассмотрим два случая: а) ` = ∼ = −, б) ` = ∼ = ∅.а) При ` = ∼ = − по (2.9.12) в силу (2.7.2), (2.7.3) и (2.7.12) находим искомоесоотношение−(k) (−)(−)−−(k)−−−−(k)− (k)M( ∇ ∇F) = rP rQ ∇P ∇Q F + (rP r 3 ∇P + r 3 rQ ∇Q ) F ′ + r 3 r 3 F ′′ ,e(2.9.13)(k)где F ′′ (x′ ) определяется формулой(2.7.13).б) При ` = ∼ = ∅ представление оператора повторного градиента, примененного к какому-нибудь тензору F, можно получить как с помощью (2.9.3),так и из (2.9.12).
В силу (2.9.3) находим−−gradgradF = ∇∇F = rM g P− NP (∇F) + r 3 ∂3 (∇F).(2.9.14)MНетрудно заметить, что с помощью третьего соотношения (2.9.2) получаем−−NP (∇F) = NP (rq ∂q F) = NP (rn g−q ∂q F) = rn NP (g−q ∂q F) =−−nn−−= r NP (g − ∂q F) + r NP (∂3 F) = r NP (g − NQ F) + r 3 NP (∂3 F).qN3QNNNПредставим первый член в правой части последнего соотношения в другойформе. В силу (2.9.2) находимqqQQ3NP (g Q− NQ F) = NP (g − Nq F) = g − NP (Nq F) = g − NP (NQ F) + g − NP (N3 F) = g − NP (NQ F).NNNNNNТаким образом,−−−−3N Q3NP (∇F) = rN NP (g Q− NQ F) + r NP (∂3 F) = r g − NP NQ F + r NP ∂3 F.NN(2.9.15)112Аналогично в силу третьего соотношения (2.9.2) имеем−−−−3 2N Q3 2∂3 (∇F) = rN ∇3 (g Q− NQ F) + r ∂3 F = r g − ∇3 NQ F + r ∂3 F.N(2.9.16)NУчитывая (2.9.15) и (2.9.16), из (2.9.14) получим следующие искомые представления оператора повторного градиента−−−−−−−−−−M 3 P3 3 2∇∇F = rM rN g P− NP (g Qr g − NP ∂3 F + r 3 rN ∇3 (g Q− NQ F) + r− NQ F) + r r ∂3 F =MN−M−−N−−−= r r g − g − NP NQ F + r r g − NP ∂3 F + r r g − ∇3 NQ F + r rQM 3 PM NMM N P3 N Q3 3N∂32 F,−− −( −)Np Nq = ∇p ∇q − gp3 ∇3 ∇q + gq3 ∇p ∇3 + gp3 gq3 ∇32 ,−− −( −)NP NQ = ∇P ∇Q − gP3 ∇3 ∇Q + gQ3 ∇P ∇3 + gP3 gQ3 ∇32 =−− −( −)= ∇P ∇Q − x3 g +3 ∇3 ∇Q + g +3 ∇P ∇3 + (x3 )2 g +3 g +3 ∇32 .PQ(2.9.17)(2.9.18)P QСоотношением (2.9.17) даны две формы представления оператора градиента градиента.
Приведем еще более развернутые формы представления этогооператора. В этой связи заметим, что в силу (1.3.19) и (1.3.20) имеем−−−−r3 = r 3 − gP3 g P− rM ,rP = g P− rM ,MM−−g 3− = −gP3 g P− = −x3 g +3 g P− ,MMP Mс помощью которых находим−−−−∇∇F = rp rq ∇p ∂q F = rP rQ [∇P ∇Q − (gP3 ∇3 ∇Q + gQ3 ∇P ∇3 ) + gP3 gQ3 ∇3 ∇3 ]F+−−−−−−−+[rP r 3 NP ∇3 + r 3 rQ ∇3 NQ + r 3 r 3 ∇3 ∇3 ]F =−−−333 3= rM rN g P− g Q− [∇P ∇Q − (g ∇3 ∇Q + g ∇P ∇3 ) + g g ∇3 ∇3 ]F+PQP QM N−−−−−(2.9.19)−3 3+[rM r 3 g P− NP ∇3 + r 3 rN g Q− ∇3 NQ + r r ∇3 ∇3 ]F.MNВторое равенство (2.9.19) получается еще из второго равенства (2.9.17), учитывая (2.9.18).Имея представления оператора повторного градиента (2.9.17) и (2.9.19), непредставляет труда из них получить представления лапласиана и дивергенциидивергенции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
