Диссертация (786091), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Ниже мы получим представления этих операторов.(k)На основании (2.9.17) нетрудно получить выражение для M(∇∇F). В самомeделе в силу (2.7.2) и (2.7.3) имеем(k)−−− (k)− (k)M 3r M(g P− NP ∂3 F)+M(∇∇F) = rM rN M(g P− g Q− NP NQ F) + rMM Ne−− (k)−− (k)(2.9.20)′′+r r M(g − ∇3 NQ F) + r r F , k ≥ 0.3 NQ3 3NПоследнее слагаемое в (2.9.20) получено в силу (2.7.12).

Из (2.9.20), учитывая(k)(k)(k)M(g P− NP ∂3 F) = M(g P− ∇3 NP F) = M′ (g P− NP F),MMM(2.9.21)113справедливость которого можно доказать на основании (2.7.35) и (2.8.13), получим− (k)−(k)−−−−−(k)− (k)M 3r + r 3 rM )M′ (g P− NP F) + r 3 r 3 F ′′ , k ≥ 0.M(∇∇F) = rM rN M(g P− g Q− NP NQ F) + (rM NMe(2.9.22)Теперь нетрудно увидеть, что с помощью (2.7.3), теоремы (2.8.34) и (2.9.18)находим(k)−(k)−(k)N′3 s+1M[(x3 )s NP NQ F] = ∇P ∇Q M[(x3 )s F] − (g MF]++ ∇Q + g + ∇P )M [(x )PQ− (k)−(2.9.23)′′+g + g + M [(x )M N3 s+2QPF], k, s ≥ 0.Далее в силу (1.5.68), (2.7.3) и (2.9.23) получаем(k)M(g P− g Q− NP NQ F) =M N∞∑− − (k)∞∑MNs=0B P+Q+ M[(x3 )s NP NQ F] =(s)s=0−−(k){B P+Q+ ∇P ∇Q M[(x3 )s F]−(s)MN− (k)}−(g +3 ∇Q +g +3 ∇P )M′ [(x3 )s+1 F]+g +3 g +3 M′′ [(x3 )s+2 F] , k, s ≥ 0.−−PQ−(k)(2.9.24)P QПрименяя оператор ковариантного дифференцирования к (2.9.7) и (2.9.8),получим2s∑(k)∇P ∇Q M[(x3 )s F] =(p−u)p2−2s C2s∇P ∇Q F , u = s − k, k ≥ 0, s ≥ 0,(2.9.25)p=0(k)∇P M′ [(x3 )s+1 F] =2s+2∑(p−v)p∇P F ′ , v = s + 1 − k, k ≥ 0, s ≥ 0.2−2(s+1) C2s+2(2.9.26)p=0Кроме того, меняя в (2.9.8) s и s + 1 и к полученному соотношению применяяоператор «штрих», в силу его линейности будем иметь(k)M′′ [(x3 )s+2 F] =2s+4∑(p−w)p2−2(s+2) C2s+4F ′′ , w = s + 2 − k, k ≥ 0, s ≥ 0.(2.9.27)p=0Учитывая (2.9.25)–(2.9.27), из (2.9.23) найдем искомое соотношение в видеQ∞ ∑2s∑M Ns=0 p=0(k)M[g − g − NP NQ F] =P−−(p−u)pB + + 2−2s C2s∇P ∇Q F −PQ(s)MN−∞ 2s+2∑∑s=0 p=0−−+g +3 g +3∞ 2s+4∑∑P Q s=0 p=0−−−−−−MNPQ(p−v)pB P+Q+ 2−2(s+1) C2s+2(g +3 ∇Q + g +3 ∇P ) F ′ +(s)(2.9.28)(p−w)pB P+Q+ 2−2(s+2) C2s+4F ′′ , u = s−k, v = s+1−k, w = s+2−k, k ≥ 0.(s)MNДалее на основании (1.5.37), (2.7.3), (2.8.34) и (2.9.2) находим(k)M(g P− NP ∇3 F) =M∞∑s=0− {− (k)(k)}′′3 s+1′3 s3PF],A∇P M [(x ) F] − g + M [(x )+(s)PM(k)(k)′− (k)′′M[(x ) NP ∇3 F] = ∇P M [(x ) F] − g + M [(x )3 s3 s3P3 s+1(2.9.29)F], k ≥ 0,где второе соотношение (2.9.29) непосредственно следует из первого.

Его, конечно, можно доказать и с помощью (2.8.34) и (2.9.2).114Учитывая (2.9.9) и (2.9.26), из первого соотношения (2.9.29) получим−∞ ∑2s(k) ((p−u)) (k) () ∑pM g P− NP ∇3 F = M′ g P− NP F =AP+ 2−2s C2s∇P F ′ −MM−−g +3∞ 2s+2∑∑P s=0 p=0s=0 p=0−P−2(s+1)A+2(s)M(s)pC2s+2M(2.9.30)(p−v)′′F , u = s−k, v = u + 1, k ≥ 0.Далее в силу (2.9.9) и (2.9.26) из второго соотношения (2.9.29) будем иметь(k)M[(x3 )s NP ∇3 F] =2s∑−(p−u)p2−2s C2s∇P F ′ − g +32s+2∑P p=0p=0(p−v)p2−2(s+1) C2s+2F ′′ ,(2.9.31)u = v − 1 = s − k, k ≥ 0, s ≥ 0.Заметим, что при выводе (2.9.30) и (2.9.31) было использовано (2.9.26), вкотором предварительно s была заменена на s − 1.Учитывая (2.9.28) и (2.9.30), из (2.9.22) получим искомое выражение для(k)M(∇∇F) в видеe−−− − ∑∞ [ ∑2s(k)(p−u)P Q −2s pM(∇∇F) = rM rNB2C∇∇F −PQ+ +2s(s)es=0 p=0 M N−−2s+2−−− − 2s+4(p−w) ](p−v)∑ P− Q∑ P− Q−2(s+1) p33−2(s+2) p′′′3 3B−2C(gB∇+g2C+∇)F+gg+ P+ ++ ++ +2s+2 + Q2s+4 F(s)(s)MNp=0−−−−+(rM r 3 +r 3 rM )∞ [ ∑2s∑s=0−p=0PQ−P Q p=02s+2∑ P−3−(p−u)pAP+ 2−2s C2s∇P F ′ − g +(s)MP p=0MNpA + 2−2(s+1) C2s+2(s)M]F ′′ +(2.9.32)(p−v)− (k)+r 3 r 3 F ′′ , u = s−k, v = u+1 = s+1−k, w = u+2 = s+2−k, k ≥ 0.2.9.3Представления и моменты k-го порядка дивергенции и ротораот тензораПолучены представления дивергенций и роторов от вектора и тензора второгоранга, а также выражения для моментов этих операторов.По определению [68,210,337] дивергенции вектора u и тензора второго рангаP при НПОТТ можно соответственно представить в видеe(`)(`)∇ · u = rp̆ · ∂p u = ∇P up̆ = ϑ = ∇P uP̆ + ∇3 u3̆ ,(`)∇ · P = r ∂p P = ∇P P = ∇P P + ∇3 P ,eep̆·p̆P̆3̆(2.9.33)p̆p̆·P = r P,e`∈ {−, ∅, +}.Очевидно, следует рассматривать два случая: а) ` ∈ {−, +} и б) ` = ∅.а) При ` ∈ {−, +} по соотношениям (2.9.33) в силу определения (2.7.2),(2.7.3) и (2.8.12) получим соответственно(k) ((`)) (k) ((`)) (`)(k)(k)M ∇ · u = M ϑ = ϑ (k) = ∇P u P̆ + u 3̆′ ,(k) ((`)(k)(k)) (k) ((`)) (`)M ∇ · P = M Θ = Θ (k) = ∇P PP̆ + P3̆′ ,e(2.9.34)`∈ {−, +}.б) При ` = ∅ с целью получения представления дивергенции какого-нибудьтензора, ранг которого не меньше единицы, достаточно в (2.9.3) F заменить115на соответствующий тензор, а знаки тензорного умножения, которые в связисокращением письма опущены, — на знаки однократного умножения.

Поступаятаким образом, для дивергенций вектора u и тензора второго ранга P получимeследующие представления:−−θ ≡ ∇·u = rp ·∂p u = ∇P up = g P− NP uM + ∂3 u 3 ,MΘ ≡ ∇·P = r ·∂p P = ∇P P = g − NP PMeeppP−M(2.9.35)−3+ ∂3 P .Применяя к соотношениям (2.9.35) оператор момента k-го порядка в силу(2.7.2), линейности оператора и (2.7.10) имеем(k)(k)(k)(k)(k)−(k)(k)−θ = M (θ) = M (∇·u) = M (g P− NP uM ) + u 3 ′ ,M(k)−(k)(k)−Θ) = M(∇·P) = M(g P− NP PM ) + P 3 ′ , k ≥ 0.Θ = M(ΘMeОтсюда, учитывая (2.9.10), для моментов k-го порядка вектора и тензора второго ранга получим следующие выражения:(k)(k)θ = M (∇·u) =2s∞[ ∑∑s=0 p=0−(p−u)p2−2s AP+ C2s∇P u(s)−MM−− g +32s+2∑P p=0−(p−v)p2−2(s+1) AP+ C2s+2u(s)−M′](k)−+ u 3 ′,Mu = s − k, v = u + 1, k ∈ N0 ,−− ]∞[ ∑2s(k)− 2s+2(k)(p−u) −(k)−∑∑ −2(s+1) P− p (p−v)Mp2−2s AP+ C2sΘ = M(∇·P) =∇P P M − g +32A + C2s+2 P ′ + P 3 ′ ,(s)(s)MP p=0Me s=0 p=0u = s − k, v = u + 1, k ∈ N0 .(2.9.36)(2.9.37)Заметим, что соотношения (2.9.36) и (2.9.37) проще всего получить из (2.9.11)с помощью указанной выше замены.Нетрудно получить представления и для роторов вектора u и тензора второго ранга P при новой параметризации области тонкого тела.

В самом деле, вeсилу определенияротора имеем−(`)∇ ×u = rp̆ ×∂p u = rp̆ ×rp̃ ∇P um̃ = rp̆ ×rm ∇P um−,(2.9.38)−(`)∇ ×P = rp̆ ×∂p P = rp̆ ×rp̃ ∇P Pm̃ = rP̆ ×rm ∇P Pm− , Pm̆ = rm̆ ·P,eee∼, ` ∈ {−, ∅, +}.Далее рассмотрим случай, когда ` = ∅, т.к. рассмотрение остальных случаевне представляет большого труда. При ` = ∅, конечно, искомые представленияможно получить из (2.9.38), однако мы их получим из (2.9.3). В этой связидостаточно в (2.9.3) F заменить на соответствующий тензор, ранг которого неменьше единицы, а знаки тензорного умножения — на знаки векторного умножения.

В самом деле, например, для вектора u и тензора второго ранга P будемeиметь−−− −rotu = ∇ × u = C LM (g P− NP u− − ∇3 u − )r− + C M N g P− NP u − r− ,M3MLN 3M−−(2.9.39)− −rotP = ∇ × P = C LM (g P− NP P− − ∇3 P− )r− + C M N g P− NP P− r− ,3M LN 3MMeeПрименяя оператор моментов k-го порядка к (2.9.39) в силу (2.7.2), (2.7.3)и (2.7.10) находим(k)(k)(k)(k)−−− − (k)(k)M(rotu) = M(∇ × u) = C LM [M (g P− NP u− ) − u − ′ ]r− + C M N M (g P− NP u − )r− ,MM(rotP) = M(∇ × P) = Ceeff−−LM(k)3ML′[M(g − NP P− ) − P− ]r− + CPM3MLM− − (k)MNN3(2.9.40)PM(g − NP P− )r− .MN3116Видно, что в правые части (2.9.40) входят моменты, которые определяютсяс помощью (2.9.10). Выписывая эти моменты и подставляя их в (2.9.40), получим искомые соотношения.

Однако эти соотношения проще всего получить из(2.9.11) указанной выше заменой. Они будут громоздкими. Поэтому с цельюсокращения письма их выписывать не будем.2.9.4Представления и момент k-го порядка градиента дивергенцииот тензораРассмотрим моменты градиентов дивергенции вектора и тензора второго ранга при новой параметризации области тонкого тела.

Используя представление(2.9.3) и обозначения (2.9.35), будем иметь−−∇∇·u = ∇θ = rM g P− NP θ + r 3 ∇3 θ,M−−Θ = rM g P− NP Θ + r 3 ∇3Θ .∇∇·P = ∇ΘMe(2.9.41)Теперь, поступая так же, как при получении (2.9.11), нетрудно получить искомые выражения для моментов. Однако эти соотношения можно получить идругим путем. В самом деле, для этого достаточно в (2.9.11) F заменить простона θ и Θ соответственно, а для получения окончательных выражений в полу(k)(k)ченных соотношениях следует учитывать выражения для θ и Θ по (2.9.36) и(2.9.37) соответственно.

С целью сокращения письма на этом останавливаться не будем. Очевидно, при необходимости осуществить это не представляетбольшого труда.Теперь дадим еще другие, быть может, более удобные для дальнейшего использования представления градиентов дивергенций вектора и тензора второгоранга при новой параметризации области тонкого тела. Эти представления легко получить из представлений повторного градиента (2.9.17) и (2.9.19), если вних заменить F на соответствующий тензор, а также в каждом члене второйзнак тензорного умножения (слева направо) — на знак однократного умножения.

В результате таких замен, например, из второго представления (2.9.17)находим−(−−−)−(−)−−QNP33N2 3∇θ = rm g p− g−q ∇P ∇q un = rM g P− g QNNu+gN∇u+rg∇Nu+∇u,P QP 33 Q−−−3m nM NMN−−−)−)−((NP3N2 3Θ = rM g P− g Q=∇Θ+r 3 g Q− NP NQ P +g − NP ∇3 P− ∇3 NQ P +∇3 P−M NM(2.9.42)N−−−−−−− )−−− )((NlNl= rM r− g P− g Q+ g P− NP ∇3 P 3 l + r 3 r− g Q+ ∇32 P 3 l .− NP NQ P− ∇3 NQ PlM NlMNЗаметим, что имеют место соотношенияm̃n̆∇3 P m̃n̆· · = ∂3 P · · ,m̃n̆∇3 ∇I P m̃n̆· · = ∇I ∇3 P · · ,∼, `∈ {−, +},сохраняющие силу при жонглировании индексами m̃, n̆ и дающие возможностьво втором соотношении (2.9.42) оператор ковариантной производной ∇3 заменить на оператор частной производной ∂3 .

Характеристики

Список файлов диссертации