Диссертация (786091), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Ниже рассмотрены моменты k-го порядка произведения двух функций и произведения на произвольную степень x3 произведения двух функций.В силу определения 2.7.1 (см. (2.7.2)) момент k-го порядка произведения{}∞двух функций f (x′ , x3 ) и g(x′ , x3 ) относительно системы полиномов Û ∗k (x3 ) k=0можно вычислить с помощью интеграла∫1(k)M (f g) =f (x′ , x3 )g(x′ , x3 )Û ∗k (x3 )h∗k (x3 )dx3 ,k ∈ N0 .(3.2.29)0Предположим, что f (x′ , x3 ), g(x′ , x3 ) ∈ Cm (V ∪ ∂V ), m ≥ 1. Тогда аналогично (2.7.1) их можно разлагать в ряды Фурье-Чебышеваf (x′ , x3 ) =∞∑(m)f (x′ )Û ∗m (x3 ),g(x′ , x3 ) =m=0∞∑(n)g (x′ )Û ∗n (x3 ).(3.2.30)n=0Пользуясь правилом произведения рядов в форме Коши, в силу (3.2.30) будемиметьf (x′ , x3 )g(x′ , x3 ) =∞( ∑∞ (s))( ∑)f (x′ )Û ∗m (x3 )g (x′ )Û ∗s (x3 ) =(m)m=0=∞∑n (m)∑′(n−m)s=0′f (x ) g (x(3.2.31))Û ∗m (x3 )Û ∗n−m (x3 ).n=0 m=0Учитывая (2.6.7) при s = 0 и (3.2.31), из (3.2.29) после простых выкладокполучим(k)∞ ∑k (n+p)∫1∑(n+k−p)M (f g) = f (x′ , x3 )g(x′ , x3 )Û ∗k (x3 )h∗k (x3 )dx3 = Û0∗f (x′ ) g (x′ ).(3.2.32)n=0 p=00Аналогично (3.2.32) с помощью (2.6.7) после простых преобразований находим∞ ∑2s k−s+q(k) []∑∑ q (n+p)(n+k−s−p+q)M 22s (x3 )s f g = Û0∗C2s fg, k − s ≥ 0, s ≥ 0,n=0 q=0 p=0∞ ∑k ((n) (n+k−2q)∞ ∑k ((n+q) (n+k−q)(n+k−2q)(n+k−q)∑∑(n) )(n+q) )f′ g + f g′ .f ′ g + fg ′ = Û0∗M ′ (f g) = Û0∗(p)n=0 q=0(3.2.33)n=0 q=0Видно, что из первого равенства (3.2.33) при s = 0 получается соотношениедля момента k-го порядка произведения двух функций (3.2.32).1343.2.53.2.5.1Законы термодинамики и теплопроводности Фурье.

Уравнение притока тепла, граничные и начальные условия и их представления при НПОТТЗаконы термодинамики. Законы теплопроводности Фурье иуравнение притока теплаПри рассмотрении неизотермических процессов требуется привлечение основных законов термодинамики.Первый закон термодинамики в дифференциальной форме [338] представляется следующим образом:2dU−∇ · q + ρ q + P ⊗∇v = ρ ,dte(3.2.34)а дифференциальная форма второго закона термодинамики [338] имеет вид−∇ · q + ρ q + W ∗ = ρ TdH.dt(3.2.35)Здесь q — вектор внешнего потока тепла, U — внутренняя энергия, H — энтропия, q — массовый приток тепла, P — тензор напряжений, v — скорость, ρe— плотность материала, T — температура,а W ∗ — так называемая функциярассеивания, причем W ∗ ≫ 0.

Если функция рассеивания равна нулю, то среданазывается обратимой, если она строго больше нуля, то среда необратимая.Если рассматривается функция состояния Ψ = U − T H, называемая свободной энергией, то имеет место соотношение( dU( dΨdH )dT )ρ−T=ρ+H.dtdtdtdtОтсюда в силу (3.2.34) и (3.2.35) закон сохранения [338] получим в формеρ( dΨ2dT )+H+ W ∗ = P ⊗∇v.dtdteДалее заметим, что физическое соотношение между вектором потока тепла qи градиентом температуры [338] представляется в видеΛ · grad T = −ΛΛ · ∇T,q = −Λee(3.2.36)где положительно определенный симметричный тензор Λ — тензор теплопроeводности.Линейное определяющее соотношение (3.2.36) носит название закона теплопроводности Фурье.

С помощью него второй закон термодинамики (3.2.35)можно записать в форме()dH∇ · Λ · ∇T + ρ q + W ∗ = ρ T.dte(3.2.37)Второй закон термодинамики в виде (3.2.37) называется уравнением притокатепла.По закону Дюлонга-Пти у твердых веществ [338] для температуры выше некоторой, называемой температурой Дебая, теплоемкость (при постоянномдавлении) cp = const. В этом случае, считая теплоемкость вещества заданной,135энтропия H полностью определяется законом связи [338] между тензораминапряжений и деформаций и представляется в формеρ H = ρ cp ln{}2T+ a ⊗ F̌ e − aϑ ,T0 e e e eϑ = T − T0 .Тогда в силу этого последнего соотношения уравнение притока тепла (3.2.37)примет вид()}]d[ 2 {dT∇ · Λ · ∇T + ρ q − Ta ⊗ F̌ e − aϑ + W ∗ = ρ cp,dt e e e edte(3.2.38)где a — тензор теплового расширения среды, e — линейный тензор деформаций.ee дифференциальное уравнение.Уравнениепритока тепла (3.2.38) — нелинейноеНелинейность проявляется в третьем члене в левой части (3.2.38).Далее рассмотрим линейно упругий материал.

В этом случае{}}2 {P = F e − aϑ = C ⊗ e − aϑ .ee e eee eПоэтому{}}22 {a ⊗F e − aϑ = b ⊗ e − aϑ ,e e e ee e e2b = a ⊗C.e e e(3.2.39)На основании (3.2.39) уравнение притока тепла (3.2.38) для упругого материаламожно записать в виде()}]d[ 2{dT∇ · Λ · ∇T + ρ q − Tb ⊗ e − aϑ + W ∗ = ρ c p,dt e e edte(3.2.40)Следует заметить, что, если рассматривается микрополярная теория, то в уравнении притока тепла линейный тензор деформаций e нужно заменить на тензордеформаций микрополярной теории γ = ∇u − C·eφ . После такой замены, на≃eпример, из (3.2.40) получим()}]d[ 2{dT∇ · Λ · ∇T + ρ q − Tb ⊗ γ − aϑ + W ∗ = ρ c p,dt edtee eили()}]d[ 2{dT∇ · Λ · ∇T + ρ q − Tb ⊗ ∇u − C·φ−aϑ+ W ∗ = ρ cp.≃dt edtee(3.2.41)Видно, что уравнение притока тепла (3.2.41) в силу (3.2.36) можно представить в виде−∇·q + ρ q − T}]d[ 2{dT∗b ⊗ ∇u − C·φ−aϑ+W=ρc,p≃dt edte(3.2.42)или в более общей форме [345]−∇·q + ρ q − T)2d( 2dTµ + W ∗ = ρ cp,a ⊗P + d ⊗µdt e e e edt(3.2.43)Заметим, что в микрополярной теории тензоры теплового расширения a, de e— несимметричные тензоры.136Если материал однородный и материальные функции не зависят от времени,то из (3.2.41) будем иметь(22φdφdTdT )Λpq ∇p ∇q T + ρ q − T bpq ∇p vq − b ⊗C·−b⊗a+ W ∗ = ρ cp.≃dtdtee e dtОтсюда в свою очередь получаем(() dT22φ)dφ∗Λpq ∇p ∇q T + ρ q − T bpq ∇p vq − b ⊗C·+W=ρc.p − b ⊗a Tdte ≃ dte e(3.2.44)Уравнение (3.2.44) можно еще записать в виде(2φ)dφdTΛpq ∇p ∇q T + ρ q − T bpq ∇p vq − b ⊗C·+ W ∗ = ρ cv,≃dtdte(3.2.45)где cv — теплоемкость при постоянном объеме и2ρ cv = ρ cp − b ⊗a Te e(3.2.46)Если рассматривается классический изотропный упругий однородный материал, тоΛ = ΛE,eea = aE,ee22b = C ⊗a = 3aKE,e e eeb ⊗a = 9a2 K.e e(3.2.47)3K = 3Λ + 2µ.(3.2.48)Учитывая соответствующие соотношения (3.2.47), уравнение притока тепла(3.2.45) для изотропного однородного упругого материала примет формуΛ∆T + ρ q − 3aKT ∇·v + W ∗ = ρ cvdT,dtВ силу последнего соотношения (3.2.47) из (3.2.46) получимρ cv = ρ cp − 9a2 KT.(3.2.49)Нетрудно заметить, что с помощью (3.2.49) из (3.2.48) будем иметьΛ∆T + ρ q − 3aTdpdT+ W ∗ = ρ cp,dtdtp = K(θ − 3aϑ).(3.2.50)Если среда обратимая, то в приведенных выше уравненияхпритока тепла( )∗следует положить W = 0.

Кроме того, если p = (1/3)I1 P не меняется со вреeменем, то из (3.2.50) получим замкнутое относительно температурылинейноеуравнение теплопроводности.Из (3.2.49) следует, что обе теплоемкости cp и cv не могут быть одновременнопостоянными (не зависящими от температуры). Поэтому очень часто принимается допущение [338], что в третьем слагаемом левой части уравнения (3.2.38)температуру T можно заменить на температуру T0 . Тогда уравнение (3.2.38)представляется в виде()}]d[ 2 {dT.∇ · Λ · ∇T + ρ q − T0a ⊗ F̌ e − aϑ + W ∗ = ρ cpdt e e e edte(3.2.51)Следовательно, в этом случае из (3.2.49) получаемρ cv = ρ cp − 9a2 KT0 .Аналогично (3.2.51) можно представить и уравнения (3.2.40)–(3.2.45), (3.2.48)и (3.2.50).1373.2.5.2Граничные и начальные условия теплового содержанияРассмотрены граничные условия первого, второго и третьего родов и начальныеусловия [338].1.

Граничное условие первого рода (условие типа Дирихле). В этомслучае на некоторой части Σq поверхности Σ (Σq ⊆ Σ) тела задается температура:T (x1 , x2 , x3 , t)Σq = T 0 (x1 , x2 , x3 , t).(3.2.52)2. Граничное условие второго рода (условие типа Неймана). В этомслучае на некоторой части Σq поверхности Σ (Σq ⊆ Σ) тела задается поток тепла:n · Λ · ∇T Σq = −n · qΣq = −q 0 (x1 , x2 , x3 , t).e(3.2.53)3.

Граничное условие третьего рода (условие, соответствующеетеплообмену с окружающей средой по закону Ньютона). В этом случаеграничное условие представляется в виде[]n · Λ · ∇T Σq = −n · qΣq = β T (x1 , x2 , x3 , t)Σq − Tc (x1 , x2 , x3 , t) .e(3.2.54)Здесь Tc — заданная температура окружающей среды, а β — коэффициенттеплоотдачи. Следует заметить, что могут встретиться и более сложные (нелинейные) граничные условия, например, для случая теплоотдачи с излучением.Однако мы будем рассматривать только линейные граничные условия.4.

Начальное условие. При рассмотрении нестационарной задачи нужнозадать и начальное условие:T (x1 , x2 , x3 , t)t=0 = T (x1 , x2 , x3 , 0) = T 0 (x1 , x2 , x3 ).(3.2.55)Заметим, что для тел конечных размеров начальное условие оказывает влияние лишь на первой стадии нестационарного процесса. Начиная с некоторогомомента наступает режим, при котором распределение температуры практически не зависит от начального условия. В этом случае говорят, что решаетсястационарная задача [338].Заметим также, что вид функции рассеивания W ∗ конкретизируется привыборе модели термомеханики деформируемого твердого тела (ТМДТТ).3.2.5.3Представление уравнения притока тепла при НПОТТРассмотрим, например, уравнение притока тепла (3.2.41) и представим его приНПОТТ. Учитывая (3.2.36) и пользуясь первым соотношением (2.9.35), будемиметь−−Λ ·∇T ) = −(g P− NP q M + ∂3 q 3 ).−∇·q = ∇·(Λ(3.2.56)MОтсюда, учитывая−−−−−−−−−mN−q m = rm · Λ · ∇T = Λmq ∂q T = Λmn g−q ∂q T = g QNQ T + Λm 3 ∂3 T,−ΛnNполучим− −−−−−−−MN3NΛ ·∇T ) = g P− NP (g Q∇·(ΛNQ T )+g P− NP (ΛM 3 ∂3 T )+∂3 (g QNQ T )+∂3 (Λ 3 3 ∂3 T ).−Λ−ΛMNMN(3.2.57)138Далее, осуществляя простые преобразования, найдем−−2−−Mqb ⊗∇u = bpq ∇p uq = g QNP u−q + b 3 q ∂3 u−q .−beN(3.2.58)В силу (3.2.57) и (3.2.58) из (3.2.41) приходим к искомому представлению− −−−−−−−MN3Ng P− NP (g QNQ T )+g P− NP (ΛM 3 ∂3 T )+∂3 (g QNQ T )+∂3 (Λ 3 3 ∂3 T )+−Λ−ΛMMNN−−−−)22d( P MdT∗+ρ q − Tg − b q NP u−q + b 3 q ∂3 u−q − b ⊗C·φ−b⊗aϑ+W=ρc.pdt Mdte ≃e e(3.2.59)Легко показать, что (3.2.59) можно записать в форме−−− −−−−−3NMNNQ T )+∂3 (Λ 3 3 ∂3 T )+NQ T )+g P− NP (ΛM 3 ∂3 T )+g Qg P− g Q− ∇3 (Λ− NP (ΛMM NN−−−−)22d( P MdT+ρ q − Tg − b q NP u−q + b 3 q ∂3 u−q − b ⊗C·φ−b⊗aϑ+ W ∗ = ρ cp.≃dt Mdtee e(3.2.60)Нетрудно найти представления уравнения притока тепла для однородногоотносительно x3 материала.

Характеристики

Список файлов диссертации