Диссертация (786091), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

В приложениях найдут применения приближенные законы Гука с конечным числомслагаемых. Поэтому аналогично определению 3.1.1 введем определение.Определение 3.2.1. Соотношения, которые получаются из (3.2.3) при условии, что в разложении g P− сохранены первые r+1 членов, называются закономMГука приближения порядка r микрополярного упругого тонкого тела.Согласно этому определению из (3.2.3) закон Гука приближения порядка rмикрополярного упругого тонкого тела представится в форме−−−−2−2M·3·M·3·φ − bϑ,· g P− NP u + CP(r) = C·∂3 u + A· g P− NP φ + A·∂3φ − C ⊗C·φ≃≃≃≃(r)M(r)Mee ≃e−M·−−M·(3.2.4)φ − β ϑ.µ (r) = D· g − NP φ + D·∂3φ + B· g − NP u + B·∂3 u − B ⊗C·φ≃≃≃≃(r)M(r)Me ≃ee3·P3·PОчевидно, закон Гука нулевого и первого приближений получим из (3.2.4) приr = 0 и r = 1 соответственно. Например, закон Гука нулевого приближенияимеет вид−−−−2M·3·M·3·φ − bϑ,P(0) = C·NP u + C·∂3· u + A·NP φ + A·∂3φ − C ⊗C·φ≃≃≃≃ee2 ≃e−−−−M·3·3·M·φ − β ϑ,µ (0) = D·NP φ + D·∂3φ + B·∂3 u − B ⊗C·φ·NP u + B≃≃≃≃e ≃ee(3.2.5)Заметим, что закон Гука для тел класса TS совпадает с законом Гука нулевого приближения.

Очевидно, закон Гука приближения порядка r (3.2.4) можнозаписать в форме−−−−M·M·PP3 r3 rP(r) = P(r−1) + C·A·A+ (x ) NP u + A+ (x ) NP φ ,≃≃(r)(r)MMee−M·−−M·−(3.2.6)µ(r−1) + Dµ (r) =µ·A·A+ (x ) NP φ + B+ (x ) NP u, r ≥ 1.≃≃(r)(r)MMeeP3 rP3 rСледует заметить, что в том случае, когда тело обладает центром симметрии [197, 309], соответствующие представления закона Гука получим, если вприведенных выше представлениях положим A = 0 и B = 0. Кроме того,ee 0 и A = 0, то изесли в первых соотношениях (3.2.1)–(3.2.6) положимφ =eних получим соответствующие формы записи закона Гука классическойтеории упругости.Заметим также, что из приведенных выше определяющих соотношений (3.2.1)–(3.2.6) аналогично классической теории нетрудно получить соответствующиесоотношения для частных случаев анизотропии. Для этого достаточно знатьпредставления тензора четвертого ранга для рассматриваемых случаев анизотропии (эти вопросы довольно подробно изложены в работах [277,282, 290, 291,302, 304, 306]).

Например, в случае изотропной среды в микрополярной теорииупругости тензор четвертого ранга определяется тремя материальными функциями [197, 309] и тензоры C и D можно представить в видеe (e))(C = λCI + µ CII + CIII + α CII − CIII ,(e(ee )eee )D = γCI + δ CII + CIII + β CII − CIII ,eeeeee(3.2.7)128где λ, µ, α, γ, δ, β — материальные функции, а CI , CII , CIII — изотропныеe тензорыee обозначим черезтензоры четвертого ранга [210]. В дальнейшем этиC(1) , C(2) , C(3) соответственно.e Вводяeвe рассмотрение тензорные столбцы тензоров деформаций и изгибакручения и тензоров напряжений и моментных напряжений, а также тензорноблочную матрицу тензоров модулей упругости(X=eγeκe) ((γ, κe e(AM=eCeeX =eT))(,BeDePeµe) (Y=YT =ee))( TM =M ,ee(P, µe e)),Определяющие соотношения при изотермических процессах можно записать ввиде) ())(() (2Y = M ⊗Xee ePµee=AeCeBeDe2⊗γeκe.Следует заметить, что в [164,302] изучены задачи на собственные значениятензора и тензорно-блочной матрицы любого четного ранга.

Построены полная система собственных тензоров для симметричного тензора любого четного ранга и собственных тензорных столбцов симметрической тензорно-блочнойматрицы, состоящей из четырех тензоров любого четного ранга. Как частныеслучаи рассмотрены тензор и тензорно-блочную матрицу четвертого ранга.В явном виде построены полная ортонормированная система собственныхтензорных столбцов тензорно-блочной матрицы тензоров модулей упругостис помощью 153 независимых параметров, полная ортонормированная системасобственных тензорных столбцов тензорно-блочно-диагональной матрицы тензоров модулей упругости с помощью 72 независимых параметров и полная ортонормированная система собственных тензоров для положительно-определенногосимметричного тензора модулей упругости микрополярной теории упругости спомощью 36 независимых параметров (Н.И. Остросаблин в классической теории упругости в явном виде построил собственные тензоры для тензора модулей упругости с помощью 15 независимых параметров).

Дана классификациямикрополярных и классических анизотропных материалов. Закон Гука и удельную энергию деформации представлены в канонических видах. Рассмотрены идругие важные вопросы, затронутые, но не исследованные до конца, в работах Стокса, Кельвина, Рыхлевского и др. и открывающие путь в новое научноенаправление в механике.3.2.1.1Представления уравнения в перемещениях однородного изотропного материала при НПОТТКак известно [197, 232, 309, 338], уравнения Ламе представляются в виде(λ + µ) grad divu + µ∆u + ρF = ρ∂ 2u∂t2или с помощью набла-оператора в форме(λ + µ) ∇∇ · u + µ∇ · ∇u + ρF = ρ∂2u.∂t2(3.2.8)129Запишем первые два слагаемые в левой части в удобной форме. Имеем()221(λ + µ) ∇∇ · u + µ∇ · ∇u = (λ + µ) CII + CIII ⊗∇∇ · u + µE ⊗∇∇u =2eee()221= (λ + µ) CII + CIII ⊗∇∇ · u + µEE ⊗∇∇ · u =2eeee[1()]2=(λ + µ) CII + CIII + µCI ⊗∇∇ · u,2eeeт.е.2(λ + µ) ∇∇ · u + µ∇ · ∇u = L · u = M ⊗∇∇ · u,ef(3.2.9)где введены обозначения−−2L = M ⊗∇∇ = Mpq ∇p ∇q = Mmn g p− g−q ∇p ∇q ,m ne fff()21M = (λ + µ) CII + CIII + µCI , Mpq = M ⊗rp rq ,eeef 2ff−−2−−Mmn = M ⊗rm rnff(3.2.10)В силу (3.2.9) уравнения (3.2.8) можно записать в виде∂ 2uL · u + ρF = ρ 2∂teили с учетом (3.2.10) в удобной для рассматриваемого случая форме−−∂2uMmn g p− g−q ∇p ∇q · u + ρF = ρ 2 .m n∂tf(3.2.11)Запишем последнее соотношение в более развернутом виде− −−−−−[ M]∂ 2u33 2M3 PM N g P− g QM∇NN+M·u+ρF=ρ,g(N∇+∇N)+P QP 33 P−−3∂t2M NMfff− −− −−−)− −]− −[( − −MM N = MN M = r i r j (λ + µ) g−M g−N + g−N g−M + µg−− g M N =ijiji jff− −−−−−)− −(= r I rJ (λ + µ) g−M g−N + g−N g−M + µg M N E =I JI Je− −[−−−−)− −]− − − −( MI JNN M= r r (λ + µ) g− g− + g− g− + µg−− g M N + µg−− g M N r 3 r 3 ,IJIIJJ(3.2.12)(3.2.13)33−−−−− −− −)− −)( − −( − −MM 3 = M 3 M = r i r j (λ + µ) g−M g−3 + g−3 g−M = (λ + µ) rM r 3 + r 3 rM ,iji jff−−−−−−−−−−−−M 3 3 = 2(λ + µ)r 3 r 3 + µg 3 3 E = µg 3 3 g−− r I rJ + (2λ + 3µ) r 3 r 3 .IJef3.2.2Представление уравнения в перемещениях однородного изотропного материала для неизотермических процессов при новой параметризацииЭто уравнение [197, 309, 338] отличается от уравнения (3.2.8) лишь тем, что вее левой части следует учесть температурный член.

Он имеет вид(λ + µ) ∇∇ · u + µ∇ · ∇u − αt (3λ + 2µ) ∇ϑ + ρF = ρ∂ 2u,∂t2(3.2.14)130где α — коэффициент теплового расширения, а ϑ = T − T0 — перепад температуры. Нетрудно заметить, что в силу (2.9.3) и (3.2.12) для (3.2.14) получаемследующее представление:− −−−−−[ M]M3 P33 2M N g P− g QM∇3 · u−NN+Mg(N∇+∇N)+P QP 33 P−−M NMfff−−)( M∂ 2u−αt (3λ + 2µ) r g P− NP + r 3 ∇3 ∇ϑ + ρF = ρ 2 .∂tM3.2.33.2.3.1(3.2.15)Представление уравнения в перемещениях и вращениях микрополярной теории упругости для неизотермических процессов при НПОТТПредставление уравнения в перемещениях и вращениях микрополярной теории упругости однородного изотропного материала при неизотермических процессахВ рассматриваемом случае, как известно [197, 309], уравнения в перемещенияхи вращениях микрополярной теории упругости представляются в виде∂ 2u,∂t2∂ 2φφ + (δ + β)∆φφ + 2α rotu − 4αφφ + ρm = J · 2 ,(γ + δ − β) grad divφe ∂tφ − b grad ϑ + ρF = ρ(λ + µ − α) grad divu + (µ + α)∆u + 2α rotφили с помощью набла-оператора в форме∂ 2u,∂t2∂ 2φφ + 2α ∇ × u − 4αφφ + ρm = J · 2 ,(γ + δ − β)∇∇ · φ + (δ + β)∇ · ∇φe ∂t(λ + µ − α)∇∇ · u + (µ + α)∇ · ∇u + 2α ∇ × φ − b ∇ϑ + ρF = ρ(3.2.16)Отсюда в силу первого соотношения (2.9.39) аналогично (3.2.15) для (3.2.16)будем иметь следующее представление:− −−−−−[ M]N P QM3 PM g − g − NP NQ + M g − (NP ∇3 + ∇3 NP ) + M 3 3 ∇23 · u+M NMfff−(− −[ −LM)]+2α Cg P− NP φ− − ∇3 φ − r− + C M N g P− NP φ − r− −M3MLN 3M−( −)∂ 2u−b rM g P− NP + r 3 ∇3 ϑ + ρF = ρ 2 ,∂tM(3.2.17)−−− −−−[ M]M3 Pg − (NP ∇3 + ∇3 NP ) + L 3 3 ∇23 · φ+L N g P− g Q− NP NQ + LMM Neee−(− −[ −LM)]∂ 2φφ + ρm = J · 2 .g P− NP u− − ∇3 u − r− + C M N g P− NP u − r− − 4αφ+2α C3MLN 3MMe ∂tЗдесь имеем следующие обозначения: b = αt (3λ + 2µ) и)(1M = (λ + µ − α) CII + CIII + (µ + α)CI ,eeef 2)(1L = (γ + δ − β) CII + CIII + (δ + β)CI ,ee 2ee−−2−−Mmn = M ⊗rm rn ,ff−−− −2mnL = L ⊗rm rn .ee(3.2.18)1313.2.3.2Представление уравнения в перемещениях и вращениях микрополярной теории упругости анизотропного материала принеизотермических процессахС целью сокращения письма ограничимся рассмотрением упругого анизотропного материала с центром симметрии.

В этом случае, как известно [197, 309],ОС представляются в виде222P = C ⊗∇u − C ⊗C· φ − bϑ,eee ≃eφ,µ = D ⊗∇φe e(3.2.19)2где для тензора термомеханических свойств введено обозначение b = C ⊗a.e e eУчитывая (3.2.19), а также доказуемые легко следующие соотношения:∇ · (bϑ) = ∇ϑ · b + (∇ · b)ϑ = bT · ∇ϑ + (∇ · b)ϑ,e 2eeee22∇ · (C ⊗∇u) = ri · C ⊗∇∇u + (∇ · C) ⊗∇u,e 2e 2e2i∇ · (C ⊗C·φ)=r·C⊗C·∂φ+(∇· C) ⊗C· φ,i≃≃≃eeeиз (3.1.25) получим искомые уравнения в форме22rp · C ⊗∂p (∇u − C· φ ) + (∇ · C) ⊗(∇u − C· φ )−≃≃eeT−b · ∇ϑ − (∇ · b)ϑ + ρF = ρ ∂t2 u,ee2222φ + (∇ · D) ⊗∇φφ+Crp · D ⊗∂p ∇φ⊗C⊗(∇u−C·φ−bϑ) + ρm = J ·∂t2φ .≃≃eeeee(3.2.20)При получении (3.2.20) было учтено, что CT = C.e можноeНетрудно заметить, что уравнения (3.2.20)записать следующим образом:Cp·qs ∇p ∇q us + ∇p Cp·qs (∇q us − Cqst φt ) − Cp·st Cqst ∇p φq −−bp· ∂p ϑ − (∇p bp· )ϑ + ρF = ρ ∂t2 u,Dp·sq ∇p ∇q φs + ∇p Dp·sq ∇q φs + C·kl C klpq (∇p uq − Cpqs φs − apq ϑ) + ρm = J ·∂t2φ ,e(3.2.21)где введены следующие обозначения:2Cp·sq = rp · C ⊗rs rq ,ebp· = rp · b,e22Dp·sq = rp · D ⊗rs rq ,eC·kl = C⊗rk rl .≃При новой параметризации области тонкого тела уравнения (3.2.21) получатвид− −−− −−−− −−− −−−g p− g−q (Cm·n s ∇p ∇q u−s + ∇p Cm·n s ∇q u−s ) − g p− (∇p Cm· q s C−−− φ t + Cm· s t C−−− ∇p φ q )−m nqstqstm−−−g − [bm· ∂p ϑ + (∇p bm· )ϑ] + ρF = ρ ∂t2 u,pmpqg − g− (D− −−m· n sm n∇p ∇q φ−s + ∇p D− −−m· n s−− − −∇q φ−s ) + g − C −− C k l m q ∇p u−q −pm−C −− C·k l−−−−k l pq·k l−(C−p −q −s φ s + a−p −q ϑ) + ρm = J ·∂t2φ .eОтсюда, учитывая формулы второй строки (1.3.20) и (2.9.2), после простыхвыкладок получим− −−− −−− −−− −−M ·N sg P− g QNP NQ u−s + NP CM ·N s NQ u−s ) + g P− (C 3·M s ∇3 NP u−s + CM · 3 s NP ∇3 u−s )+− (CM N− −−M− −−− −−− −−+g P− (∇3 C 3·M s NP u−s + NP CM · 3 s ∇3 u−s ) + C 3· 3 s ∂3 ∂3 u−s + ∂3 C 3· 3 s ∂3 u−s −M− −−−− −−−− −−−− −−−−C−−− [g P− (NP CM · s t φ q + CM · s t NP φ q ) + (∂3 C 3· s t φ q + C 3· s t ∂3 φ q )]−qstM132−−−−−g P− [bM · NP ϑ + (NP bM · )ϑ] − [b 3· ∂3 ϑ + (∂3 b 3· )ϑ] + ρF = ρ ∂t2 u,(3.2.22)M− −−− −−− −−− −−M ·N sg P− g QNP NQ φ−s + NP DM ·N s NQ φ−s ) + g P− (D 3·M s ∇3 NP φ−s + DM · 3 s NP ∇3 φ−s )+− (DM N− −−P+g − (∇3 D3·M sMNP φ−s + NP D−− − −− −−M·3 sM∇3 φ−s ) + D−−−−− −−3· 3 s− −−∂3 ∂3 φ−s + ∂3 D 3· 3 s ∂3 φ−s +−−−−−+C −− [g P− C k l M q NP u−q + C k l 3 q ∂3 u−q − C k l p q (C−p −q −s φ s + a−p −q ϑ)] + ρm = J ·∂t2φ .·k l MeЛегко усмотреть, что для однородного материала из (3.2.22) находим− −−− −−− −−− −−M ·N sNP NQ u−s + g P− (C 3·M s ∇3 NP u−s + CM · 3 s NP ∇3 u−s ) + C 3· 3 s ∂3 ∂3 u−s −g P− g Q−CMM N− −−− −−−−−−−C−−− (g P− CM · s t NP φ q + C 3· s t ∂3 φ q ) − g P− bM · NP ϑ − b 3· ∂3 ϑ + ρF = ρ ∂t2 u,qstPQMg − g− DM− −−M ·N sM NPNP NQ φ−s + g − (D− −−3·M sM−− − −∇3 NP φ−s + D−−−−− −−M·3 s−−−−NP ∇3 φ−s ) + D− −−3· 3 s(3.2.23)∂3 ∂3 φ−s +−+C −− [g P− C k l M q NP u−q + C k l 3 q ∂3 u−q − C k l p q (C−p −q −s φ s + a−p −q ϑ)] + ρm = J ·∂t2φ .·k l MeВ рамках классической теории упругости неоднородного материала из первого уравнения (3.2.22) будем иметь следующее представление уравнений движения:− −−− −−− −−− −−{ P Q Mg − g − [C ·N s NP NQ + (NP CM ·N s )NQ ] + g P− (C 3·M s ∇3 NP + CM · 3 s NP ∇3 )+M NM− −−}+g P− [(∇3 C 3·M s )NP + (NP CM · 3 s )∇3 ] + C 3· 3 s ∂3 ∂3 + ∂3 C 3· 3 s ∂3 u−s −− −−M− −−− −−(3.2.24)−−−− }{− g P− [bM NP + (NP bM )] + [b 3 ∂3 + (∂3 b 3 )] ϑ + ρF = ρ ∂t2 u,Mа в рамках классической теории упругости однородного материала из первогоуравнения (3.2.23) получим− −−− −−− −−− −−[ P Q M]g − g − C ·N s NP NQ + g P− (C 3·M s ∇3 NP + CM · 3 s NP ∇3 ) + C 3· 3 s ∂3 ∂3 u−s −M NM−−−(bM g P− NP − b 3 ∂3 )ϑ + ρF = ρ ∂t2 u.MВводя дифференциальные операторы− −− −− −− −M ·N ·L = g P− g QNP NQ + (NP CM ·N · )NQ ] + g P− (C 3·M · ∇3 NP + CM · 3· NP ∇3 )+− [CM NMe− −− −−−−−+g P− [(∇3 C 3·M · )NP + (NP CM · 3· )∇3 ] + C 3· 3· ∂3 ∂3 + ∂3 C 3· 3· ∂3 ,(3.2.25)M−−−− }{T = − g P− [bM NP + (NP bM )] + [b 3 ∂3 + (∂3 b 3 )] ,Mуравнения движения (3.2.24) можно представить в краткой формеL · u + Tϑ + ρF = ρ ∂t2 u.e(3.2.26)Следовательно, для однородного материала дифференциальные операторы(3.2.25) будут иметь вид− −− −− −−−M ·N ·L = g P− g QNP NQ + g P− (C 3·M · ∇3 NP + CM · 3· NP ∇3 ) + C 3· 3· ∂3 ∂3 ,−CM NMe−−T = −(g − b NP + b ∂3 ).PMM3(3.2.27)133Нетрудно заметить, что в силу определения приближенного соотношенияпорядка r, (1.5.37), (1.5.68) и (3.2.25) в случае однородного классического анизотропного упругого материала дифференциальные операторы приближенияпорядка r представляются в виде−−− − ∑− −2r− −−−L(r) = CM ·N · [ B P+Q+ (x3 )s ]NP NQ + g P− (C 3·M · ∇3 NP + CM · 3· NP ∇3 ) + C 3· 3· ∂3 ∂3 ,(s)(r)Mes=0 M N−−r−∑T(r) = −( g P− bM NP + b 3 ∂3 ), g P− =AP+ (x3 )s .(r)M3.2.4(r)Ms=0(s)(3.2.28)MМомент k-го порядка произведения двух функций относительно системы полиномов Чебышева второго родаМомент k-го порядка произведения нескольких функций (тензорных полей) относительно системы полиномов Чебышева второго рода определяется аналогично (2.7.2).

Характеристики

Список файлов диссертации