Диссертация (786091), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

С целью сокращения письма сучетом (3.1.21) уравнения (3.1.20) выписывать не будем.−(−)−Если h ⊥ S и h = |h| = const, то, как это следует из (3.1.21), g +3 = 0, gP3 = 0,Pg 3− = 0 (см. (1.5.5) и (1.5.6)) и уравнения (3.1.8) и (3.1.20) представляютсяMсоответственнов виде−−g P− ∇P PM + ∂3 P 3 + ρF = ρa,M−−−)−−−)− −−− ]−−( −[( −M3MNP 3 N + ∂3 P 3 N + ρ F N = ρ a N ,+ gMg P− ∇P0 P M N + g N+ − g−+ − g− PMPPP(3.1.22)P−−−)−− (−− ]−−−−[) −− ( −M333333g P− ∇P0 P M 3 + g 3 3 g − − − g + − P M L + g M−gP+∂P+ρF=ρa.3+−PLMPLPPНетрудно заметить, что уравнения (3.1.20) можно записать в форме− −−)−−−)− −]−−−[( −( −NM3MAP− ∇P0 P M N + g N+ gMP 3 N − gP3 ∂3 P M N ++ − g− P+ − g−MPPPP−∂ 2 uN3NN+ ϑ ∂3 P+ρϑF = ρϑ,∂t2−)−−− −]−−−−− g −M P 3 3 + g +3 P M 3 − gP3 ∂3 P M 3 +(−)−−−− ([) −− ( −AP− ∇P0 P M 3 + g 3 3 g − − − g + − P M N + g M+MPNPNP−−P(−)−(−)(3.1.23)P−(−)+ ϑ ∂3 P−−33∂ 2u 3+ρϑF = ρϑ,∂t2(−)−3(−)(−)h⊥ S .Отсюда, при h = |h| = const получаем−− −−)−−−)−− ]−−(−)(−) −(−) 2 N[( −( −∂ uNM3MAP− ∇P0 P M N + g N,+ gMP 3 N + ϑ ∂3 P 3 N +ρ ϑF N = ρ ϑ+ −g − P+ −g −∂t2MPPPP−−−−)−− (−− ]−−(−)(−) −(−) 2 3[) −− ( − M∂ uAP− ∇P0 P M 3+g 3 3 g − −−g + − P M N + g M.P 3 3 + ϑ ∂3 P 3 3 +ρ ϑF 3 = ρ ϑ+ −g −PNPN∂t2MPP(3.1.24)Уравнения (3.1.4)–(3.1.12), (3.1.14)–(3.1.16), (3.1.18), (3.1.20) и (3.1.22)–(3.1.24)являются различными формами представления уравнений классической МДТТ(первого векторного уравнения (3.1.1)) при рассматриваемой параметризацииобласти тонкого тела.

Назовем их различными представлениями уравненийклассической механики деформируемого твердого тонкого тела (МДТТТ) приНПОТТ.Заметим, что исходя из различных представлений уравнений движения приНПОТТ и используя разложения величин, входящих в эти уравнения, в рядпо системам ортогональных полиномов (Лежандра, Чебышева и др.), получимразличные варианты уравнений тонких тел относительно моментов величин,124входящих в рассматриваемые уравнения. Ниже эти уравнения мы получим, исходя, например из представлений (3.1.9) и (3.1.12).

Так как из остальных представлений соответствующие им уравнения в моментах аналогично выводятся.Заметим также, что при новой параметризации отсчетной конфигурации области тонкого тела аналогичные (3.1.4)–(3.1.12), (3.1.14)–(3.1.16), (3.1.18), (3.1.20)и (3.1.22)–(3.1.24) представления для второго векторного уравнения (3.1.1) получаются из них, если входящие в эти уравнения величины, заменим соответствующими величинами, снабженными кружком сверху (над F, u и a кружокне пишется). Аналогично получаются и другие соотношения для отсчетной конфигурации области тонкого тела.3.1.2Представления уравнений движения микрополярной МДТТпри НПОТТИзвестно [22, 24, 197, 309, 321], что в актуальной конфигурации уравнения движения в тензорах напряжений и моментных напряжений имеют вид∇·P + ρF = ρ ∂t2 u,e2µ+C⊗P + ρm = J ·∂t2φ .∇·µ≃eee(3.1.25)В отсчетной конфигурации аналогично второму векторному уравнению (3.1.1)классической МДТТ они представляются в форме◦◦◦∇·P + ρF = ρ ∂t2 u,e◦◦2◦◦◦µ+C∇·µ⊗ P + ρm = J ·∂t2φ .≃eee(3.1.26)Здесьи µ — тензоры√истинных напряжений и моментных напряжений, а√ Pee◦◦◦◦◦P = g g −1 ∇rT · P и µ = g g −1 ∇rT · µ — тензоры условных напряжений и моee e C — дискриминантныйeментныхнапряжений,тензор (тензор третьего ранга)≃[68], u — вектор перемещений, φ — вектор вращений, ρ — плотность материалав актуальной конфигурации, F — плотность массовой силы, m — плотностьмассового момента, знак "T"в верхнем правом углу у величин означает операцию транспонирования.

Заметим, что представления (3.1.25) и (3.1.26) приновой параметризации области тонкого тела будут отличаться друг от другатолько тем, что в отсчетной конфигурации над соответствующими величинаминадо ставить кружок. В этой связи нет надобности по отдельности для (3.1.25)и (3.1.26) выписать эти представления. Поэтому, как и выше, в рассматриваемом случае самые необходимые представления выпишем для (3.1.25). Так как влевых частях (3.1.25) первые слагаемые — дивергенции тензоров второго ранга, а из предыдущего подраздела нам уже известны различные представлениядивергенции тензора второго ранга и тем самым получены представления уравнений классической МДТТТ, то, пользуясь этими представлениями, нетруднополучить аналогичные представления для (3.1.25).

В самом деле аналогичные(3.1.9) и (3.1.12) представления будут иметь вид◦( √(−)) √(−) (−)(−)(−)(−)1/ g ∂P ( g ϑ PP ) + ∂3 ( ϑ P3 ) + ρ ϑ F = ρ ϑ ∂t2 u,( √(−)) √(−) (−)(−)(−)(−)2 (−)1/ g ∂P ( g ϑ µ P ) + ∂3 ( ϑ µ 3 ) + C⊗(ϑP)+ρϑm=ϑ J ·∂t2φ ;≃ee−−g P− NP PM + ∂3 P 3 + ρF = ρ∂t2 u,M−−2g P− NP µ M + ∂3µ 3 + C⊗P + ρm = J ·∂t2φ ;≃Mee(3.1.27)(3.1.28)125−−(−)(−)(−)AP− NP PM + ϑ ∂3 P 3 + ρ ϑ F = ρ ϑ ∂t2 u,M−−(−)(−)(−)2(−)(3.1.29)AP− NP µ M + ϑ ∂3µ 3 + C⊗( ϑ P) + ρ ϑ m = ϑ J ·∂t2φ .≃MeeНетрудно заметить, что−−−−g P− NP PM = g P− NP Pm = NP (g P− Pm ) = NP (g P− PM ) = NP PP .mMmMПоэтому уравнения (3.1.28) можно еще представить в видах−−−2N P µ P + ∂3 µ 3 + C⊗P + ρm = J ·∂t2φ,≃eeNP PP + ∂3 P 3 + ρF = ρ∂t2 u,−−−2NP (g P− µM ) + ∂3µ 3 + C⊗P + ρm = J ·∂t2φ.≃MeeNP (g P− PM ) + ∂3 P 3 + ρF = ρ∂t2 u,M(3.1.30)(3.1.31)Уравнения (3.1.27) – (3.1.31) является различными формами представленияуравнений микрополярной МДТТ (3.1.25) при рассматриваемой параметризации области тонкого тела.

Назовем их различными представлениями уравнениймикрополярной МДТТТ при НПОТТ.Учитывая (1.5.37), уравнения (3.1.28) можно записать в форме∞∑s=0∞∑−−−AP+ (x3 )s NP PM + ∂3 P 3 + ρF = ρ∂t2 u,M−−−(3.1.32)2A + (x ) NP µM + ∂3µ 3 + C⊗P + ρm = J ·∂t2φ.≃ees=0 MP3 sВидно, что уравнения (3.1.32) содержат бесконечно много слагаемых. Поэтому на практике ими пользоваться нецелесообразно. Естественно, следует рассматривать приближенные уравнения с конечным числом слагаемых. В этойсвязи введем определение.Определение 3.1.1. Уравнения, которые получаются из (3.1.28), если в разложении g P− сохранены первые r +1 членов, называются уравнениями приблиMжения порядка r.В силу этого определения уравнения приближения порядка r представляются в виде−−g P− NP PM + ∂3 P 3 + ρF = ρ∂t2 u,(r)Mгде введено обозначениеg P− =(r)M−−2g P− NP µ M + ∂3µ 3 + C⊗Pρm = J ·∂t2φ ,≃(r)Meer∑s=m(3.1.33)−AP+ (x3 )m .(3.1.34)MИз (3.1.33) при r = 0 получим уравнения нулевого приближения, при r = 1 –уравнения первого приближения и т.д.1263.2Различные формы записи определяющих соотнощений по классической и микрополярной теориям упругостиНаиболее простой моделью МДТТ является модель линейного упругого тела.Почти все деформируемые твердые тела (а иногда даже и жидкости) в той илииной степени обладают упругими свойствами, хотя бы при кратковременныхнагрузках.В работах [282, 304, 306] приведены различные формы записи прямых и обратных определяющих соотношений (закона Гука) для модели линейного упругого тела при различных случаях анизотропии, а также даются их соответствующие представления при новой параметризации области тонкого тела.

Поэтомус целью сокращения письма ниже приведены только различные формы записиопределяющих соотношений для модели линейного микрополярного упругоготела и указан способ, как из них можно получить соответствующие соотношения для классической теории.3.2.1Представления закона Гука микрополярной теории упругостипри НПОТТВ линейной микрополярной теории упругости закон Гука при неизотермическихпроцессах в силу обобщенного принципа Дюгамеля–Неймана [338, 345] можнопредставить в виде22κ − aϑ),P = C ⊗(γγ − aϑ) + A ⊗(κee e ee e e22κ − dϑ) + B ⊗(γγ − aϑ),µ = D ⊗(κe e ee e e e(3.2.1)φ — тензор деформаций в микрополярной теории [197], κ = ∇φφгде γ = ∇u−C·φ≃ee— тензор кручения-изгиба, C, A, D, B — материальные тензоры четвертогоe e a,e d eранга, ϑ — перепад температуры,— тензоры теплового расширения.eeУчитывая выражение для γ , (3.2.1) можно записать в форме222222φ − C ⊗Cφ + B ⊗∇u − B ⊗CP = C ⊗∇u + A ⊗∇φ· φ − bϑ, µ = D ⊗∇φ· φ − β ϑ,e eee ≃eee ≃e ee(3.2.2)где для тензоров термомеханических свойств введены обозначения22b = C ⊗a + A ⊗d,e e e e e22β = D ⊗d + B ⊗ae e e e eЗаметим, что частный случай закона (3.2.2) рассмотрены в [197,309], а болееобщие соотношения приведены в [341, 345].Теперь нетрудно найти искомые представления закона Гука (3.2.2) при НПОТТ.В самом деле, учитывая (2.9.3), из (3.2.2) будем иметь−−−−2M· PM· P3·3·φ − bϑ,·g − NP u + C·g − NP φ + AP=C·∂3 u + A·∂3φ − C ⊗C·φ≃≃≃≃≃MMeee−−−−2M· PM· P3·3·φ − β ϑ.·g − NP φ + D·g − NP u + Bµ =D·∂3φ + B·∂3 u − B ⊗C·φ≃≃≃≃MMe ≃eeЗдесь введены обозначения−2−−−2−−m·m·= C ⊗rm E = Cij ml ri rj rl , A=A ⊗rm E = Aij ml ri rj rl ,C≃≃−−e2 −ee2 −e−−m·m·=D ⊗rm E = Dij ml ri rj rl , B=B ⊗rm E = Bij ml ri rj rl .D≃≃eeee(3.2.3)127Далее, учитывая (1.5.37), из (3.2.3) получится закон Гука с бесконечнымчислом слагаемых, которым в приложениях пользоваться не придется.

Характеристики

Список файлов диссертации