Диссертация (786091), страница 32
Текст из файла (страница 32)
еще (3.3.6)) имеем(+)F ′ (x′ ) =∞∑p=N +1(p)F(x′ ),(−)F ′ (x′ ) =∞∑(p)(−1)p F(x′ ).p=N +1(3.3.33)148Теперь преобразуем (3.3.31). Учитывая (2.7.11), из (3.3.31) получим∞ (k+2p)∞ (k+2p+1)(k) [] 1[∑∑M′′ (x3 )2 F = (k − 1)4kF − 4(k + 2)4(k + 1)F −4fp=0p=0∞ (k+2p+2)∞∞ (p+2q+1)∑∑∑−(k + 3)4(k + 2)F + 8(k + 1)4(p + 1)F =p=0p=kq=0∞ (k+2p)∞ (k+2p+1)∞ (k+2p+2)∑∑∑= (k − 1)kF − 4(k + 1)(k + 2)F − (k + 2)(k + 3)F +p=0+8(k + 1)p=0∞∑∞ (p+2q+1)∑(p + 1)F .p=kq=0(3.3.34)p=0Нетрудно доказать, что имеет место соотношение8∞∑(p + 1)∞∞∞ (p+2q+1)(p)(p)∑∑∑(p − k)(k + p + 2) F + (2k + 1) [1 − (−1)k+p ] F.F =2q=0p=k(3.3.35)p=kp=kУчитывая (3.3.35), из (3.3.34) будем иметь∞ [(k)(k) []](p)∑M′′ (x3 )2 F = (k + 2)(k + 3) F + 2(k + 1)(p − k)(k + p + 2) − 3 F =fp=kN [(k)(+) )}{∑](p) ((+)= (k + 2)(k + 3) F +2(k + 1)(p − k)(k + p + 2) − 3 F + F ′′ −3 F ′ , k ≥ 0.(3.3.36)p=kС помощью (3.3.14) и (3.3.36) первое соотношение (3.3.29) можно представитьв видеN (p)−(k)(k)(+) )](k) []( −)[ (k)(∑M NI NJ F = ∇I ∇J F − g+3 ∇J + g+3 ∇I k F + (k + 1)F − F + F′ +IJfp=kN (− −[(k))(p)∑+g+3 g+3 (k + 2)(k + 3) F + 2(k + 1)(p − k)(p + k + 2) − 3 F + 2(k + 1)+IJ(+) )]((+)+ F ′′ − 3 F ′(3.3.37)p=kk ≥ 0.Далее на основании первого соотношения (3.3.10) и (3.3.33) из второго соотношения (3.3.29) получаем[∑N ((−) )](k) []) (p) ( (+)M NI ∇3 F = 2(k + 1)1 − (−1)k+p ∇I F + ∇I F ′ − (−1)k ∇I F ′ −fp=k(∑N (N−[ ( ∑(p)(+) ))(p)3′′1 − (−1)k+p F+−(k + 1)g+ 2(p − k)(p + k + 2) F + F − 3I(−) ))]((+)′k,+ F − (−1) F ′(3.3.38)p=kp=kk ≥ 0.В силу первого соотношения (2.9.6) при s = 1, (3.3.17) и (3.3.18) находим− (k) [(k+1))(k)(k)(k) (] 1 ( (k−1))M x3 NP F = ∇P M(x3 F) − g +3 M′ (x3 )2 F = ∇P F + 2∇P F + ∇P F −4PN (p)(k−1)(k)(k+1)(+) )](∑1 −3 [− g + (k − 1) F − 4(k + 2) F − (k + 3) F + 8(k + 1)F + F ′ , k ≥ 0.4 Pp=k(3.3.39)149На основании (2.9.23) при s = 1 и s = 2 и второго соотношения (2.9.29) приs = 1 (см.
и (2.9.31)) будем иметь соответственно−(k) ((k))( −) (k) [] − − (k) []M x3 NP NQ F =∇P ∇Q M(x3 F)− g +3 ∇Q +g +3 ∇P M′ (x3 )2 F +g +3 g +3 M′′ (x3 )3 F ,PQP Qffff− (k) [(k) ((k)(k) ())]M x3 NP ∇3 F = M′ x3 NP F = ∇P M′ (x3 F) − g +3 M′′ (x3 )2 F ,Pffff−(k) [(k) []] ( −3) (k) [] − − (k) []3 23 23M (x ) NP NQ F =∇P ∇Q M (x ) F − g + ∇Q +g + ∇P M′ (x3 )3 F +g +3 g +3 M′′ (x3 )4 F .PQP Qffff(3.3.40)Представим эти соотношения аналогично (3.3.37) и (3.3.38). Для того, чтобынайти выражение для первого соотношения (3.3.40) нужно найти выражение(k) [(k)(k) []]только для M′′ (x3 )3 F , так как для M(x3 F) и M′ (x3 )2 F выше уже были найfff(k) []дены соответствующие выражения. Сперва найдем выражение для M′ (x3 )3 F ,f(k) []а потом, используя (2.7.16), для M′′ (x3 )3 F .
С помощью (2.9.8) при s = 2 поfлучим((k−3)(k−2)(k−1)(k)(k+1)(k+2)(k+3) )[ 3 3 ]−6′′′′′′M (x ) F = 2F + 6 F + 15 F + 20 F + 15 F + 6 F + F ′ , k ≥ 0,f(−3)(1)(−2)(0)(−1)F = − F, F = − F, F = 0.(k)′Отсюда в силу (2.7.11) после простых выкладок имеем(k−2)(k−1)(k)(k+1)[ 3 3 ]1[M (x ) F =(k − 2) F + 6(k − 1) F − 2(8k + 17) F − 6(k + 3) F −16f∞ (p)](k+2)(−2)(0)(−1)∑−(k + 4) F + 32(k + 1)F , k ≥ 0, F = − F, F = 0.(k)′(3.3.41)p=kТеперь с помощью (2.7.15) и (2.7.16) из (3.3.41) имеем(k−2)(k−1)(k)(k+1)(k) []1[M′′ (x3 )3 F =(k − 2) F ′ + 6(k − 1) F ′ − 2(8k + 17) F ′ − 6(k + 3) F ′ −16f∞ (p) ](k+2)∑−(k + 4) F ′ + 32(k + 1)F ′ , k ≥ 0,p=kа отсюда в свою очередь на основании (2.7.11) и (3.3.35) после простых выкладок находим(k−1)(k)(k+1)(k) [] 1[M′′ (x3 )3 F = (k − 2)(k − 1) F + 6(k + 2)(k + 3) F + (k + 3)(k + 4) F +4f+4(k + 1)∞ (∑p=k(k−1))(p)] 1 {2(p − k)(k + p + 2) − 9 F =(k − 2)(k − 1) F +4(k)(3.3.42)(k+1)+6(k + 2)(k + 3) F + (k + 3)(k + 4) F ++4(k + 1)N [(−1)(+) )}](p)( (+)∑2(p − k)(k + p + 2) − 9 F + 4(k + 1) 2 F ′′ − 9 F ′ , k ≥ 0, F = 0.p=kУчитывая (3.3.17), (3.3.18) и (3.3.42), из первого соотношения (3.3.40) получим150(k−1)(k)(k+1)(k) () 1{M x3 NP NQ F =∇P ∇Q ( F + 2 F + F )−4fN (p) (+) )]−(k−1)(k)(k+1)( −3)[(∑− g + ∇Q +g +3 ∇P (k−1) F −4(k+2) F −(k+3) F +8(k+1)F+ F′ +PQp=k(3.3.43)(k−1)(k)(k+1)[+g +3 g +3 (k − 2)(k − 1) F + 6(k + 2)(k + 3) F + (k + 3)(k + 4) F +−−P Q+4(k + 1)N (∑(+) )]})(p)( (+)2(p − k)(k + p + 2) − 9 F + 4(k + 1) 2 F ′′ − 9 F ′,k ≥ 0.p=kС помощью (3.3.14) и (3.3.36) второе соотношение (3.3.40) можно записать вформеN(k)(p)(k)(+) )(k) ()(∑M x3 NP ∇3 F = k∇P F + 2(k + 1)∇P F − ∇P F + ∇P F ′ −fp=kN (−[(k))(p)∑−g +3 (k + 2)(k + 3) F + 2(k + 1)(p − k)(k + p + 2) − 3 F+P(+) )]((+)+2(k + 1) F ′′ − 3 F ′ ,(3.3.44)p=kk ≥ 0.(k) []Нетрудно получить выражения и для M′′ (x3 )4 F .
В самом деле, осуществляя несложные выкладки, будем иметь f(k−2)(k−1)(k) []1{M′′ (x3 )4 F =(k − 3)(k − 2) F + 8(k − 2)(k − 1) F +16f(k)(k+1)(k+2)+6(k + 3)(5k + 11) F + 8(k + 3)(k + 4) F + (k + 4)(k + 5) F +∞(p)}∑+32(k + 1) [(p − k)(p + k + 2)− 6] F =p=k(3.3.45)(k−2)(k−1)1{(k − 3)(k − 2) F + 8(k − 2)(k − 1) F +=16(k)(k+1)(k+2)+6(k + 3)(5k + 11) F + 8(k + 3)(k + 4) F + (k + 4)(k + 5) F +N(p)(+)(+) ]}[∑+32(k + 1)[(p − k)(p + k + 2)− 6] F + F ′′ − 6 F ′ , k ≥ 0.p=kУчитывая (2.6.1) при s = 2, (3.3.41) и (3.3.45), последнее соотношение (3.3.40)можно представить в виде(k−2)(k−1)(k)(k+1)(k+2)(k) [] 1{∇P ∇Q ( F + 4 F + 6 F + 4 F + F )−M (x3 )2 NP NQ F =16 (k−2)f( −−(k−1)(k)(k+1))[33− g + ∇Q +g + ∇P (k − 2) F + 6(k − 1) F − 2(8k + 17) F − 6(k + 3) F −PQ(k+2)−(k + 4) F + 32(k + 1)(N (p)− −[(k−2)(+) ]∑F + F ′ ) +g +3 g +3 (k − 3)(k − 2) F +(3.3.46)P Qp=k(k−1)(k)(k+1)+8(k − 2)(k − 1) F + 6(k + 5)(5k + 11) F + 8(k + 3)(k + 4) F +N(k+2)(p)(+)(+) ]]}[∑.+(k + 4)(k + 5) F + 32(k + 1)[(p − k)(p + k + 2)− 6] F + F ′′ − 6 F ′p=kСледует заметить, что, используя (2.6.1) при s = 1 и s = 2, будем иметь(k) [(k−1)((k) ((k+1)(] (k−2)())))24 M (x3 )2 NP NQ F = M NP NQ F + 4 M NP NQ F + 6M NP NQ F + 4 M NP NQ F +ff(](k+2)() 2 [(k−1)) f(k) ( 3) f(k+1)( 3)f3+ M NP NQ F = 2 M x NP NQ F + 2M x NP NQ F + M x NP NQ F , k ≥ 0.ffff151Отсюда, конечно, учитывая (3.3.37) или первое соотношение (3.3.40), получим(3.3.46).3.3.3.1Системы уравнений в перемещениях (уравнений Ламе) нулевого и первого приближений в моментахВ силу (1.5.37) и (1.5.68) из (3.2.12) получаем следующие уравнения в перемещениях нулевого и первого приближений соответственно при новой параметризации области тонкого тела:−−−−[ −I −J]M NI NJ + M I 3 (NI ∇3 + ∇3 NI ) + M 3 3 ∇32 · u + ρF = ρ∂t2 u,fff{ − −[ − −−−−− ]3 2 PQ3 PQMM N g P− g Q− +x B + + + (x ) B + + NP NQ +(1)(2)M NMNMNf}− −( −−−− )M333 2P3 P+MA + (NP ∇3 +∇3 NP )+M ∇3 ·u + ρF = ρ∂t2 u.g − +x (1)MMff(3.3.47)(3.3.48)Применяя к уравнениям (3.3.47) и (3.3.48) оператор моментов k-го порядкаи учитывая (2.7.2), (2.7.3), (2.7.4) и (2.7.12), найдем−−−−−−(k) ((k) ((k)))(k)(k)M I J · M NI NJ u + 2M I 3 · M NI ∇3 u + M 3 3 · u ′′ + ρ F = ρ∂t2 u,fff{ (k) (− − (k)− − (k)− −)( 3)[ 3 2]}PQPQMM N · M NM NN u + BMxNNu+BM(x)NNu++ ++ +P QP Q(1)(2)MNMNf−−−−− (k) ((k)[ (k) ())](k)(k)M3+2M · M NM ∇3 u + (1)AP+ M x3 NP ∇3 u + M 3 3 · u ′′ + ρ F = ρ∂t2 u.Mff(3.3.49)(3.3.50)Теперь нетрудно получить искомые уравнения в моментах.
На самом деле, всилу (3.3.32), (3.3.37) и (3.3.38) из (3.3.49) получим следующую систему уравнений в перемещениях нулевого приближения в моментах:−−N (p)−{( −)[ (k)(∑(k)(k)(+) )]M I J · ∇I ∇J u − g+3 ∇J + g+3 ∇I k u + 2(k + 1)u − u + u′ +IJfp=kN− −[)(p)∑((k)+g+3 g+3 (k + 2)(k + 3) u + 2(k + 1)(p − k)(p + k + 2) − 3 u+IJp=k((+)(+) )]}+2(k + 1) u ′′ − 3 u ′+−−N{ ∑((+)(p)(−) )+2(k + 1)M I 3 · 2 (1 − (−1)k+p )∇I u + 2∇I u ′ − (−1)k u ′ −fp=kNN−[ ∑((+)∑(p)(p)(+)(−) )]}+−g+3 2 (p−k)(p+k+2) u −3 (1−(−1)p+k ) u +2 u ′′ −3 u ′ −(−1)k u ′Ip=k(3.3.51)p=k−−+2(k + 1)M 3 3 ·fN[∑((+)(p)(−) )](p − k)(p + k + 2)(1 + (−1)k+p ) u + u ′′ +(−1)k u ′′ +p=k(k)(k)+ρ F = ρ∂t2 u, k ∈ N0 .Аналогично (3.3.51) на основании2 (3.3.32), (3.3.37), (3.3.38), (3.3.43), (3.3.44) и(3.3.46) из (3.3.50), осуществляя простые выкладки, найдем систему уравненийв перемещениях первого приближения в моментах.
В связи с громоздкостью еевыписывать не будем.2В рассматриваемом случае, ссылаясь на соотношения (3.3.32), (3.3.37), (3.3.38), (3.3.43), (3.3.44) и (3.3.46),считаем, что в них, имеющиеся величины предварительно заменены на u. И в дальнейшем, не оговариваяськаждый раз, будут применены аналогичные ссылки.1523.3.3.2Системы уравнений в перемещениях нулевого и первого приближений в моментах при неизотермических процессахОграничимся рассмотрением однородного изотропного материала. В этом случае уравнения в перемещениях нулевого и первого приближений для неизотермических процессов при новой параметризации области тонкого тела аналогично (3.3.47) и (3.3.48) по (3.2.15) представляются соответственно в виде:−−−−][ −I −JM NI NJ +M I 3 (NI ∇3 +∇3 NI )+M 3 3 ∇32 ·u−fff−()−at (3λ+2µ) rI NI +r 3 ∇3 ϑ + ρF = ρ ∂t2 u,{ − −[ − −−−−− ]MN3 2 PQ3 PQP QMg − g − +x B + + + (x ) B + + NP NQ +(1)(2)M NMNMNf}− −( −−−− )+MM 3 g P− +x3 AP+ (NP ∇3 +∇3 NP )+M 3 3 ∇32 ·u−(1)MMff− )−)[ M ( P−3 P−at (3λ + 2µ) r g − + x A + NP + r 3 ∇3 ϑ + ρF = ρ ∂t2 u.M(3.3.52)(3.3.53)(1)MПрименяя к уравнениям (3.3.52) и (3.3.53) оператор моментов k-го порядка,в силу (2.7.2), (2.7.3), (2.7.4), (2.7.10) и (2.7.12) получим−−−−−−(k) ((k) ())(k)M I J · M NI NJ u + 2M I 3 · M NI ∇3 u + M 3 3 · u ′′ −ff(k) )(k) ((k)[f)(k)−at (3λ + 2µ) rI M NI ϑ + r3 ϑ ′ + ρ F = ρ ∂t2 u,{ (k) (− − (k)− − (k)− −)()[]}MM N · M NM NN u + B P+Q+ M x3 NP NQ u + B P+Q+ M (x3 )2 NP NQ u +(1)(2)MNMNf − − (k)−−− (k) ([())](k)M3+2M · M NM ∇3 u + AP+ M x3 NP ∇3 u + M 3 3 · u ′′ −(1)Mff (k)− [ (k) (− (k) ((k){ M))]}(k)P3−at (3λ + 2µ) r M NM ϑ + A + M x NP ϑ + r3 ϑ ′ + ρ F = ρ ∂t2 u.(1)(3.3.54)(3.3.55)MИз (3.3.54) и (3.3.55) видно, что с целью получения искомых систем уравнений в моментах достаточно найти подходящие выражения для− (k) (− (k) )(k) }[ (k) (){ − [ (k) ())]−at (3λ + 2µ) rI M NI ϑ + r 3 ϑ ′ , −at (3λ + 2µ) rM M NM ϑ + AP+ M x3 NP ϑ + r3 ϑ ′(1)Mи прибавить к левым частям (3.3.51) и не выписанной системы уравнений вперемещениях в моментах первого приближения соответственно.В силу (3.3.5) и (3.3.28) имеем−[N (p)− ( (k)− (k)(k)(k)(+) ))](k) ((∑)ϑ − ϑ + ϑ′ +rI M NI ϑ + r 3 ϑ ′ = r I ∂I ϑ − g+3 k ϑ + 2(k + 1)IN[∑3−+2(k + 1)rp=k(−) )]((+)(1 − (−1)p+k ) ϑ + ϑ ′ − (−1)k ϑ ′ .(p)(3.3.56)p=kАналогично (3.3.56) с помощью (3.3.5), (3.3.28) и (3.3.39) находим−{− (k) (− [ (k) ((k)(k))])1 − ((k−1) (k) (k+1))rM M NM ϑ +AP+ M x3 NP ϑ +r3 ϑ ′ = r I ∂I ϑ + A+J ∂J ϑ +2 ϑ + ϑ −(1)4 (1) IM−−N−[(k−1)(k)(k+1)( (k)( ∑ (p) (k) (+)′ )) 1 J (−g+3 g−J k ϑ +2(k+1)ϑ − ϑ + ϑ + A+ (k−1) ϑ −4(k+2) ϑ −(k+3) ϑ +4 (1) IJIp=kN (p) (+) ))]}N−[ ∑(p)(−) )](∑((+)+8(k+1)+2(k+1)r 3(1−(−1)p+k ) ϑ + ϑ ′ −(−1)k ϑ ′ .ϑ+ ϑ′p=kp=k(3.3.57)153Умножая (3.3.56) на −at (3λ + 2µ) и прибавляя правую часть полученного соотношения к левой части (3.3.51), получим искомую систему уравнений в перемещениях нулевого приближения в моментах при неизотермических процессах−−N (p)−{( −)[ (k)(∑(k)(+) )](k)u − u + u′ +M I J · ∇I ∇J u − g+3 ∇J + g+3 ∇I k u + 2(k + 1)IJfp=kN− −[)(p)((+)∑((k)(+) )]}(p − k)(p + k + 2)−3 u + 2(k + 1) u ′′ −3 u ′++g+3 g+3 (k + 2)(k + 3) u +2(k + 1)IJp=k−−+2(k + 1)M I 3fN{ ∑((+)(p)(−) )· 2 (1 − (−1)k+p )∇I u + 2∇I u ′ − (−1)k u ′ −p=kNN−[ ∑((+)∑(−) )]}(p)(+)(p)+−g+3 2 (p−k)(p+k+2) u −3 (1−(−1)p+k ) u +2 u ′′−3 u ′ −(−1)k u ′I(3.3.58)p=kp=k−−N[∑((+)(−) )](p)+2(k + 1)M 3 3 ·(p − k)(p + k + 2)(1 + (−1)k+p ) u + u ′′ + (−1)k u ′′ −fp=k−N (p)− ( (k)(k)(+) ))]{ [ (k)(∑ϑ − ϑ + ϑ′ +−at (3λ + 2µ) r I ∂I ϑ − g+3 k ϑ + 2(k + 1)IN[∑3−+2(k + 1)rp=k(−) )]}(k)((+)(k)(1 − (−1)p+k ) ϑ + ϑ ′ − (−1)k ϑ ′+ ρ F = ρ ∂t2 u, k ∈ N0 .(p)p=kАналогично (3.3.58), умножая (3.3.57) на −at (3λ + 2µ) и прибавляя правуючасть полученного соотношения к левой части не выписанной системы уравнений в перемещениях первого приближения в моментах, найдем систему уравнений в перемещениях первого приближения в моментах при неизотермическихпроцессах.
Их выписывать не будем, так как при необходимости это сделатьнетрудно.3.3.3.3Системы уравнений в перемещениях и вращениях нулевогои первого приближений в моментах при неизотермическихпроцессахРассмотрим однородный изотропный физически линейный упругий материал,обладающий центром симметрии. В этом случае уравнения в перемещениях ивращениях нулевого и первого приближений для неизотермических процессовпри НПОТТ можно получить из (3.2.17). Действительно, на основании (1.5.37)и (1.5.68) из (3.2.17) находим систему уравнений в перемещениях и вращенияхнулевого приближения в виде−−−−−−]M I J NI NJ +M I 3 (NI ∇3 +∇3 NI )+M 3 3 ∇32 ·u+ff−−f−−[]IJ+2α C (∇3 φ− −NI φ− )r− +NI φ− r− − b(r I NI + r 3 ∇3 )ϑ + ρF = ρ ∂t2 u,3 LIJ 3−−−−[ −I −J]φ+L NI NJ +L I 3 (NI ∇3 +∇3 NI )+L 3 3 ∇32 ·φeee−− []φ + ρm = J · ∂t2φ+α C I J (∇3 u− −NI u− )r− +NI u− r− − 4αφ3 JIJ 3e[(3.3.59)и систему уравнений в перемещениях и вращениях первого приближения вформе{ −− [ − −−−− −]L3 2 KLM I J g−K g−L +x3 B K+(x)B++++ NK NL+(1)(2)I JIJIJf}−− ( −−−−)33 2I3J3 J+M g− + x A+ (NJ ∇3 +∇3 NJ ) + M ∇3 ·u+(1)IIff154−−+2α C I J{[−)−−)( −( K}3 K∇3 φ− − g−K + x3 AKNφ]r+g+xA−−+−+ NK φ− r− −KI(1)I3IJ(1)IJ 3I[ ()](3.3.60)−b r I g−J + x3 A+J NJ + r 3 ∇3 ϑ + ρF = ρ ∂t2 u,(1)II{ −− [ − −−−− −]3 2 KLLL I J g−K g−L +x3 B K+(x)B++++ NK NL +(1)(2)I JIJIJe}−− ( −−−−)φ++L I 3 g−J + x3 A+J (NJ ∇3 +∇3 NJ ) + L 3 3 ∇32 ·φ(1)IIee−− {[−)−)−( −}]( K3 Kφ + ρm = J · ∂t2φ,+2α C I J ∇3 u− − g−K + x3 AK− 4αφ+ NK u− r− + g− + x A + NK u− r−(1)(1)33IJJIIIIe−−−−где b ≡ at (3λ + 2µ) = 3at K.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
