Диссертация (786091), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пусть f (x) непрерывная функция на сегменте [a, b]. Для любого ε > 0 существует такой многочлен Q(x), что привсех x ∈ [a, b] [234]|f (x) − Q(x)| < ε.Теорема 2.2.2. Если функция f (x) непрерывно дифференцируема на сегменте[0, 1] ([−1, 1]), то она разлагается в ряд Фурье-Лежандра, сходящийся равномерно на этом сегменте [394].Теорема 2.2.3. Джексона. Если производные относительно x3 от f (x′ , x3 )представляют функции ограниченной вариации в промежутке [0, 1] равномер(−)(−)но относительно точки x′ = (x1 , x2 ) ∈ S ∪ ∂ S , то имеем неравенства(n) 2 2 f (x , x ) < M n− 32 ,(−)(−)n ≥ 1, (x1 , x2 ) ∈ S ∪ ∂ S ,n (k) ∑1Rn+1 (x′ , x3 ) = f (x′ , x3 ) −f (x′ )Pk (x3 ) < M n− 2 ,k=0где M – положительная постоянная, которая от n не зависит [69].862.2.1Моменты скалярной функцииРассматривается скалярная функция f (x1 , x2 , x3 ), зависящая от координатx1 , x2 , x3 области тонкого тела, параметризация которой осуществляется соотношением (1.1.1).
Поэтому с целью сокращения письма часто вместо f (x1 , x2 , x3 )будем писать f (x′ , x3 ), где, очевидно, ∀x3 ∈ [0, 1]. Кроме того, будем предполагать, что рассматриваемые функции в достаточной степени гладкие, например,f (x′ , x3 ) ∈ Cm (V ∪ ∂V ), m ≥ 1. Тогда в силу теоремы 2.2.2 функция f (x′ , x3 )относительно поперечной координаты x3 ∈ [0, 1] для каждой фиксированной(−)точки x′ = (x1 , x2 ) ∈ S можно разлагать в ряд по системе полиномов Лежандра [Pk (x3 )]∞k=0 .Разложение некоторого тензорного поля F(x′ , x3 ) ∈ Cm (V ∪∂V ), m ≥ 1, вид[69, 202, 394]F(x′ , x3 ) =∞ (k)∑F (x′ )Pk (x3 ),(−)x′ ∈ S , x3 ∈ [0, 1].(2.2.1)k=0Определение 2.2.1.
Моментом k-ого порядка некоторого тензорного поля′(k)F(x , x ) относительно системы полиномов Лежандра, обозначаемым M(F), называется интеграл3(k)M(F) = (2k + 1)∫1F(x′ , x3 )Pk (x3 )dx3 ,(2.2.2)k = 0, 1, 2, . . .0Утверждение 2.2.1.(k)(k)M(F) = F (x′ ),(2.2.3)k = 0, 1, 2, . . . .(k)Таким образом, в разложении (2.2.1) коэффициент F (x′ ) — момент k-гопорядка тензорного поля F(x′ , x3 ). В случае скалярного поля в приведенныхвыше формулах F(x′ , x3 ) надо заменить на f (x′ , x3 ).В дальнейшем, рассматривая ряды вида (2.2.1), будем всегда предполагать,что они равномерно сходятся в замкнутой области V ∪ ∂V , где V — область,занимаемая оболочкой, а ∂V — ее граница.В силу (2.1.7) на лицевых поверхностях оболочечной области, т.е.
при x3 = 0и x3 = 1 из (2.2.1) будем иметь равномерно сходящиеся ряды(−)f = f (x′ , 0) =∞∑(k)(−1)k f (x′ ),f = f (x′ , 1) =k=02.2.2∞∑(+)(k)f (x′ ),(−)(−)x′ ∈ S ∪ ∂ S .(2.2.4)k=0Моменты производных ∂i f и ∂i ∂j fМоменты производных ∂i f и ∂i ∂j f , которые, конечно, определяются аналогично(2.2.2), подробно рассмотрены в [282, 304, 306].
Поэтому с целью сокращенияписьма здесь выпишем их окончательные выражения.Первое представление:(k)M (∂i f ) = (2k + 1)∫10∂i f (x′ , x3 )Pk (x3 )dx3 =(k)∂I f (x′ ), если i = I,(k)′′f (x ),если i = 3,(2.2.5)87∞∑(k)′f (x′ ) = 2(2k + 1)(k+2m+1)f= (2k + 1)m=0∞∑(p)[1 − (−1)k+p ] f ;(2.2.6)p=k+1(k)∂∂f (x′ ), если i = I, j = J,IJ(k)M (∂i ∂j f ) =(k)∂I f ′ (x′ ), (k)′′ ′f (x ),если i = I, j = 3,(2.2.7)если i = j = 3,(k+2)(k+4)(k+6)[]f (x′ ) = 4(2k + 1) (2k + 3) f + 2(2k + 5) f + 3(2k + 7) f + .
. . .(k)′′(2.2.8)Второе представление:(k)∂I f (x′ ),если i = I,M (∂i f ) =(k)(+)(−)][(2k + 1) f − (−1)k f − f ′ , если i = 3,(k)(k)f ′ (x′ ) = 2(2k + 1)(k−3)(p)k[(k−1) ′]∑f (x ) + f (x′ ) + . . . = (2k + 1) [1 − (−1)k+p ] f (x′ );(2.2.9)(2.2.10)p=0(k)′∂∂если i = I, j = J,I J f (x ),(k)(+)(−)[] (2k + 1)∂ f − (−1)k f − ∂ f ′ , если i = I, j = 3,(k)IIM (∂i ∂j f ) =(+)(−)[(2k + 1) ∂3 f − (−1)k ∂3 f −(k)(−))]((+)−k(k + 1) f + (−1)k f + f ′′ , если i = j = 3,(k)′′f(k−2)(k−4)(k−6)[]= 4(2k + 1) (2k − 1) f + 2(2k − 3) f + 3(2k − 5) f + .
. . .()(2.2.11)(2.2.12)(−)Соотношения (2.2.9) (2.2.11) удобно использовать в тех случаях, когда f(+)(+))(−)(+)( (−) (−)и f ∂3 f , f и ∂3 f , f заданы на поверхностях S и S (на концах сегмента[0,1]) соответственно.Заметим, что приведенных выше формулах в качестве f (x′ , x3 ) можно рассматривать любое тензорное поле (поле вектора перемещений, поле тензоранапряжений и др.).(+)2.3Производящая функция и основные рекуррентные соотношениядля полиномов Чебышева первого родаКак известно [394], одна из производящих функций для системы полиномовЧебышева первого рода на сегменте [−1, 1] имеет видΨ(r, x) =1 − rx,1 − 2rx + r20 < r < 1,−1 ≤ x ≤ 1.(2.3.1)Разлагая (2.3.1) в ряд по степеням r, имеемΨ(r, x) =∞∑k=0Tk (x)rk .(2.3.2)88Коэффициенты Tk (x), k = 0, 1, 2, .
. ., разложения (2.3.2) являются полиномамиk-й степени. Они представляют систему полиномов Чебышева I рода на сегменте [−1, 1]. Эти полиномы определяются также формулой [71, 125, 166, 202, 307,394]−1 ≤ x ≤ 1,Tn (x) = cos(n arccos x),n = 0, 1, 2, . . .(2.3.3)Основные рекуррентные соотношения для полиномов Чебышева I рода на сегменте [−1, 1] имеют вид2xTn (x) = Tn−1 (x) + Tn+1 (x), n ≥ 1,nn′′2xTn′ (x) =Tn−1(x) +Tn+1(x), n > 1,n−1n+1nTn′ (x) = 2nTn−1 (x) +T ′ (x), n > 2.n − 2 n−2(2.3.4)Многочлены(2.3.3) ортогональны на сегменте [−1, 1] с весовой функцией√h(x) = 1/ 1 − x2 [394]. Ортонормированные многочлены Чебышева первогорода выражаются через многочлены (2.3.3) по формуламT̂n (x) =1Tn (x),||Tn ||n = 0, 1, 2, . .
. ,√√||T0 || = π,||Tn || =π,2(2.3.5)n ≥ 1.(2.3.6)Легко видеть, что при линейном преобразовании x = 2t − 1, −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1,при котором сегмент [0, 1] переходит в сегмент [−1, 1], производящая функция(2.3.1) получит видΨ∗ (r, t) ≡ Ψ(r, 2t − 1) =1 + r − 2rt,(1 + r)2 − 4rt0 < r < 1,0 ≤ t ≤ 1.(2.3.7)Аналогично (2.3.2), разлагая (2.3.7) в ряд по степеням относительно r, получимΨ∗ (r, t) =∞∑Tk∗ (t)rk .(2.3.8)k=0Коэффициенты Tk∗ (t), k ∈ N0 , разложения (2.3.8), являясь полиномами k-йстепени, представляют систему полиномов Чебышева первого рода на сегменте [0, 1]. С другой стороны при указанном выше линейном преобразовании из(2.3.3) будем иметьTn∗ (t) = Tn (2t − 1) = cos[n arccos(2t − 1)],0 ≤ t ≤ 1,n ∈ N0 .(2.3.9)В силу теоремы (о линейном преобразовании сегмента ортогональности) [394]система полиномов (2.3.9) ортогональна (на√сегменте) [0,1], а весовая функцияпредставится в виде h∗ (t) = h(2t − 1) = 1/ 2 t(1 − t) .Полиномы {Tk∗ (t)}|∞k=0 , определенные на сегменте [0,1], называются смещенными полиномами Чебышева первого рода.
Ортонормированные смещенныемногочлены Чебышева первого рода аналогично (2.3.5) определяются следующим образом:T̂ ∗n (t) =√||T0∗ ||=1T ∗ (t),||Tn∗ || nπ,2||Tn∗ ||n ∈ N0 ,√π=,2n ≥ 1.(2.3.10)(2.3.11)89Основные рекуррентные соотношения для смещенных полиномов Чебышевапервого рода на сегменте [0,1] имеют вид∗∗4tTn∗ (t) = Tn−1(t) + 2Tn∗ (t) + Tn+1(t), n ≥ 1,nn4tT ∗ ′n (t) =T ∗ ′n−1 (t) + 2Tn∗ ′ (t) +T ∗ ′ (t), n > 1,n−1n + 1 n+1n∗(t) +T ∗ ′n (t) = 4nTn−1T ∗ ′ (t), n > 2, t ∈ [0, 1].n − 2 n−22.4(2.3.12)Дополнительные рекуррентные соотношения для полиномовЧебышева первого рода на сегменте [0, 1]Используя основные рекуррентные соотношения (2.3.4) и (2.3.12), нетрудно получить искомые рекуррентные соотношения.
Их подробный вывод даны в [282,304, 306]. Поэтому ниже выпишем некоторые из них без доказательств. Будемиметь22s ts Tn∗ (t) =2s∑p∗C2sTn+p−s(t),n − s ≥ 0,(2.4.1)p=0T ∗ ′2m (t) = 4(2m)m−1∑∗T2m−2k−1(t) = 4(2m)k=0T ∗ ′2m+1 (t) = 4(2m + 1)22s ts T ∗ ′2m (t)= 4(2m)m−1∑]1∗T2m−2k(t) + T0∗ (t) =2k=0m−1[1]∑ ∗= 4(2m + 1) T0∗ (t) +T2m−2k (t) ,2k=0[m−1− 2s ] 2s∑ ∑p=0m−1∑2s∑k=[ 1+s] p=022s[ [m−∑2 ] ∑s2 t= 4(2m + 1)k=0 p=0(2.4.4)p∗C2sT2k+1+p−s(t),]p∗C2sT2m−2k+p−s(t) + 22s−1 ts T0∗ (t) =[= 4(2m + 1) 22s−1 ts T0∗ (t) +m∑2s∑k=[1+ 2s ] p=0],= 4(2m + 1)(2.4.6)m−1∑ [] ∗(2m + 1)2 − (2m − (2k + 1))2 T2m−2k−1(t) =k=0] ∗(t),(2m + 1) − (2k + 1) T2k+1m−1∑ [(2.4.5)p∗C2sT2k+p−s(t)}{ m−1∑1∗T ∗ ′′2m (t) = 4(2m)[(2m)2 − (2m − 2k)2 ]T2m−2k(t) + (2m)2 T0∗ (t) =2k=1m−1}{1∑∗[(2m)2 − (2k)2 ]T2k(t) ,= 4(2m) (2m)2 T0∗ (t) +2k=1T ∗ ′′2m+1 (t) = 4(2m + 1)(2.4.3)p∗C2sT2m−2k−1+p−s(t) == 4(2m)T ∗ ′2m+1 (t)(2.4.2)[ m−1∑k=02s s∗T2k+1(t),k=02(2.4.7)2k=0s2s{ [m−1−∑ 2] ∑22s ts T ∗ ′′2m (t) = 4(2m)k=1{= 4(2m) (2m)2 22s−1 ts T0∗ (t)+] p ∗}[(2m)2 −(2m−2k)2 C2sT2m−2k+p−s (t)+(2m)2 22s−1 ts T0∗ (t) =p=0m−1∑2s [] p ∗}∑(2m)2 −(2k)2 C2sT2k+p−s (t) ,k=[1+ 2s ] p=0(2.4.8)9022s ts T ∗ ′′2m+1 (t) == 4(2m + 1)= 4(2m + 1)[m−1− 2s ] 2s∑ ∑k=0m−1∑[] p ∗(2m + 1)2 − (2m − (2k + 1))2 C2sT2m−2k−1+p−s (t) =p=02s [∑k=[ 1+s] p=02(2.4.9)] p ∗(2m + 1)2 − (2k + 1)2 C2sT2k+1+p−s (t).Здесь запись вида [1+s/2] в верхнем и нижнем индексах знака суммы означаетцелую часть числа 1 + s/2.
Аналогичная запись применяется и в дальнейшем.Выпишем и значения смещенных полиномов Чебышева первого рода и ихпервых и вторых производных на концах сегмента [0,1]Tn∗ (0) = cos(nπ) = (−1)n ,Tn∗ (1) = cos(nθ) = 1,T ∗ ′n (0) = (−1)n+1 2n2 ,4T ∗ ′′n (0) = (−1)n n2 (n2 − 1),3T ∗ ′n (1) = 2n2 ,4T ∗ ′′n (1) = n2 (n2 − 1).3(2.4.10)(2.4.11)(2.4.12)Аналогичные (2.4.1), (2.4.2), (2.4.3), (2.4.6) и (2.4.7) рекуррентные соотношения для полиномов Чебышева первого рода на сегменте [−1, 1] представятсяв виде2s xs Tn (x) =s∑Csp Tn−s+2p (x),n ≥ s.(2.4.13)p=0T ∗ ′2m (x) = 2(2m)m−1∑∗T2m−2k−1(x) = 2(2m)k=0T ∗ ′2m+1 (x) = 2(2m + 1)m−1∑∗T2k+1(x),k=0m[∑m][1]∑1∗∗T2m−2k(x) + T0∗ (x) = 2(2m + 1) T0∗ (x) +T2k(x) ,22k=0k=1{ m−1] ∗}∑ [1T ∗ ′′2m (x) = 2m(2m)2 − (2m − 2k)2 T2m−k(x) + (2m)2 T0∗ (x) =2k=1m−1{1[]}∑∗= 2m (2m)2 T0∗ (x) +(2m)2 − (2k)2 T2k(x) ,2k=1T ∗ ′′2m+1 (x) = (2m + 1)= (2m + 1)(2.4.14)m−1∑ [] ∗(2m + 1)2 − (2m − (2k + 1))2 T2m−2k−1(x) =k=0] ∗(x).(2m + 1)2 − (2k + 1)2 T2k+1m−1∑ [k=0Теперь докажем следующую лемму [394].Лемма 2.4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
