Диссертация (786091), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если в системе n+1 многочленов {Fk (t)}nk=0 каждый многочленFk (t), k = 0, 1, . . . , n, имеет степень k, то всякий многочлен Qn (t) степениn можно единственным способом представить в виде линейной комбинацииQn (t) =n∑ak Fk (t) = a0 F0 (t) + a1 F1 (t) + . . . + an Fn (t).(2.4.15)k=0Доказательство. Вводя обозначения(k)(k)(k)(k)Fk (t) = C0 + C1 t + C2 t2 + . .
. + Ck tk ,Qn (t) = C0 + C1 t + C2 t2 + . . . + Cn tn ,k = 0, 1, . . . , n,(2.4.16)91(k)где по условию леммы Cm ̸= 0, k = 0, 1, . . . , n, m = 0, 1, . . . , k и Cn ̸= 0, в силу(2.4.16) для определения неизвестных коэффициентов a0 , a1 , . . . , an из (2.4.15)получим систему линейных уравнений(k)(k+1)Ck ak +Ck(k+2)ak+1 +Ck(n−1)ak+2 +. . .+Ck(n)an−1 +Ck an = Ck , k = 0, n.(2.4.17)Главный определитель системы (2.4.17) равен произведению отличных от нуля(n)(0) (1)чисел, т.е. △ = C0 C1 · . . . · Cn и поэтому отличен от нуля. Следовательно, из системы (2.4.17) числа a0 , a1 , .
. . , an определяются однозначно, что итребовалось доказать.Следствие. Лемма сохраняет силу и тогда, когдаQn (t) = Ck tk + Ck+1 tk+1 + . . . + Cn tn , Cn ̸= 0, ∀k, 0 < k ≤ n.В частности, и в том случае, когда Qn (t) = Cn tn , Cn ̸= 0.Заметим, что, если Qn (t) = Cn t, где Cn ̸= 0, то для определения коэффициентов a0 , a1 , . . . , an будем иметь систему уравнений, которая получаетсяиз (2.4.17), если в правой части коэффициенты C0 , C1 , .
. . , Cn−1 приравняемнулю. Очевидно, из получаемой таким образом системы уравнений искомыекоэффициенты определяются однозначно.Следует заметить, что соотношения (2.4.2), (2.4.3), (2.4.6) и (2.4.7) представлены как по убывающему, так и по возрастающему индексу, что часто оченьудобно при нахождении моментов различных величин относительно этих полиномов. Кроме того, как видно, в правых частях (2.4.5) и (2.4.8) — слагаемые смножителем 22s−1 ts , а это создает некоторое неудобство. Однако, в силу приведенной выше следствия леммы 2.4.1 т.е.
22s−1 ts всегда можно представить ввиде линейной комбинации полиномов Чебышева T0∗ (t), T1∗ (t), . . . , Ts∗ (t), послечего в правых частях (2.4.5) и (2.4.8) будут лишь полиномы Чебышева, что ибудет их окончательный вид.Заметим также, что при построении теории тонких тел соотношения (2.4.1),(2.4.4), (2.4.5), (2.4.8) и (2.4.9) нужны при некоторых значениях s (s = 1, 2, 3, 4),которые легко получить из этих соотношений.
Используя (2.4.13) и (2.4.14), принеобходимости легко получить аналогичные (2.4.4), (2.4.5), (2.4.8) и (2.4.9) соотношения для полиномов Чебышева первого рода на сегменте [−1, 1]. Поэтомуна этом останавливаться не будем.2.5Производящая функция. Основные рекуррентные соотношения для полиномов Чебышева второго родаМногочленыUn (x) =1′(x),Tn+1n+1−1 ≤ x ≤ 1,n ∈ N0 ,(2.5.1)где Tn (x) = cos(n arccos x), −1 ≤ x ≤ 1, n ∈ N0 , — многочлены Чебышева первогорода, называются многочленами Чебышева второго рода [71, 125, 166, 202, 307,394] на сегменте [−1, 1].Нетрудно видеть, что многочлены Чебышева можно представить в видеUn (x) =sin[(n + 1) arccos x]√,1 − x2−1 ≤ x ≤ 1,n ∈ N0 .(2.5.2)92Многочлены Чебышева√ второго рода (2.5.2) ортогональны [394] на сегменте[−1, 1] с весом h(x) = 1 − x2 . Ортонормированные многочлены Чебышевавторого рода имеют вид1 sin[(n + 1) arccos x]1√Ûn (x) =Un (x) =,||Un ||||Un ||1 − x2√||Un || =π,2n ∈ N0 .(2.5.3)Нетрудно заметить, что, учитывая (2.3.1), соотношение (2.3.2) можно представить в виде∞∑2x − 2r=2rn−1 Tn (x).1 − 2rx + r2n=1(2.5.4)Интегрируя тождество (2.5.4) по r в пределах от 0 до r, получим разложениеln √∞∞∑∑1rnrn+1=Tn (x) =Tn+1 (x),nn+11 − 2rx + r2 n=1n=0(2.5.5)которое сходится при условиях |r| < 1, |x| ≤ 1.
Найдя производную по x отобеих частей (2.5.5) и учитывая определение многочленов Чебышева второгорода (2.5.1), будем иметьF (r, x) ≡∞∑1Un (x)rn ,=1 − 2rx + r2 n=0|r| < 1,|x| ≤ 1.(2.5.6)Из (2.5.6) следует, что функция [96]F (r, x) =1,1 − 2rx + r2|r| < 1,|x| ≤ 1,(2.5.7)является производящей функцией для полиномов Чебышева второго рода.С помощью производящей функции (2.5.7) аналогично полиномам Лежандра и Чебышева первого рода можно найти следующие основные рекуррентныеформулы полиномов Чебышева второго рода:2xUn (x) = Un−1 (x) + Un+1 (x),′xUn′ (x) = nUn (x) + Un−1(x),′(x),Un′ (x) = 2nUn−1 (x) + Un−2n ≥ 1,(2.5.8)n ≥ 1,(2.5.9)n ≥ 2, −1 ≤ x ≤ 1.(2.5.10)Теперь осуществим линейное преобразование x = 2t−1, −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤1, при котором сегмент [0, 1] переходит в сегмент [−1, 1].
Тогда в силу теоремыо линейном преобразовании сегмента ортогональности [394] система полиномовUn∗ (t) ≡ Un (2t − 1) =sin[(n + 1) arccos(2t − 1)]√,2 t(1 − t)0 ≤ t ≤ 1,n ∈ N0 ,(2.5.11)которые называются смещенными полиномами Чебышева второго рода, является ортогональной. Производящей функцией этих полиномов в силу (2.5.7)будетF ∗ (r, t) = F (r, 2t − 1) =1,(1 + r)2 − 4rt|r| < 1,0 ≤ t ≤ 1,(2.5.12)93Тогда, конечно, имеет место разложениеF ∗ (r, t) =∞∑Un∗ (t)rn ,|r| < 1,0 ≤ t ≤ 1.(2.5.13)n=0Ортонормированные смещенные многочлены Чебышева второго рода аналогично (2.5.3) представляются в видеÛ ∗n (t) =1 sin[(m + 1) arccos (2t − 1)]1√Un∗ (t) =,∗||Un ||||Un∗ ||2 t(t − 1)||Un∗ || =√π,2n ∈ N0 .(2.5.14)Нетрудно найти значения полиномов Чебышева второго рода на концах сегмента ортогональности [0,1]. В самом деле, осуществляя простые выкладки, всилу (2.5.11) и (2.5.14) будем иметьUn∗ (0) = (−1)n (n + 1),2Û ∗n (0) = (−1)n √ (n + 1),πUn∗ (1) = n + 1,(2.5.15)2Û ∗n (1) = √ (n + 1).π(2.5.16)Итак, многочлены Чебышева второго рода на концах сегмента ортогональности [0,1] возрастают со скоростью n, а во внутренних точках интервала (0,1)ограничены, что можно легко показать в силу формул (2.5.11) и (2.5.14).Далее аналогично (2.5.8) — (2.5.10) с помощью производящей функции (2.5.12)и разложения (2.5.13) можно получить основные рекуррентные соотношениядля смещенных полиномов Чебышева второго рода (2.5.11) на сегменте [0, 1].Однако получим их иным путем, исходя из основных рекуррентных соотношений (2.5.8) — (2.5.10) на сегменте [-1,1].
С этой целью заметим, что имеют местоформулы1 ′1 ′′′′Un′ (x) = Un∗ (t), Un (x) = 2 Un∗ (t), . . . ,22(k)Un (x) =1 ∗(k)Un (t), k, n ∈ N0 .2k(2.5.17)Учитывая x = 2t − 1 в (2.5.8) — (2.5.10), простыми выкладками в силу обозначений (2.5.11) и подходящих соотношений (2.5.17) получим основные рекуррентные соотношения для смещенных полиномов Чебышева второго рода насегменте ортогональности [0, 1]∗∗4tUn∗ (t) = Un−1(t) + 2Un∗ (t) + Un+1(t),′′n ≥ 1,(2.5.18)n ≥ 1,(2.5.19)′∗2tUn∗ (t) = 2nUn∗ (t) + Un−1(t) + Un∗ (t),′′∗∗(t),(t) + Un−2Un∗ (t) = 4nUn−1n ≥ 2.(2.5.20)′Нетрудно заметить, что в силу формулы Tn′ (x) = 2−1 Tn∗ (t) и (2.5.11) из (2.5.1)найдемUn∗ (t) =1∗′(t),Tn+12(n + 1)0 ≤ t ≤ 1 n ∈ N0 .(2.5.21)Заменяя в (2.5.21) n сперва на 2m − 1, а потом на 2m и в полученныхсоотношениях учитывая (2.4.2) и (2.4.3) соответственно, будем иметь∗(t) = 2U2m−1m−1∑k=0∗(t) = 2U2mm−1∑k=0∗T2m−2k−1(t) = 2m−1∑∗T2k+1(t),(2.5.22)k=0∗T2m−2k(t) + T0∗ (t) = T0∗ (t) + 2m∑k=0∗T2k(t).(2.5.23)942.6Дополнительные рекуррентные соотношения для полиномовЧебышева второго рода на сегменте [0, 1]Эти рекуррентные соотношения можно получить с помощью основных рекуррентных соотношений (см.
[268,274,275,282,304,306]). Не останавливаясь на ихвыводах, выпишем некоторые из них, играющие важную роль при построенийразличных вариантов теории тонких тел. Они имеют вид22s ts Un∗ (t) =2s∑p∗C2sUn−s+p(t),s, n ∈ N0 ;(2.6.1)p=0m ∑2s∑∗22s ts Um(t)Un∗ (t) =q∗C2sUn−m−s+2p+q(t),n, m, s ∈ N0 ;(2.6.2)p=0 q=0′Un∗ (t) = 4[(n−1)/2]∑k=0∗(t) = 4(n − 2k)Un−(2k+1)′22s ts Un∗ (t) = 4[(n−1)/2]2s∑ ∑[(n−1)/2]∑∗(t),(2k + 1 + a) U2k+an ≥ 1;p∗(t) =(n − 2k)C2sUn−(s+2k+1)+pp=0k=0(2.6.3)k=0=4[(n−1)/2]∑(2.6.4)(2k + 1 +∗a)U2k+a−s+p,n ≥ 1, s ≥ 0;k=0[(n−2)/2]∑′′Un∗ (t) = 24k=0∗(k + 1)(n − k)[n − (2k + 1)]Un−(2k+2)(t) =2=2(2.6.5)[(n−2)/2]∑(2k+2−a)[(n + 1) −(2k+2−a)22∗]U2k+1−a(t),n ≥ 2;k=0′′22s ts Un∗ (t) = 24[(n−2)/2]2s∑ ∑k=0=22[(n−2)/2]∑p∗(k + 1)(n − k)[n − (2k + 1)]C2sUn−(s+2k+2)+p=p=0(2.6.6)(2k + 2 − a)[(n + 1) − (2k + 2 − a)22p∗]C2sU2k+1−a−s+p,n ≥ 2, s ≥ 0.k=0[]()Здесь a = n − 1 − 2 (n − 1)/2 = 1/2 1 + (−1)n , [x] — целая часть числа x,nа Cm— биномиальные коэффициенты.
Следует заметить, что все соотношения(2.6.1) – (2.6.6), справедливые, за исключением (2.6.2), и для системы ортонормированных полиномов Чебышева второго рода {Û ∗k }∞k=0 , можно доказать методом математической индукции. Для системы ортонормированных полиномов(2.6.2) представляется в виде∗(t)Ûn∗ (t) = Û0∗22s ts Ûmm ∑2s∑q∗(t),C2sÛn−m−s+2p+qn, m, s ∈ N0 .(2.6.7)p=0 q=0Заметить, что, распространяя определение системы полиномов Чебышевавторого рода и на множество отрицательных целых чисел, имеет место равен∗∗ство U−n= −Un−2, n ∈ N0 при предположении которого получены (2.6.1) –(2.6.6).
В дальнейшем, не оговариваясь каждый раз, будем предполагать, чтоопределение системы полиномов Чебышева второго рода распространено намножество отрицательных целых чисел.Легко найти значения производных полиномов Чебышева на концах сегмента [0,1]. В самом деле, на основании (2.6.3) с учетом (2.5.15) и (2.5.16) ипростыми вычислениями получим2′Un∗ (0) = (−1)n+1 n(n + 1)(n + 2),32′Un∗ (0) = n(n + 1)(n + 2);3(2.6.8)954′Û ∗n (0) = (−1)n+1 √ n(n + 1)(n + 2),3 π4′Û ∗n (0) = √ n(n + 1)(n + 2).3 π(2.6.9)Далее в силу (2.5.15) и (2.5.16) и простыми вычислениями из (2.6.5) найдем′′Un∗ (0) = (−1)n′′Un∗ (1) =4(n − 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3),154(n − 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3).1528′′′′Û ∗n (0) = √ Un∗ (0) = (−1)n √ (n − 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3),π15 π28′′′′Û ∗n (1) = √ Un∗ (1) = √ (n − 1)n(n + 1)(n + 2)(n + 3).π15 π(2.6.10)(2.6.11)Заметим, что, имея соотношения (2.6.1)–(2.6.6) не представляет большоготруда записать эти соотношения при фиксированном значении s и n.
В самомделе, осуществляя простые выкладки, используемые часто соотношения приs = 1 и s = 2 представляются в виде′∗tU2m(t) = 22m[∑2m] []∑∗∗∗∗kUk−1+ mU2m= 2 mU2m+ (2m−k+1)U2m−k, m ≥ 1,k=12m∑∗′tU2m+1 (t) = 2k=1(2.6.12)∗(k + 1)Uk∗ (t) + (2m + 1)U2m+1(t), m ≥ 0,k=0′∗2t2 U2m(t) = 44 22t2m−2∑∗′U2m+1= 23∗∗∗(k + 1)Uk∗ + (7m − 1)U2m−1+ 4mU2m(t) + mU2m+1, m ≥ 1,k=02m−1∑∗∗(k + 1)Uk∗ +(14m + 5)U2m+4(2m + 1)U2m+1+(2.6.13)k=0∗+(2m + 1)U2m+2, m ≥ 1,[] ∗(2k + 1) (2m + 1)2 − (2k + 1)2 U2k+k=1[] ∗ }+(2k + 2) (2m + 1)2 − (2k + 2)2 − 3 U2k+1m ≥ 1,m {[]∑′′∗∗tU2m+1(t) = 2(2k + 1) (2m + 2)2 − (2k + 1)2 − 3 U2k+k=0[] ∗ }+(2k + 2) (2m + 2)2 − (2k + 2)2 U2k+1, m ≥ 1,(2.6.14){[] ∗2 (2k + 1) (2m + 1)2 − (2k + 1)2 − 3 U2k(t)+k=0[] ∗}∗(t), m ≥ 1,+(2k + 2) (2m + 1)2 − (2k + 2)2 − 3 U2k+1(t) + 2m(2m − 1)U2mm−1{[]∑∗∗′′(t) = 22 (2k + 1) (2m + 2)2 − (2k + 1)2 − 3 U2k(t)+t2 U2m+1k=0[] ∗}+(2k + 2) (2m + 2)2 − (2k + 2)2 − 3 U2k+1(t) +∗∗(t), m ≥ 1.(t) + 2m(2m + 1)U2m+1+8m(2m + 1)U2m(2.6.15)′′∗tU2m(t) = 2′′∗(t) =t2 U2mm−1∑ {m−1∑Заметим, что первое соотношение (2.6.12) представлено как по убывающему индексу, так и по возрастающему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
