Диссертация (786091), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Имеем√ds = gIJ dxI dxJ =√(− −− −)g − − gIK gJL + g−− gI3 gJ3 dxI dxJ ,33√ KL√− −− −)((+)d s = g++ dxI dxJ =g − − g+K g+L + g−− g+3 g+3 dxI dxJ ,IJKL I33 IJ(−)ds =√(3.5.29)g−− dxI dxJ .IJJДалее заметим, что(−)(+)drd s (−)d s (+)s== (1 − x3 )s + x3s.dsdsds(3.5.30)В силу (3.5.29) соотношению (3.5.30) можно придать нужный вид. Однако сцелью сокращения письма этого делать не будем.Теперь заметим, что единичные векторы нормалей к боковой грани в точках(−)(+)M , M и M представляются соотношениями(−)s ×h(+)(−)(−)(+)(+)s ×hs×hdss × h (+)ds s ×hm = (−)= (−) (−), m==, m = (+)= (+) (+).|s × h| ds|s × h|| s × h| d s | s × h|| s × h| d s | s × h|(−)ds s ×h(3.5.31)На основании (3.5.30) и первого и третьего соотношений (3.5.31) из второгосоотношения (3.5.31) находим(−) (−)(+) (+)s×hd s | s × h| (−)d s | s × h| (+)m== (1 − x3 )m + x3m.|s × h|ds|s × h|ds|s × h|Отсюда с помощью (3.5.27) получаем√(−)√−−gK LϵKI ϵLJdxI dxJ(+)(−)++g K L ϵKI ϵLJ dxI dxJ(+)m + x3 ϑ −1 √m=m = (1 − x3 ) ϑ −1 √KLIJg ϵKI ϵLJ dx dxg KL ϵKI ϵLJ dxI dxJ√√−−++KLϵI dxJKLϵIJgϵdxg(−)(+)KILJKI ϵLJ dx dx3√= (1 − x3 ) √m+xm.− −+ +− −+ +K LK LMNIJMNIJg ϵM K ϵN L gI gJ dx dxg ϵM K ϵN L gI gJ dx dx(3.5.32)Умножая первое, второе и третье соотношения (3.5.26) на rK , r + и r − соответKKственно и в полученных соотношениях меняя индекс K на I, будем иметь(+)(+)(−)(+)(−)(−)dΣmI = ϑ d Σ m + = ϑ d Σ m − .II(3.5.33)183Получим теперь некоторые соотношения в линиях кривизны.
В этом случае дляобозначения индексов используем строчные буквы греческого алфавита, которые принимают значения 1, 2. При этом по повторяющимся индексам суммирование не производится. Чтобы получить искомые соотношения, можно использовать соответствующие соотношения из (1.3.32), (1.3.34)–(1.3.36) и (1.3.38). Получить их не представляет большого труда. Поэтому на подробном выводе останавливаться не будем.Вдоль линии кривизны (1) имеем dx1 ̸= 0, dx2 = 0.
Поэтому, например, изпервого соотношения (3.5.27) получаем√√ds(1) |s(1) × h| = gg 22 dx1 =−−(−)g√−g 2 2 g11 dx1=++(+)+g g 2 2 g11 dx1 .Таким образом, имеемds(α) |s(α) × h| =√−(+)(+)d s (α) | s (α) × h| =g−α−α g−− gαα dxα ,33√d s (α) | s (α) × h| = g−α−α g−− dxα .(−)√−g−α−α g−− g+α dxα ,33α(−)33Учитывая последние соотношения из (3.5.26) находимdΣ(α) =(−)d Σ (α) =−√g−α−α g−− gαα dxα dx3 ,(+)d Σ (α) =33√−√g−α−α g−− g+α dxα dx3 ,33αg−α−α g−− dxα dx3 .33Отсюда в свою очередь получаем(+)dΣ(α)−=gααd Σ (α)−g+α(−)= d Σ (α) .(3.5.34)αАналогично из (3.5.29) имеем(+)d s (α)√( − )2( − )2gαα gαα + g−− g+3 dx(α) ,33α√( − )2( − )2√= g+α+α dxα = gαα g+α + g−− g+3 dx(α) ,ds(α) =√αgαα dx =33αα(−)d s (α)√= g−α−α dxα .(3.5.35)−Вводя обозначения aα = 1 − g+α , bα = (∂α h)/√gα−α− , первое соотношениеα(3.5.35) можно представить в виде√ds(α) =][()g−α−α a2α + b2α (x3 )2 − 2aα x3 + 1 dxα .(3.5.36)Нетрудно заметить, что в силу (3.5.36) и последних двух соотношений (3.5.35)получимds(α) =√()√((−)a2α + b2α (x3 )2 − 2aα x3 + 1 d s α =)a2α + b2α (x3 )2 − 2aα x3 + 1 (+)d s (α) .( −α )2g+ + b2αα(3.5.37)184Теперь вернемся к (3.5.32) и представим его в линиях кривизны.
Нетруднозаметить, что вдоль первой линии кривизны имеем−−−−++++g K L ϵKI ϵLJ dxI dxJ = g 2 2 (dx1 )2 ,g K L ϵKI ϵLJ dxI dxJ = g 2 2 (dx1 )2 ,− −−−−−−+ ++++++g M N ϵM K ϵN L gIK gJL dxI dxJ = g 2 2 (g11 dx1 )2 ,g M N ϵM K ϵN L gIK gJL dxI dxJ = g 2 2 (g11 dx1 )2 .Учитывая последние соотношения, из (3.5.32) вдоль первой линии кривизнынайдем( − )−1 (−)( + )−1 (+)m(1) .m(1) = (1 − x3 ) g11m(1) + x3 g11(3.5.38)Легко усмотреть, что аналогичное соотношение вдоль второй линии кривизныполучим из (3.5.38), заменяя индекс 1 на 2.
Тогда для линий кривизны будемиметь соотношение( + )−1 (+)( − )−1 (−)m(α) = (1 − x3 ) gαα m(α) + x3 gαα m(α) .Учитывая, что(−gαα)−1= g−α ,α(3.5.39)( +α )−1−gα= g+α = g−α g+α ,αα αсоотношение (3.5.39) можно еще представить в виде][− (+)(−)m(α) = g−α (1 − x3 )m(α) + x3 g+α m(α) ,αα< α = 1, 2 > .(3.5.40)Теперь получим граничные условия физического содержания на боковой гранитонкого тела в моментах. Пусть на боковой грани Σ заданы векторы напряжения P(x′ , x3 , t) и моментного напряжения µ (x′ , x3 , t).
Тогда граничные условияв силу формул Коши на боковой грани представляются в видеm · P(x′ , x3 , t) = P(x′ , x3 , t),eОтсюда, следовательно, получаемmI PI = P(x′ , x3 , t),m · µ (x′ , x3 , t) = µ (x′ , x3 , t) на Σ.emI µ I = µ (x′ , x3 , t) на Σ.(3.5.41)Умножая каждое соотношение из (3.5.41) на dΣ и учитывая (3.5.33), найдем((−) )dΣm − ϑ PI = P (−) ,IdΣ(−)((−) )dΣm − ϑ µ I = µ (−)IdΣ(−)на Σ.(3.5.42)Вводя обозначения(−)PI = ϑ PI ,(−)µI = ϑ µI ,b(x′ , x3 ) =dΣ(−),(3.5.43)dΣсоотношения (3.5.42) представятся в виде(−)m − PI = Pb(x′ , x3 ),I(−)−m µ I = µ b(x′ , x3 ),на Σ.(3.5.44)IНайдя моменты k-го порядка от обеих частей соотношений (3.5.44) относительно системы полиномов Чебышева второго рода, получим искомые граничныеусловия в моментах в следующей форме:(k)−(−)m − P I = P(k) (x′ , t),I(k)(−)−m − µ I = µ (k) (x′ , t),I(−)k = 0, N ,x′ ∈ ∂ S ,(3.5.45)185где введены обозначения(k)−PI =∫1(k)PI Û ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,−µI =0P(k) =∫1∫10PbÛ ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,µ (k) =0µ I Û ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,∫1µ bÛ ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 , k = 0, N .0Заметим, что граничные условия (3.5.45) применяются при представленииуравнений движения, например, в виде (3.3.23).Теперь получим граничные условия физического содержания в моментах вдругой форме.
Умножая каждое соотношение (3.5.41) на dΣ и учитывая (3.5.33),будем иметь−(−)−m g−I PJ = PI JdΣ (−)−1ϑ ,(−)dΣ−(−)m − g−I µ J = µI JdΣ (−)−1ϑ ,(−)dΣ(−)x′ ∈ ∂ S .(3.5.46)Вводя обозначение√dΣ (−)−1ϑ =(−)dΣa(x′ , x3 ) =−− −−g M N ϵM K ϵN L gIK gJL dxI dxJ (−)√ −−ϑ −1 ,g K L ϵKI ϵLJ dxI dxJ(3.5.47)равенства (3.5.46) можно записать в форме−(−)−(−)m − g−I PJ = a(x′ , x3 )P(x′ , x3 , t),(−)µ(x′ , x3 , t),m − g−I µ J = a(x′ , x3 )µI Jx′ ∈ ∂ S .I J(3.5.48)Представляя a(x′ , x3 ) в виде ряда относительно x3′3a(x , x ) =∞∑′3 sAs (x )(x ) ,s=01 ( ∂sa )As (x ) =s! ∂(x3 )s x3 =0′(3.5.49)и учитывая первое соотношение (1.5.37), из (3.5.48) получим следующие граничные условия приближения порядка r:−(−)m − g I− PJ = a(r) (x′ , x3 )P,I (r)J−(−)µ,m − g I−µ J = a(r) (x′ , x3 )µr ∈ N0 ,I (r)Ja(r) (x′ , x3 ) =r∑As (x′ )(x3 )s ,(−)x′ ∈ ∂ S ,(3.5.50)r ∈ N0 .s=0Учитывая первые соотношения (1.5.37) и (3.5.49) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x3 в правых и левых частях, из (3.5.48) получим−(−)−m − (s)A+I PJ = A(s) (x′ , x3 )P,IJ(−)−−−µ,m (s)A+I µ J = A(s) (x′ , x3 )µIJs ∈ N0 ,(−)x′ ∈ ∂ S .(3.5.51)Соотношения (3.5.48) и (3.5.51) эквивалентны, а соотношения (3.5.50) эквивалентны первым r + 1 равенствам (3.5.51).
Применяя оператор моментов k-гопорядка к (3.5.50), в силу (2.7.3) найдем−(k)(−)(k)−(k)(−)(k)m − M( g I− PJ ) = M(a(r) P), m − M( g I−µ J ) = M(a(r)µ), r ∈ N0 , k = 0, N ,I(r) JI(r) J(−)x′ ∈ ∂ S .(3.5.52)186Учитывая (3.5.51), из (3.5.52) придем к соотношениям(−)− (k)−(k)(−)−m − A+I P J = A(s) P,−−(k)(−)(k)m A+I µ J = A(s) µ ,I (s)Js = 0, r,I (s)Jx′ ∈ ∂ S ,k = 0, N ,(3.5.53)которые можно еще получить, применяя оператор моментов k-го порядка ксоотношениям (3.5.51).Заметим, что на основании (3.5.51) из (3.5.52) можно исключить моментыискомых и известных величин, порядок которых превосходит N . Тогда получим соотношения, которые назовем статическими граничными условиями (граничными условиями физического содержания) в моментах приближения (r, N ).Они эквивалентны (3.5.53), поэтому в качестве статических граничных условий в моментах приближения (r, N ) целесообразно рассматривать соотношения(3.5.53).3.5.33.5.3.1Граничные условия теплового содержания в моментахГраничные условия первого рода в моментахВ этом случае на части Σq ⊆ Σ боковой грани Σ задается температура:T (x′ , x3 , t)= T0 (x′ , x3 , t).ΣqОтсюда аналогично (3.5.25) искомые граничные условия первого рода в моментах будут иметь вид(k)(k)(−)T (x′ , t) = T 0 (x′ , t),k = 0, N ,(−)(3.5.54)на ∂ S q ⊆ ∂ S ,(−)(k)где, конечно, T 0 (x′ , t), k = 0, N , — известные моменты на ∂ S q известногоскалярного поля T0 (x′ , x3 , t).3.5.3.2Граничные условия второго рода в моментахНетрудно получить эти условия.
В самом деле в рассматриваемом случае начасти Σq ⊆ Σ боковой грани Σ выполняется условиеm · q(x , x , t)′3Σq= q0 (x′ , x3 , t).Отсюда, не останавливаясь на выводе, аналогично (3.5.45) получим искомыеусловия в форме(−)(k)−m − q I (x′ , t) = q0 (x′ , t),(k)(−)k = 0, N ,I(−)на ∂ S q ⊆ ∂ S ,где введены обозначения(k)−q I (x′ , t) =q0 (x′ , t) =(k)∫10∫10q I Û ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,q0 b(x′ , x3 )Û ∗k (x3 )h∗ (x3 )dx3 ,(−)k = 0, N ,qI = ϑ qI .(3.5.55)187В другой форме подобно (3.5.53) граничные условия теплового содержаниявторого рода представляются в виде−(−)(k)−(k)m − A+I q J (x′ , t) = A(s) q 0 (x′ , t),I (s)J(−)s = 0, r,(−)x′ ∈ ∂ Sq ⊆ ∂ Sk = 0, N ,(3.5.56)Соотношения (3.5.56) назовем граничными условиями теплового содержаниявторого рода в моментах приближения (r, N ).3.5.3.3Граничные условия третьего рода в моментахВ рассматриваемом случае граничные условия представляются в видеm · q(x , x , t)′3Σq= β(Tc − T ).(3.5.57)ΣqТогда для искомых условий аналогично (3.5.55) имеем выражения( (k)m q (x′ , t) = β Tc − T (k) ),−(−) (k)I−(−)k = 0, N ,Iгде∫1Tc (x′ , t) =(k)(−)на ∂ S q ⊆ ∂ S ,(3.5.58)Tc b(x′ , x3 )Û ∗k (x3 )dx3 ,0∫1T (k) (x′ , t) =T (xl, x3 )b(x′ , x3 )Û ∗k (x3 )dx3 ,k = 0, N .0Аналогично (3.5.53) и (3.5.56) и в этом случае граничные условия можнозаписать в форме(−)−(k)−(k)I (s)J(−)(k)m − A+I q J (x′ , t) = A(s) β( T c − T ),s = 0, r,k = 0, N ,(−)x′ ∈ ∂ Sq ⊆ ∂ S(3.5.59)Соотношения (3.5.59) назовем граничными условиями теплового содержаниятретьего рода в моментах приближения (r, N ).Заметим, что при получении (3.5.58) и (3.5.59) предполагалось, что коэффициент теплоотдачи β не зависит от x3 .
Если β зависит от x3 , то для нахождениямомента k-го порядка правой части (3.5.57) надо использовать (3.2.32).Заметим также, что можно было рассматривать граничные условия болееобщего вида [338], чем приведенные выше и из них получить соответствующиеграничные условия теории тонких тел в моментах.
Например, в случае микрополярной теории деформируемого твердого тела можно исходить из следующихграничных условий[]2am ⊗PT + b · u = N,Σ1eee[]2µT + d · φ = M,cm ⊗µΣ2eeeгде a, b, c, d — некоторые положительно определенные тензоры второго ранга,e e eконтактных усилий, M — вектор контактных моментных усилий,N —eвекторΣ1 ⊆ Σ, Σ2 ⊆ Σ.Аналогично при неизотермических процессах для уравнения теплопроводности можно рассматривать граничное условие[](q)(q)(q)m · f · q + g T = T0Σqeи из него получить соответствующие граничные условия в моментах.Здесь f (q) — некоторый тензор второго ранга, g (q) — некоторая скалярнаяфункция, eΣq ⊆ Σ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
